动点问题(六)

1、动点问题（六）1、运动题：如图，在垂直 ABC中，角ACB=90度，AC=BC=6cm正方形 DEFG勺边长为2cm,其一边EF在BC所在 的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形 DEFG&直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点 E与 点B重合.（1）请直接写出该正方形运动 6秒时与垂直ABC重叠部分面积的大小；（2）设运动时间为x （秒），运动 过程中正方形DEFGi'垂直ABC重叠部分的面积为 y（cm（A2）,在该正方形运动 6秒后至运动停止前这段时间 内，求y与x之间的函数关系式；在该正方形整个运动过程而，求 x为何值时，y的值为0.5A2 .如图，矩形 A

2、BCD43, AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）.动点M N同时从B点出发，分别沿 B-A, B-C运动， 速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB,分别交AN CD巳Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设 运动时间为t秒.（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=34厘米；（2）若a=5厘米，求时间t,使 PNB PAD并 求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBNW梯形PQDA勺面积相等，求 a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN梯形PQDA梯形PQCN勺面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由3 .如图，

3、 ABC中，/ C= 90° , AC= 3厘米，CB= 4厘米.两个动点 P、Q分别从A C两点同时按顺时针方向沿 ABC的边运动.当点 Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止.点 P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/ 秒，设点P运动时间为t （秒）.（1）当时间t为何值时，以P、C Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2; （2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化.设PQ与 ABC围成阴影部分面积为 S（厘米2）,求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，

4、请说明理由5 .如图，在直角坐标系中， 。是原点，A、B C三点的坐标分别为 A （18, 0）, B （18, 6）, C （8, 6）,四边形OABC 是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动. 求出直线OC的解析式及经过。A、C三点的抛物线的解析式。试在中的抛物线上找一点 D,使彳导以Q A D为顶点的三角形与 AOC全等，请直接写出点 D的坐标。 设从出发起，运动了 t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点 Q的 坐标，并写出此时t的取值范围。设从出

5、发起，运动了 t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出 t的值；如不可能，请说明理由4 .如图1, RtAPMN,/P=90° , P隹PN,MN 8cm,矩形ABCD勺长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合，BC和MN&一条直线上。令 RtPMN动，矩形ABCDgMNW在直线向右以每秒 1cm的速度移动（如图 2）,直到C点与N点重合为止.设移动x秒后，矩形ABCDT PMNt叠部分的面积为 ycm2.求y与x之间的函数关系式-6 -6 .如图，在 RtABC中，已知 AB= B

6、C= CA= 4cm, AD± BC于D,点P、Q分别从 B C两点同时出发，其中点 P沿 BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA AB向终点B运动，速度为2cm/s ,设它们运动的时间为 x（s）.求 x为何值时，PQLAC设 PQD勺面积为y（cm2）,当0vxv2时，求y与x的函数关系式；当 0vxv2时，x的取值范围（不求证：AD平分4PQD勺面积；探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系.请写出相应位置关系的要求写出过程）7 .如图，在梯形 ABC邛，AD/ BC,AD=3,DC=5,AB=4<2 , / B=45° ,动点M从B点出发沿线段 BC以每秒

7、2个单 位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动.设 运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MM AB时，求t的值.（3）试探究：t为何值时，zMNC为等腰 三角形B8 .如图，梯形 ABCD43, AD/ BC, AB=DC=AD=4 BD±CD E是 BC的中点.（1）求/ DBC勺度数；（2）求 BC的长；（3）点P从点B出发沿B-C以每秒3个单位的速度向点 C匀速运动，同时点 Q从点E出发沿 D以每秒1个 单位的速度向点 D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为 t （s）,连接PQ当t为何

8、值时 PEQ为等腰三角形.9.如图，在梯形 ABCD43, DC/ AB, Z A=90° , AD=6厘米,DC=4厘米，BC的坡度i=3 : 4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿 AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B? C? D方向向点D运动，两个 动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连接PQ设 PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式， 求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？动点问题(六)答案1 .解：(1)如图1,重叠部分的面积为12X

9、22=2cm2(2)当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8如图 2,当 6VXV8 时，设正方形 DEFG 与 AB 交于点 M,在 RtAMEB 中，/ MEB=90 ° , ME=EB=CB-CE=6- (x-2) =8-x.重叠部分面积：y=SAMEB= 12 ?EB2= 12 (8-x) 2在正方形运动过程中，分四种情况：当0V x<2时，如图3,重叠部分面积y=2x ,且0vyv4令y= 12 ,得2x=12,解得 x= 14当2WxW4时，如图4重叠部分面积都为 4cm2,此时yw 12当4vxW6时，如图5,易见重叠部分面积 y随x的增大而减小由上面得出的

