3可线性化的回归分析

1、1.3可线性化的回归分析h预习导学建挑战自我,点点落实学习目标1 .进一步体会回归分析的基本思想.2 .通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度.知识链接1 .有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之问的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型.2 .如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到

2、所求两个变量的回归方程.预习导引1.非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型.2.非线性回归方程曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数_by=ax定於c=lnav=lnxu=Inyu=c+bvbxy=ae4U>0.XO加>加fc=Inau=Inyu=c+bxby=aex卜722GAM通0)8噂c=Ina1v=xu=Inyu=c+bvy=a+bInxi-av=lnxu=yu=a+bvh课堂讲义金重点难点，个个击破要点一线性回归分析例1某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x(万兀)4235销售额y(万元)4926395

3、4(1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b=9.4,求线性回归方程y=a+bx；据此模型预报广告费用为4万元时的销售额.(1)x=4+2+3+543.5，y=49+26+39+54442,.a=ybx=429.4X3.5=9.1回归直线方程为y=9.1+9.4x.(2)当x=4时，y=9.1+9.4X4=46.7,故广告费用为6万元时销售额为46.7万元.跟踪演练1为了研究3月下旬的平均气温(x)与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：年份200620072008200920102011x/C24.429.632.928.73

4、0.328.9y/日19611018(1)对变量x,y进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27C,试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天.i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi1961101866一一一2一一一2一.x-29.13,二y15L8212427303336催化剂的量化由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表:=563,y=7.5,/x2=5130.92,6"xiyi=1222.66百xiyi6xy(1)r=66-0.9498.71x?-6x2)信丫心6y之)由|r|>0.75,可知变量y和x存在很强

5、的线性相关关系.1222.6-6X29.13X7.5,(2)b=-qcqo八乂人升二一2.3,a=ybx=74.5.所以，线性回归万程为y5130.92一6K29.13=74.52.3x当x=27时，y=74.5-2.3X27=12.4.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日.要点二可线性化的回归分析例2在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：催化剂的量x/g1518212427303336化学物质的反应速度y(gmin1)6830277020565350解根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的

6、函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y=cec2x的周围，其中ci和C2是待定的参数.令z=lny,则z=lny=lnci+C2x,即变换后的样本点应该分布在直线z=a+bx(a=lnci,b=C2)的周围.5tw5(Msoc33221)-.El乒u艇帼500x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858暴餐E掘阳便回作出z与x的散点图(如图).12518212427303336催化剂的麻包由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合.由Z与X的数据表，可得线性回归方程：z=0

7、.848+0.81x,所以y与x之间的非线性回归方程为规律方法可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.y=e0.848+0.81x跟踪演练2电容器充电后，电压达到100V,然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b<0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055试求：电压U对时间t的回归方程.(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解对U=Aebt两边取对数

8、得lnU=lnA+bt,令y=lnU,a=InA,x=t,则y=a+bx,彳4y与x的数据如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得x=5,y-3.045,进而可以求得b-0.313,-a=ybx=4.61,所以y对x的线性回归方程为y=4.610.313X.由y=lnU,得U=M,U=e4610313x=e416-e0.313x,因此电压U对时间t的回归方程为U=e461.e0.313K.要点三非线性回归模型的综合应用例3某地区不同身高的

9、未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立y与x之间的回归方程.解根据题干表中数据画出散点图如图所示.y由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围，于是令z=lny.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01画出散点图如图所示.y-4-12

10、,*I,'20'40'608U100I201401180由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z=0.693+0.020x,则有y=e0.693+0.020x.规律方法根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y=CieC2X的周围，其中C1和C2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系.跟踪演练3对两个变量x,y取得4组数据(1,1),(2,1.2),(3,1.3),(4,1.37),甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y=0.1x+1,2乙y=-0.05x+0.35x+0.7,内V=0.80.5x+1.4,试判断三人谁的数学模型更

