相似三角形六大证明技巧

1、第2讲相似三角形6大证明技巧模块一相似三角形证明方法之反A型与反X型回顾相似三角形的判定方法总结：1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似2.三边成比例的两个三角形相似.(SSS3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反 A 型：如图，已知ABC,/ADE=/C,若连 CD、BE,进而能证明ACDAABE(SAS)试一试写出具体证明过程模型二：反 X 型：如图，已知角/BAO=/CDO,若连 AD,BC,进而能证明AODABOC.试一试写出具体证明过

2、程应用练习：1.已知 4ABC 中，/AEF=/ACB,求证：(1)AEAB=AFAC(2)/BEO=/CFO,/EBO=/FCO(3)/OEF=/OBC,/OFE=/OCB132.已知在从BC中，/ABC=90,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.当点P在线段AB上时，求证：AAPQs丛BC;（2）当APQB为等腰三角形时，求AP的长。模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影模型三：射影定理如图已知ABC,/ACB=90,CHLAB 于 H,求证：AC2=AHAB,BC2=BHBA,HC2=HAHB,试一

3、试写出具体证明过程模型四：类射影BDAB如图，已知 AB2=ACAD,求证：二，试一试写出具体证明过程BCACB应用练习:1 .如图，在 4ABC 中，ADBC 于 D,DE，AB 于 E,DF，AC 于 F。求、丁AEAC证：一AFAB2 .如图，在 4ABC4ABC 中，八口，8 8。于口，口，八 8 8 于,口尸，八。于尸，连EF,求证:/AEF=/C15模块一相似三角形证明方法之一线三等角模型五：一线三等角如图，已知/B=/C=/EDF,则BDEsCFD(AA),试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，ABC和4DEF两个全等的等腰直角三角形，/BACWEDF=9(J,ADEF的顶点

4、E与4ABC的斜边BC的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：zBP/ACQE(2)(2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：zBPaACEC；并求当BP=a,CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)长。（直接写出结果，不必写出解答过程）172 .AABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作/MDN=/B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与丛DE相似的三角形.（2）如图（2）,将/MDN绕点D沿

5、逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.（3）在图（2）中，若AB=AC=10,BC=12,当ADEF的面积等于丛BC的面积的工时，求线段EF的长.3.如图，点3在线段4c上，点。、E在?IC同侧，2A=Uto,.4。=UC011）求证：AC=.-W+CE。（2）若=CE=5,点F为线段加上的动点，连接DR,作PQ1D匕交直线BE于点Q。当点P与人B两点不重合时，求的值。当点P从土点运动到的中点时，求线段网的中点所经过的路径（线段）模块二I比例式的证明方法之三点定型通过前面的学习，我们知道，比例线段的

6、证明，离不开“平行线模型（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6 种“相似*II 型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。1 .如图，在 RHABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，

7、NABC 的平分线 BEBE 交 AC 于 E E, ,交 AD 于2 .如图，平行四边形 ABCD 中，E E 是 ABAB 延长线上的一点,DE 交 BC 于 F,求证：DCCF-3 .如图，4ABC 中，/BAC=90*,M M 为 BC 的中点，DM_LBC 交 CA 的延长线于于 E.E.求证：AMAM2=MDME=MDMEF.F.求证:BFABBE-BCAEADC若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换【例1】如图，在ABC,AD 平分/BAG,AD 的垂直平分线交 AD 于

8、 E,交 BC 的延长线于F,求证：FD2=FBFC证明：连接 AF,4。是/8AC 的平分线，12，,:FE是 AD 的垂直平分线，：FA二FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.AFAD=FDA等边对等角）,;B.I1一门。又：二1Uh【例2】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E E 在边 BABA 的延长线上,模块二比例式的证明方法之等线段代换19），CE 交 AD 于 F,ACBE=CE.AD【例3】如图，4ACB 为等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90,/DAE=45,求证:AB2=BECD【例4】如图，4ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P P 是 AD

