六年级奥数-面积计算

1、面积计算（一）专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联 系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以 深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征， 添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。例题1。已知图181中，三角形 ABC的面积为8平方厘米，AE = ED, BD=2 BC ,求阴影部3分的面积。D 18- 1【思路导航】

2、阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于 AE=ED,2因为BD=-3连接DF,可知Saaef=Saedf （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分 转化为求三角形BDF的面积。BC,所以 Sbdf = 2Secf。又因为 AE = ED,所以 Saabf = Sabdf = 2Sadcfo因此，Sa ABC =5 Smcf。由于S"BC = 8平方厘米，所以Smcf = 8+5= 1.6（平方厘米） 例题2。则阴影部分的面积为1.6X 2=3.2（平方厘米）。练习1、如图18 2所示,AE = EDBC=3BD ,Saabc = 30平方厘米。求阴影部分的面

3、积。2、如图18 3所示,AE=ED ,DC=1 BD3Saabc = 21平方厘米。求阴影部分的面积。3、如图184所示,1DE = 2 AE ,BD = 2DC , Saebd = 5平方厘米。求三角形 ABC的面积。AFDC BAD18-3C185两条对角线把梯形 ABCD分割成四个三角形，如图 185所示，已知两个三角形的面 积，求另两个三角形的面积各是多少？18-918-63、已知三角形 AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图188所示）。【思路导航】已知Saboc是Sadoc的2倍，且高相等，可知： BO=2DO;从S"bd与

4、Saacd 相等（等底等高）可知：S*BO等于6,而人8。与4AOD的高相等，底是 AOD 的 已知AO = 1 OC,求梯形ABCD的面积（如图18 7所示）。 3倍。所以 aod的面积为6+ 2= 3。因为Saabd与Saacd等底等高所以Saabo = 6因为Sa BOC是Sa DOC的2倍所以 ABO是/ AOD的2倍所以 aod = 6 + 2=3。答： AOD的面积是3。练习21、两条对角线把梯形 ABCD分割成四个三角形，（如图18 6所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？例题3。四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形 AECF的面积为15平方

5、厘 米。求四边形 ABCD的面积（如图189所示）。【思路导航】 由于E、F三等分BD,所以三角形 ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形， 它们的面积相等。 同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知， 三角形ABD的面积是三角形 AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形 CEF面积的3倍，从而得出四边形 ABCD的面积是四边形 AECF面积的3倍。15X 3 = 45 （平方厘米）答：四边形 ABCD的面积为45平方厘米。练习31、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形 AECG的面积为15平 方厘米。求四边形 ABCD的面积（如图1810）。2、

6、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图1811所示）。3、 如图1812所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。18-121、15X2= 30平方厘米例题4。如图1813所示，BO = 2DO,阴影部分的面积是 4平方厘米。那么，梯形 ABCD的 面积是多少平方厘米？18- 13【思路导航】因为BO = 2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性 质，可知SaDBC = SaCDA ； Sa COB = Sa DOA = 4, 类推可得每个三角形的面积。所 以，Sacdo = 4- 2= 2 （平方

7、厘米）S4DAB =4X 3= 12 平方厘米S梯形ABCD = 12+4+2 = 18 （平方厘米）答：形ABCD的面积是18平方厘米。练习41、 如图1814所示，阴影部分面积是 4平方厘米，OC = 2AO。求梯形面积。2、 已知OC=2AO, SA BOC=14平方厘米。求梯形的面积（如图 18-15所示）。3、 已知Saaob=6平方厘米。OC=3AO,求梯形的面积（如图 1816所示）。例题5。如图1817所示，长方形 ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF 的面积是4,求三角形 ABC的面积。【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线 AE后，使问题可有如下解法

8、。由图上看出：三角形 ADE的面积等于长方形面积的一半（16 + 2） = 8。用8减去3得到 三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形 AEC的面积也为4。 因此可知三角形 AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE 与三角形BEC等底，高是三角形 BEC的2倍，三角形BEC的面积为5+2 = 2.5,所以，三角形 ABC的面积为16 34 2.5 = 6.5。练习51、 如图1818所示，长方形 ABCD的面积是20平方厘米，三角形 ADF的面积为5平 方厘米，三角形 ABE的面积为7平方厘米，求三角形 AEF的面积。2、 如图1819所示，长方形 ABCD的面

9、积为20平方厘米，Sabe = 4平方厘米，空afd =6平方厘米，求三角形 AEF的面积。3、 如图1820所示，长方形 ABCD的面积为24平方厘米，三角形 ABE、AFD的面积 均为4平方厘米，求三角形 AEF的面积。18-18181918-20答案:练11、 30+5X 2= 12平方厘米2、 21 + 7X 3=9平方厘米3、 5X3 + 2 =221平方厘米32练21、 4+2=28 + 2=42、 8X2=1616+8X2+4 = 363、 15X 3=4515+5+15+45 = 80练32、 15X4= 60平方厘米3、 6X6 + 26X4+2=6平方厘米6X2-4= 3平