10、结论知当x=4时，y=4 ;由(1)知当 x=6 时，y=2 .1.2<y<4,此时 yw 12当6Vx<8时，由(2)已求得 y= 12 (8-x) 2= 12 (x-8) 2, 二 y随x的增大而减小，又当 x=6时，y=2 ,当 x=8 时，y=0 时，0vyv2 令 y= 12 (x-8) 2= 12 ,解得 x1=7, x2=9 (不合题意，舍去)x=7 综上，当 x= 14 或 x=7 时，y= 12 .2 .解：(1)根据题意，易证 PAMh NAEB 所以 PMNB= AMAB 即 PM1= 4-14 ,故 PM= 34.(2) PN。 PAtDDABN= A

11、PPN 又 AD/ MQ/ BC,APPN= AMMBDABN= AMMB 又; a=5 厘米，所以3t= 5-tt ,解得t=2 .相似比为 DANB= 32.故当时间t=2秒时，使 PN/ PAD它们的相似比为 32 .(3) ,. AMPAABhNa-ta= MPt , MP=t- 12a ,于是根据梯形面积公式：12 ( MP+t) t= 12(3-MP) +3(a-t ),将 MP=t- t2a 代入 12 (MP+t) t= 12 (3-MP) +3 (a-t )得，(t- t2a+t ) t= (6-t+ t2a ) (a-t ), 整理得，t2+ (6+a) t-6a=0 ,由

12、于存在某时刻使梯形PMBNf梯形PQDA勺面积相等，故方程 t2+ ( 6+a) t-6a=0有解，于是0,则(6+a) 2-4 x (-6a) > 0,解得 a>-18+12 2 ;或 a<-18-12 2 .又因为 a>3,故 a 的取 值范围是a>3.(4)设存在这样得矩形 ABCD t (0vtv3)秒时，BN=BM=t AM=a-t, CN=3-t, AMAB= MPB,Na-ta= MPt , MP= t(a-t)a , QP=3-MP= 3+t2-ata，依题意：t(a-t)a+t ?t=3-t (3+t2-at)a?t= (3+ 3+t2-ata

13、) (a-t),2t2-4at+3a+3=0(1), a2t+3at+3t=3a2+3a , t= 3a(a+1)a2+3a+3 代入(1), a4=3a2+6a+3=3 (a+1) 2,，当时间t为1秒或2秒时，SaPCQ八一、-113、(1)Sapcc - PC-CQ= -(3-t) 2t =(3-t)t =2,解彳导t1 = 1, t2 = 222,2 Q=2 厘米 2;(2)当 0v tw2 时，S= t2 +3t=-t 3 I +；24a2= 3 (a+1),解得 a= 3+3+432 2.44 < 3 符合题意；或 a= 3-3+432 < 0 (舍去).当2v t W

14、3时，S =4t2-18t +6=4lt-9L39；当 3<t“时，$=一。+红.42=-305；555420 39555524(3)有； 在0vtw2时当t = 一，S有最大值15 S=；在2vtw时，当t = 3, S有最大值，1s2=一 在3 V tW4.5时，当t = , S有最大值，S3= ; ' S4< S2< S3，t =一时，S有最大值，S最大值=.52424(4) : Q C两点的坐标分别为 O(0,0), C(8,6股OC的解析式为y = kx + b ,将两点坐标代入得:y = a(x-0Jx-18 两将 C&6),b=0,y=3x .A

15、,。是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为4代入得：a27+ x D(10,6)33 2，y 二 一一xm2 + 1 - m=(2t 2 . m = -t , /. Q 8t, t , (0 w t w 5)14 J " '5<5 5 J4040当Q在OC±运动时，可设Qm,3m依题意有:,4当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t ,OC=10,CQ=2t 10，Q点的横坐标为2t 10 + 8 = 2t 2 ,Q(2t2,6), (5<t <10)梯形OABC勺周长为44,当Q点OC上时，P运动的路程为t,则Q运动的路程为(22-1 )3 _1 _