9、上一点，过 C 作 CF/AB延长 BPBP 交 ACAC 于 E,E,交 CF 于 F.F.求证:BPBP2= =PEPF-PEPF-模块二比例式的证明方法之等比代换，OB2=OE-OF.在ABC 中，已知/A=90时，AD_LBC 于 D D, ,E E 为直角边 ACAC 的中点,E E 作直线交 A AB B的延长线于 F.F.求证：ABAF=ACDF.例 7如图，在ABC 中（ABAC）的边 ABAB 上取一点 D D, ,在边 ACAC 上取一点 E E, ,使AD=AE,直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P.求证：BPCE=CPBD【例 5】如图，平行四边形 ABCDABCD

10、 中，过 B B 作直线 ACAC、AD 于 O O, ,E E、交 CDCD 的延长线于 F F，求证：OB2=OEOF.【解题方法提示】OBOF要证OB2=OF-OE,即证OE=OB,接下来你有思路了吗？OAOB因为 AB/CE,由平行线分线段成比例定理，可得OC=OE;OAOF同理因为 AF/BC,可得=:;,由等式的传递性，问题即可得证证明：VAB/CE,VAF/BC,【例 6】 如图,过D D、21A例8.(1)如图1,在丛BC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE/BC,AQ交DE于点P,求证：空=空；BQPC(2)如图，9BC中，/BAC=90,正方形DEFG的四个顶点

11、在小BC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长；如图3,求证：MN2=DM?EN.模块二比例式的证明方法之等积代换【例8】如图，ABC中， BDBD、 CE是高， EH_LBC于H、 交B BD D于G G、 交CA的延长线于M.求证： HE2=HGMH.如图，在ABC 中，/BAC=90D D 为 ACAC 中点，AE_LBD,EAE_LBD,E 为垂足，求证:ZCBD=/ECD.在 RtAABC 中，ADBC,P 为 AD 中点，MNBC,求证MN2=ANN=ANNC11.如图，已知 AABCAABC 中，AD,BF 分别为 BC,AC 边

12、上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延长线于 Ho 求证：DU=EG?EH【例9】【例10】模块二比例式的证明方法之证等量先证等比23A【例13如图，ABC 为等腰直角三角形，点 P 为 AB 上任意一点，PFXBC,PEXAC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M.,求证：PM=PN,MN/AB.【例14如图，正方形 BFDE 内接于ABC,CE 与 DF 交于点 N,AF 交 ED 于点 M,CE【例11】已知，平行四边形ABCD 中，E、F 分另 1J 在直线 AD、CD 上，EF/AC,BE、BF分别交 AC 于 M、N.,求证：AM

13、=CN.【例12】已知如图 AB=AC,BD/AC,AB/CE,证：AM=NC,MN/DE.过 A 点的直线分别交 BD、CE 于 D、E.25与 AF 交于点 P.求证：(1)MN/AC；(2)EM=DN.【例16（X）如图，梯形 ABCD 的底边 AB 上任取一点 M,过 M 作 MK/BD,MN/AC,分别交 AD、BC于 K、N,连 KN,分别交对角线 AC、BD 于 P、Q,求证：KP=QN.【例15】（X）设 E、F 分别为 AC、AB 的中点，D 为 BC 上一点,P 在 BF 上，DP/CF,Q 在 CE 上，DQ/BE,PQ 交 BE 于 R,交 CF 于 S,求证:c1c1

14、 八RSPQRSPQ3 3【例 17】(2016 年四月调考)如图，在ABC 中，ACAB,AD 是角平分线，AE 是中线，BFLAD 于 G,交 AC 于点 M,EG的延长线交 AB于点 H.(1)求证：AH=BH,(2)若/BAC=60,求毛的值.【例 18】(2016 七一华源)如图：正方形 ABCD 中，点 E、点 F、点 G 分别在边 BC、AB、CD 上，/1=/2=/3=a 求证：(1)EF+EG=AE(2)求证：CE+CG=AFDG模块二比例式的证明方法之动点问题运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避