10、方厘米(6+3) X 6+2 = 27平方厘米练41、 4X2=8平方厘米8X2= 16平方厘米16+8+8+4 = 36平方厘米2、 14+2= 7平方厘米7+2= 3.5平方厘米14+7+7+3.5 = 31.5 平方厘米3、 6X (3+1) = 24 6+3 = 224+6+2 = 32练51、2、3、120+27=33X2 = 1.520-7-5-1.5=6.520+2= 1010-6223(104)*=2520-6-4-25 =7541 一24+2=12平万厘米(12 4) X ( 1- ) =53平万厘米244451 = 102 平方厘米 33面积计算（二）专题简析：在进行组合图

11、形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本 单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。例题1。求图中阴影部分的面积（单位：厘米）Z6【思路导航】 如图191所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1 4圆的面积。c1一、一，62X 3.14X 4 =28.26 （平万厘米）答：阴影部分的面积是 28.26平方厘米。练习1求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 。19219319 4例题2。求图195中阴影部分的面积（单位：厘米）慝4嫉19-519 6【思路导航】 阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图 196所示），从 图中可以看出阴影

12、部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。C 1一、一，3.14X42><4 4X4+2+2=8.56 （平万厘米）答：阴影部分的面积是 8.56平方厘米。练习2计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 。19-719-819-9例题3。如图19-10所示，两圆半径都是 1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形 ABO iO的面积。【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图 1910右图 所示）。所以C. . 13.14X 12X4 X 2= 1.57 （平万厘米）答：长方

13、形长方形 ABO1O的面积是1.57平方厘米。 练习31、 如图1911所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形2、 如图1912所示，直径BC = 8厘米，AB = AC,D为AC的重点，求阴影部分的面积。3、 如图1913所示，AB = BC=8厘米，求阴影部分的面积。例题4。如图1914所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）【思路导航】我们可以把三角形 ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II

14、的面积相等。6X 4=24 （平方厘米）答：阴影部分的面积是 24平方厘米。练习41、 如图1915所示，求四边形 ABCD的面积。2、 如图1916所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。3、 图19-17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部1916）日衿 19 15 例题5。如图1918所示，图中圆的直径 AB是4厘米，平行四边形 ABCD的面积是7平方厘 米，/ABC = 30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。19- 18【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。半径：4+

15、2 = 2 （厘米）扇形的圆心角：180 （ 18030X 2） = 60 （度）扇形的面积：2X2X3.14X；60 =2.09 （平方厘米）360三角形BOC的面积：7+2 + 2=1.75 （平方厘米）7- （2.09+1.75） = 3.16 （平方厘米）答：阴影部分的面积是 3.16平方厘米。练习51、 如图1919所示，/1 = 15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为 100 平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。2、 如图1920所示，三角形 ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径 AC= 6厘米， BD: DC= 3: 1。求阴影部分的面积。3、 如图1

16、9 21所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。答案：练11、 图答1191阴影部分的面积为：6X6X- =18平万厘米2、图答192阴影部分的面积为：6X6=36平方厘米一 ，一一 1图答193阴影部分的面积为:10X (10+2) X 2 X2=50 平万厘米 练21、 图答194中阴影部分的面积为：（2+2） X 2=8平方厘米- ,1 一、一，2、 图答一5阴影部分的面积为：4X 4X11 = 8平方厘米113、 图答196阴影部分的面积为：42X3.14X- -4X 4><2 = 4.56平方厘米练31、 图答197中，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）

17、的面积相等。所以，平行四边形的面积和圆的面积相等。因此，平行四边形ABCD的面积是：（12.56 + 3.14+2） 2X3.14= 12.56 平方厘米2、 （8 + 2） 2X3.14X1 =12.56 平方厘米4c113、 （8 + 2） 2X 3.14X4 + （8+2） X 2 =20.56 平万厘米第二题和第三题，阴影部分的面积通过等积变形后可知。如图答19-7和图答198所示。1、如图答199所示：延长BC和AD相距与E,四边形ABCD的面积是:7X7X2 -3X 3X2=20平方厘米2、3、如图答1910所示，因为 S1 = S2,所以CD = 38+5 = 7.6厘米如图答1

18、9-11所示：阴影部分面积等于梯形的面积，其面积为：30+ 2= 3000平方厘米(120+120 40) X1、如图答19-12所示圆心角 AOB的度数为180 ( 180 15X 2) = 30度平行四边形内一个小弓形的面积为(62.8+3.14+2) 2X3.14X；30- 100+4=1.17 平方厘米3602、阴影部分的面积为 100+21.17=48.83平方厘米如图答19-13所示：圆心角 AOD的度数为180 ( 18060X2)扇形AOD的面积为(6+2) 2X 3.14X110 =9.42平方厘米360=120 度3、阴影部分的面积为 9.42 31.2 X? X1 =5.