16、31 _ _ _ OPQ, OP 边上的图为：22 -t ><-, S apq = t 22 t 卜，梯形 OABC勺面积=18 +10 卜 6 = 84 ,依52521 31题意有：一t 22 t一=84 M,整理得：t222t+140 = 0-= 222 4 父 140 < 0 , .这样的 t 不存2 52在，当 Q在BC上时，Q走过的路程为 22t ,CQ的长为：22 t 10 = 12 t。.梯形 OCQP的面积=1 1父6(22 -1 -10+t户36W84X 。.这样的t值不存在.综上所述，不存在这样的t值，使得 巳Q两点同时平2 2分梯形的周长和面积5.在 R

17、tAPMN, PM= PN / P= 90° , . . / PMI / PN时 45° ,延长 Ag另交 PM PN于点 G H,过点G 作 GF, MNF F,过点 H 作 HTX MN 于 T,DO 2cm,. M已 GE 2cm, TN= HT= 2cn1MN= 8cm, . MR 6cm, 因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和RtPMNt叠部分的形状可分为下列三种情况：(1)当C点由M点运动到F点的过程中(0ExE2,如图所示，设 CD与PM交于 点E,则重叠部分图形1-1 2y = -MC EC = x2是 RtMCE 且 MC= EC=

18、 x,22(0WxW2)(2)当C点由F点运动到T点的过程中(2<xW6),如图所示，重叠部分是直角梯形MCDG.-MC= x, MF=2,FC= DG= x-2,且 DC =2,y =-( MC +GD)4C =2x2 (2 <x<6);2(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6 <x -8),如图所示，设 CD与PN交于点Q则重叠部分是五边形1 /112y = -(MN GH)- DC CN CQ-(4)12MCQHGMC= x ,CN= CQ= 8-x,且 DC= 2 ,222(6 <x <8)o6、二.当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AG由题意得：B

19、P= x,CQ= 2x ,PC= 4-x,AB= BC= CA= 4, Z C= 600,若 PQL AC,则有/ QPC= 30°, . . PC= 2CQ- 4-x=2X2x,，x=4 , .当 x = J4 (Q 在 AC上)时，PQ! AC 55当 0vxv2 时，P 在 BD 上，Q 在 AC 上，过点 Q作 QHL BC 于 H,/ C= 600, QC= 2x, . QH= Q(X sin60 0 = V3x AB= AC, AD± BC, . . BD= CD= BC = 2，DP= 2-x, y = 2 PD - QH= 2 (2 x) /x= Jx2 +

20、 73x当 0vxv2 时，在 RtAQHO, QC= 2x, / C= 600, . HC= x, . BP= HCBD= CD . DP= DH / AD± BC, QH±BC,AD/ QHOP= OQ- Sapd Sadq9 /. AD平分 PQD勺面积；4 ,、16 .显然，不存在x的值，使得以pQ为直径的圆与AC相离当x二或万时，以pQ为直径的圆与AC相切。当0Wxv4或4vxv竺或 <x< 4时，以PQ为直径的圆与 AC相交。 5 555=AD =3.在 RtAABK 中,AK = AB sin 457.解：(1)如图，过A、D分别作AK _L BC

21、于K , DH _L BC于H，则四边形 ADHK是矩形，KH在 RtACDH 中，由勾股定理得， HC = J52 -42 = 3, BC = BK + KH + HC =4 + 3 + 3 = 10(2)如图，过D作DG / AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形: MN / AB MN / DGBG = AD =3 . GC =103=7 由题意知，当 M、 N 运动到 t 秒时，CN = t CM =10 -2t . DG / MN/ NMC =/ DGC 又 / C =/ C ： AMNC GDC . CN = CM 即1=10 一>解得，t =50CD CG 5717

22、10_(3)分三种情况讨论：当NC =MC时，如图，即t =10 -2t . t =1当MN = NC时，如图，过N作NE _L MC 31 1_ _ _EC 5-t于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC =MC =(102t) = 5t在RtACEN中，cosc=上2 = 一又2 2NC tCH3 5 -t 325在 Rt DHC 中，cosc =二二解得 t =解法二：./ C = / C, ZDHC =/NEC =90， CD 5 t58 NC EC t 5 -t25_ NEC s DHC :=即一=/. t =当 MN = MC 时，如图，过 M 作 MF _1_ CN 于 FDC HC 538上一1 一八1 ,一点.FC = NC = t斛法22(方法同中解法)cosL MCo3 一 160=斛得t = 解法10-2t 517/C =/C, /MFC =/DHC =90*. AMFC DHCt 一一FC MC 口u 2t 10-2t=即=HC DC 35,60