2019天津卷理科数学高考真题

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷至2页，第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(AUB)P(A)P

2、(B). 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B). 圆柱的体积公式VSh,其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.1 棱锥的体积公式V-Sh,其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.3、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A1,1,2,3,5,B2,3,4,CxR|1x3,则（AIC）UBA.2B.2,3C.1,2,3D.1,2,3,4xy20,2.设变量x,y满足约束条件4xy的最大值为xy20,则目标函数zx1,y1,A. 2B. 3C. 5D. 63.设xR,则“x25x0”是“|x1|1”的B.必要而不充分条件A,充分而不必要条件C

3、.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A.5B.8C.24D.29225 .已知抛物线y24x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线与当1（aab0,b0）的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为A.,2B.3C.2D.50.26 .已知alog52,blog0.50.2,c0.5,则a,b,c的大小关系为A.acbB.abcC.bcaD.ca7 .已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,|)是奇函数，将yfx伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为gx.若gxb的图象上所有点的横坐标的最小正

4、周期为2兀，且g-、.2,则f348A.2B.,2C.2D.28.已知aR,设函数f（x）2x2ax2a,x1,若关于x的不等式f(x)xalnx,x1.取值范围为0在R上恒成立，则a的A.0,1B. 0,2C. 0,ed.1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第n卷注意事项：1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2 .本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 .i是虚数单位，则I5_L1值为.8110 .2x的展开式中的常数项为.8x311 .已知四棱锥的底面是边长为贬的正方形，侧棱长均为J5.若圆柱的一个底面

5、的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为._x22cos,12 .设aR,直线axy20和圆（为参数）相切，则a的值为.y12sin13 .设x0,y0,x2y5,则（x1段1）的最小值为.xy14 .在四边形ABCD中，AD/BC,AB2&AD5,A30,点E在线段CB的延长线上，uuuruur且AEBE,则BDAE.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分13分）在4ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2a,3csinB4asinC.（i）求cosB的值；（n）

6、求sin2B的值.616 .（本小题满分13分）2设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为2.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，3且任一同学每天到校情况相互独立.（I）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（n）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰女?多2"，求事件M发生的概率.如图，AE平面ABCD,CF/AE,AD/BC,ADAB,ABAD1,AEBC2.(I)求证：BF/平面ADE;(n)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(出)若二面角EBDF的余弦值

7、为1,求线段CF的长.318.(本小题满分13分)22设椭圆:4a2b21(ab0)的左焦点为F,上顶点为B,已知椭圆的短轴长为4,离心率为5(I)求椭圆的方程;(n)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN,求直线PB的斜率.19.(本小题满分14分)an是等差数列，bn是等比数列.已知4,b16,b22a22,b32a34.(I)求an和bn的通项公式;(n)设数列Cn1,Cn1,2kbk,nn2k,2k(i)求数列a2nC2n1的通项公式;20.(本小题满分14分)设函数f(x)excosx,g(x

8、)为fX的导函数.0;(I)求fX的单调区间;(n)当xZ,5时'证明"x)g(x)-x内的零点，其中nN,证明2(出)设Xn为函数u(x)f(x)1在区间2n-,2n42nxn22nesinxocosx02019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题1.D2.C3.B4.B5.D6.A5分，满分40分.7.C8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.9.1310.2811.-12.-13.4.314.44三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二

9、倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.bc(I)解：在ABC中，由正弦定理一得bsinCsinBsinCcsinB,又由3csinB4asinC,得3bsinC4asinC,即3b4a.又因为bc2a,得到b42a,ca.由余弦te理可得33cosB22,2acb2ac242162aaa992a2aaaa3可得sinB2,cosB15从而sin2B2sinBcosB158，cos2Bcos2Bsin2B7,故8sin2B-sin2Bcoscos2Bsin-6661537182823571616.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥

10、事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.(I)解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天2一7:30之前到校的概率均为一，故32,一k21X-B3-，从而P(Xk)C3,k0,1,2,3.333所以，随机变量X的分布列为X01231248P2799272随机变量X的数学期望E(X)3-2.32一(n)解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y,则YB3,且3MX3,Y1UX2,Y0.由题意知事件X3,Y1与X2,Y0互斥，且事件X3与Y1,事件X2与Y0均相互独立，从而由(I)知P(M)P(X3,Y1UX2,Y0)

11、P(X3,Y1)P(X2,Y0)P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0)8242799272024317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.uuuuuiruuur依题意，可以建立以A为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CFh(h0),则F1,2,h(I)证明：依题意,uuuABuur(1,0,0)是平面ADE的法向量，又B

12、Fuuuuuu(0,2,h),可得BFAB0,又因为直线BF平面ADE,所以BF/平面ADE.uuuruuuuuu(n)解：依题意，BD(1,1,0),BE(1,0,2),CE(1,2,2).uuirnBD0_xy0,设n(x,y,z)为平面BDE的法向重，则uuu即不妨令z1,nBE0,x2z0,uur可得n(2,2,1).因此有cos,攫,n展|CE|n|uurmBDuurmBF0,xy0,即0,2yhz0,4所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为4.9(出)解：设m(x,y,z)为平面BDF的法向量，则,一2不妨令y1,可得m1,1,-h由题意，有cosm,nlmnl|m|n|4h8

13、.经检验，符合题意.7所以，线段CF的长为18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.所以,(n)c解：设椭圆的半焦距为c,依题意，2b4,-a2椭圆的方程为5解：由题意，设直线PB的方程为yxp20k小、2,代入5k得xM52.2，又ab52,c1.2上1.4xp,ypxp0kx2,与椭圆方ykx2得yP，MxM,0.设直线PB的斜率为y程联立乂2x510k245k20,2N0,145k210k化简得k2所以，直线PB的斜率为2画或52_305kx2,2整理得41,4,进而直线

14、OP的斜率也xp5k220kx可得45k210kkx2中,k，所以直线MN的斜率为一2由OP2痴519.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.解：设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意得6q62d,2解得6q2124d,3,2,故an所以,an的通项公式为an3n1,bn的通项公式为bn32n.(n)解：a2nC2n1a2nbn2n132n194n所以,数列a2nC2n的通项公式为a2C2n194nl.2n2n2n(ii)解:aiCi1aina2ic2i1i12n2n2n14i

15、12n13252n12722n152n1*12nN=_n14(n1)33n1,bn6220.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、14分.运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分，、x5一、(i)解：由已知，有f'(x)e(cosxsinx),因此，当x2k-,2k一(kZ)时，有443sinxcosx,得f(x)0,则fx单调递减；当x2k,2k(kZ)时，有sinxcosx,44得f'(x)0,则fx单调递增.3所以，fx的单倜递增区间为2k,2k-(kZ),f(x)的单调递减区间为4452k-,2k(kZ).44(n)证明：记h(x)f(x)g(x)-x依题意及(i),有g(x)ex(cosxsinx),从而g'(x)2exsinx.当x-,-时，g'(x)0,故h'(x)f'(x)g'(x)-xg(x)(1)g&