15、免遗漏。利用相似三角形对应边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。1 .如图， 在 RtAABC 中， /ACB=90,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1/AC.动点 D 从点 A 出发沿射线 AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动.过点D 作 DHLAB 于 H,过点 E 作 EFLAC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点， 连接 DG.设点 D 运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时，AD=AB,并求出此时 DE 的长度；(2)当 4DEG 与 4ACB 相似时，求 t 的值.2 .如图，

16、在 4ABC 中，/ABC=90,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C移动.同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为 t 秒.(1)当 t=2.5s 时，求 4CPQ 的面积；求 4CPQ 的面积 S(平方米)关于时间 t(秒)的函数解析式；(2)在巳 Q 移动的过程中，当 4CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值.3 .如图 1,在 RABC 中，/ACB=90,AC=6,BC=8,点 D 在边 AB 上运动，DE 平分/CDB 交边 BC 于点E,

17、EMXBD,垂足为 M,ENICD,垂足为 N.(1)当 AD=CD 时，求证：DE/AC;(2)探究：AD 为何值时，4BME 与 ACNE 相似？4 .如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，27沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动.设运动的时间为 x.(1)当 x 为何值时，PQ/BC?(2)AAPQ 与 4CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由.5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm,

18、BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间(0vtv6)。(1)当 t 为何值时，4QAP 为等腰直角三角形？(2)当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？模型三：射影定理如图已知ABC,/ACB=90,CH，AB 于 H,求证:模型四：类射影应用练习:AEAC1 .如图，在 4ABC 中，ADBC 于 D,DELAB 于 E,DF,AC 于 F。求证：=2 .如图，在ABCABC 中，AD_LBCAD_L

19、BC 于 D,DE_LABDE_LAB 于 E,口尸_1 八。于尸，连 EF,求证:ZAEF=ZC_2_CHAHB,试一试写出具体证明过程_22AC=AHAB,BC=BHBA-如图，已知 AB2=ACAD,求证:BDAB,试一试写出具体证明过程BCAC29模块一相似三角形证明方法之一线三等角模型五：一线三等角如图，已知/B=/C=/EDF,则BDEsCFD(AA),试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，ABC和4DEF两个全等的等腰直角三角形，/BACWEDF=9(J,ADEF的顶点E与4ABC的斜边BC的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与

20、射线CA相交于点Q.(3)如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：zBP/ACQE(4)(2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：zBPaACEC；并求当BP=a,CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)2 .AABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作/MDN=/B(1)如图(1)当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与丛DE相似的三角形.(2)如图(2),将/MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3)在图(2)

21、中，若AB=AC=10,BC=12,当ADEF的面积等于丛BC的面积的工时，求线段EF的长.313.如图，点片在线段AC上，点|D、E在4c同侧，ZA=ZC=90BD1BE,AD=BC。（1）求证：.4C=D+CE。（2）若勘=3,CE=5,点P为线段M上的动点，连接DP,作PQLDP,交直线HE于点Q。当点P与、R两点不重合时，求?：”的值。当点P从1点运动到的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型（A A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6 种“相似*IIII 型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎

22、样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。BFABBE 一 BC1.如图，在 RtABC 中,AD 是斜边 BC 上的高,/ABC 的平分线 BEBE 交 ACAC 于 E E, ,交 AD 于D2 .如图，平行四边形 ABCD 中，E E 是 A

23、BAB 延长线上的一点,DE 交 BC 于 F,求证：DCCFAEAD3 .如图，ABC 中，/BAC=90*,M M 为 BC 的中点，DM_LBC 交 CA 的延长线于 D D, ,交 ABAB于 E.E.求证：AMAM2=MDME=MDME=/FD4（等边对等角）,4CF=/FD4+22【例 19如图，在ABC,AD 平分/BAC,AD 的垂直平分线交 AD 于 E,交 BC 的延长线于2.F,求证：FD=FBFC证明：连接 AF,2,:FE是 AD 的垂直平分线，=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),33一力,1/7；一匕如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E E