11、接近于客观实际.解甲模型，当x=1时，y=1.1;当x=2时，y=1.2；当x=3时，y=1.3;当x=4时，y=1.4.乙模型，当x=1时，y=1；当x=2时，y=1.2；当x=3时，y=1.3;当x=4时，y=1.3.内模型，当x=1时，y=1;当x=2时，y=1.2;当x=3时，y=1.3;当x=4时，y=1.35.观察4组数据并对照知，内的数学模型更接近于客观实际.声当堂检测A当堂训练，体/成功1 .在一次试验中，当变量x的取值分别为1,111时，变量y的值分别为2,2 343, 4,5,则y与1的回归方程为()xA.y=1+1B.y=2+3xxC.y=2x+1D,y=x1答案A1解析

12、由数据可得，四个点都在曲线V=1+1上.x2 .某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据:答案B3 .根据统计资料，我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生产总量（单位：亿吨标准煤）的几个统计数据：年份1996200120062011）里12.916.119.322.3根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种（）2.A.y=ax+b（aw0）B,y=ax+bx+c（a*0）C.y=ax（a>0且awl）D.y=logax（a>0且aw1）答案A4.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下

13、表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是.x/万元24568y/万元3040605070答案（6,50）声分层训练金解疑纠偏，训练检测一、基础达标1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据.根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y=0.7x+0.35,那么表中t的值是（）y2.5t44.5A.4.5B,4C.3D,3.15答案C2.下列数据x,y符合哪一种函数模型（）x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y=2+1xB.y=2ex31C.y=2e1D,y=2+

14、lnx答案D解析取乂=1,2,，10分别代入各解析式判断.3.指数曲线y=aeb/q图像为（）答案B解析7=aebx,；a>0时y>0,排除A、C,且xCR,排除D,选B.4.为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：广告费用x/千元1.04.06.010.014.0销售额y/千元19.044.040.052.053.0在同一坐标系中画散点图，直线L:y=24+2.5x,曲线C:y=光：，如图所示.更能表现这组数据之间的关系的是（）yA.直线LB.曲线CC.直线L和曲线C都一样D.无法确定答案B5.已知线性回归方程的斜率的估计值是0.5,样本点的中

15、心为(4.5,5),则线性回归方程是:答案y=2.75+0.5x解析在回归方程中，已知b=0.5,则a=ybx=2.75.6 .对于回归方程y=257+4.75x,当x=28时，y的估计值是.答案390解析当乂=28时，y=257+4.75X28=390,y的估计值为390.7 .某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数读数结果如下.尿汞含量(xi)246810消光系数(yi)64138205285360画出对应数据的散点图；(2)求线性回归方程；(3)根据(2)的结果，估计当xi为12mg/L时的消光系数yi.解350-300-*250200-15010050-Q246

16、810x(2)y=11.3+36.95x.(3)当xi=12时代入y=11.3+36.95x,得yi=432.二、能力提升解析在研究两个变量之间的关系时,8 .观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用.9 .下表是某厂14月份用水量(单位：百吨)的一组数据,月份x1234用水量y4.5432.5由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y=0.7x+a,则a=.答案5.25解析x=2.5,y=3.5,b=0.

17、7,.a=3.5+0.7X2.5=5.25.10 .已知某个样本点中的变量x,y线性相关，相关系数r<0,则在以(x,y)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第象限答案二、四解析二1<0时b<0,大多数点落在第二、四象限.k.1解根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y=-,令t=-,则xxy=kt,原数据变为y161412108642234ft4210.50.25y1612521由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系.列表如下:厅ptiyitiyit22y141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.

18、250.062517.753694.2521.3125430.t=1.55,y=7.2.5-/1tiyi5tyb=-t=4.1344.万t2-5(t)2a=ybt=0.8.；y=0.8+4.134t.4134.y与x的回归方程是y=0.8+4詈.x12.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.气温/C2618131041杯数202434385064画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系.解画出散点图如图所示.605040302010O510152025301x=6(26+18+13+10+41)=11.7,1八C“八八、y=6(20+24+34+38+50+64尸38.3,6与Xiyi=26X20+18X24+13X34+10X38+4X50-1X64=1910,6口x2=262+182+132+102+42+(1)2=1286,6百y2=202+242+342+382+502+642=10172,h入xiyinxyrn2备xinx!vn22*iyi-ny可得r=