19、52平方厘米 3+12如图答1914 (1)所示：圆心角 AOC的度数为180 30X2= 120度扇形AOC的面积(12 + 2) 2X 3.14X120 =37.68平方厘米3601二角形AOC的面积为(12 + 2) X 5.2X2 =15.6平方厘米阴影部分的面积 37.68- 15.6= 22.08平方厘米如图答19-14 (2)所示圆心角BOC的读书180 ( 180 30X 2) = 60度扇形ABD的面积602X 3.14X；30- =942平方厘米3601一、二角形AOC的面积(60+ 2) X 26X2 =390平方厘米扇形BOC的面积(60 + 2) X 3.14x10-

20、 =471平方厘米 360阴影部分的面积 942390471 =81平方厘米面积计算（三）专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中 的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题”的原理来解 答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。例题1。如图20-1所示，求图中阴影部分的面积。20- 120 2【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图202）,等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20+ 2= 10厘米 _c 1-一、

21、一，3.14X102><4 10X （10 + 2）】X 2=107 （平万厘米） 答：阴影部分的面积是 107平方厘米。 解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为 10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三 角形的面积所得的差。C 1C 1（20 + 2） 2X2 （20+ 2） 2X2 = 107 （平万厘米）答：阴影部分的面积是 107平方厘米。练习11、 如图204所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2、 如图20 5所示，用一张斜边为 29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸

22、片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少?20520 4例题2。如图206所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）620-62。-7【思路导航】a）的面积，再用大扇形的面解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（ 积减去空白部分（a）的面积。如图207所示。C 1C 13.14X 62X 4 （ 6X43.14X 42*4 ） = 16.82 （平万厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20-8所示。把大、小两个扇形面积相加, 刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。20-8O. . 1O. . 13.14X42

23、X 4 +3.14X 62X4 4X6= 16.28 （平万厘米）答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。20- 101、 如图209所示， ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米） 。2、 如图2010所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、 BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。3、 如图2011所示，图中平行四边形的一个角为600,两条边的长分别为 6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。例题3。在图20-12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。20- 1220-1320- 14【思路导航】

24、解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积, 用正方形的面积减去全部空白部分。得空部分的一半（如图20-13所示），再空白部分的一半：10X10 （10+2） 2X3.14=21.5 （平方厘米） 阴影部分的面积：10X1021.5X2=57 （平方厘米）解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。（10+2） 2X3.14X2-10X10=57 （平方厘米）答：阴影部分的面积是 57平方厘米。（如图20-14所示），而练习3求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）O101020-1620-15520- 17例题4。在正方形ABCD中，A

25、C =6厘米。求阴影部分的面积。20- 18【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形 ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性 可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20-18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形 ABCD的面积，即扇形半径的平方。 这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入 圆面积公式计算。既是正方形的面积，又是半径的平方为：6X （6+2） X2=18 （平方厘米）阴影部分的面积为：1818X3.14 + 4=3.87 （平方厘米）答：阴影部分的面积是 3.

26、87平方厘米。练习41、 如图2019、20 20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。2、 如图20-21所示，正方形中对角线长 10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为 半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。20-2020-1920-21例题5。在图20-22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20 23所示），从图中可

27、以看出，新正方形的面积是 30X2=60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。13.14X （30X2） X 4 30=17.1 （平万厘米）答：阴影部分的面积是 17.1平方厘米。练习51、 如图2024所示，平行四边形的面积是 100平方厘米，求阴影部分的面积。2、 如图2025所示，。是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘 米，求阴影部分的面积。3、 如图2026所示，半圆的面积是 62.8平方厘米，求阴影部分的面积。20-2420-2520-26答案：练11、 如图答201所示，因三角形BCD中

28、BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面 积是：62X3.14X 篇-6X (6+2) X 1 =5.13 平方厘米36022、 如图答20-2所示，将红色直角三角形纸片旋转900,红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：149X29X2 =710.5 平万厘米练21、 如图答20-3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得 到阴影部分的面积。11(2+2) 2X3.14X2 X2 2X2X2 =1.14 平万厘米2、 思路与第一题相同111一、.(4+2)2X3.14X2+ (2+2)2X3.14X24X2X2= 3.85 平万厘米3、 如图答204所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是：【(82+62) X 3.14X 禽 8X5.2X 2 = 21:7 平方厘米36015练31、 如图答205所示，阴