24、在边 BABA 的延长线上，CE 交 AD 于 F,/ECA=/D求证：ACBE=CEAD如图，4ACB 为等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90,/DAE=45,求证:_2AB=BECD如图，ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P P 是 AD 上一点，过 C 作 CF/AB,延长 BPBP 交 ACAC 于 E E,交 CF 于 F F.求证：BPBP2= =PEPF-PEPF-【例20【例21【例22模块二比例式的证明方法之等比代换【例 23如图， 平行四边形 ABCDABCD 中， 过 B B 作直线 ACAC、 AD 于 O O, ,E E、 交 CDCD 的延长线于 F,求证

25、： OB2=OEOF.证明：VAB/CE,35OAOF同理因为 AF/BC,可得=（）b由等式的传递性，问题即可得证OBOF=OE=OB，OB2=OE-OF.【例24如图，在ABC 中，已知/A=90。时，AD_LBC 于 D,ED,E 为直角边AC的中点,过 D D、E E 作直线交ABAB 的延长线于 F.F.求证：ABAF=ACDF.如图，9BC中，/BAC=90,正方形DEFG的四个顶点在小BC【例25如图，在 4ABC 中(ABAC)的边 ABAB 上取一点 D D, ,在边 ACAC 上取一点 E E, ,使AD=AE,直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P.求证：BPCE=CP

26、BD(1)如图1,在丛BC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且BC,AQ交DE于点P,求证：DP=-PE;BQPC例8.DE/(2)的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;如图3,求证：MN2=DM?EN.模块二比例式的证明方法之等积代换【例26如图，ABC中， BDBD、 CE是高， EH_LBC于H、 交B BD D于G G、 交CA的延长线于M.求证： HE2=HGMH.【例27如图，在ABC 中，ZBAC=90=90, ,D D 为 ACAC 中点，AE_LBDAE_LBD, ,E E 为垂足，求证:/CBD=NECD.37C

27、C【例28】在 RtAABC 中，ADXBC,P 为 AD 中点，MN，BC,求证 MNMN2= =ANAN，NCNC11.如图，已知 AABCAABC 中，AD,BF 分别为 BC,AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延长线于 Ho 求证：DE2=EG?EH模块二比例式的证明方法之证等量先证等比【例29】已知，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在直线分别交 AC 于 M、N.,求证：AM=CN.【例30】已知如图 AB=AC,BD/AC,AB/CE,过 A 点的直线分另交BD、CE 于 D、E.求证：AM=NC,MN/DE.AD、CD 上

28、，EF/AC,BE、BFBC【例31如图，ABC 为等腰直角三角形，点 P 为 AB 上任意一点，PFXBC,PEXAC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M.,求证：PM=PN,MN/AB.【例32如图，正方形 BFDE 内接于ABC,CE 与 DF 交于点 N,AF 交 ED 于点 M,CE 与 AF 交于点 P.求证：(1)MN/AC;(2)EM=DN.【例33】()设 E、F 分别为 AC、AB 的中点，D 为 BC 上一点，P 在 BF 上，DP/CF,39-_1-Q 在 CE 上，DQ/BE,PQ 交 BE 于 R,交 CF 于 S,求证：RS=RS=PQPQ3 3【例3

29、4（X）如图，梯形 ABCD 的底边 AB 上任取一点 M,过 M 作 MK/BD,MN/AC,分别交 AD、BC于 K、N,连 KN,分别交对角线 AC、BD 于 P、Q,求证：KP=QN.模块二比例式的证明方法之几何计算【例35】（2016 年四月调考）如图，在ABC 中，AOAB,AD 是角平分线，AE 是中线，BFLAD 于 G,交 AC 于点 M,EG 的延长线交 AB 于点 H.（1）求证：AH=BH,（2）若/BAC=60,求FG的值.DG【例36】（2016 七一华源）如图：正方形 ABCD 中，点 E、点 F、点 G 分别在边 BC、AB、HBCCD 上，/1=/2=/3=a 求证：（1）EF+EG=AE（2）求证：CE+CG=AF运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。利用相似三角形对应边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。1 .如图， 在 RtAABC 中， /ACB=90,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1/A