132奇偶性 (2)

1、 课题导入课题导入 观察它们有什么样的特征？观察它们有什么样的特征？鹦鹉螺壳鹦鹉螺壳 我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，有的有特殊的对称性，那么在我们数学领域里，我有的有特殊的对称性，那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！们会研究函数图象的某对称性！ 教学目标教学目标 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性偶性.知识

2、与技能知识与技能过程与方法过程与方法 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想情感态度与价值观情感态度与价值观 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力般的概括归纳问题的能力 教学重难点教学重难点 重点重点难点难点函数的奇偶性及其几何意义函数的奇偶性及其几何意义.判断函数的奇偶性的方法与格式判断函数的奇偶性的方法与格式.o3-2221-1132f(x) = x观察下图图像有什么共同的特征呢？观察下图图像有什

3、么共同的特征呢？o3-2221-113f(x) = x 这两个函数的图像这两个函数的图像都关于都关于y轴对称轴对称f(x)=x2x-3-2-101230149149相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？x-3-2-101230123123f(x) = x由此得到由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即，即f(-x)=f(x)由此得到由此得到 ，即，即f(-x)=f(x)f(-x) = -x = f(x) 从从函数值对应表可以看到互为相反数的点的函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？ 即相应两个函数值相同即

4、相应两个函数值相同 对于对于R内任意的一个内任意的一个x，都有，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，这时我们称函数，这时我们称函数f(x)=x2 为为偶函数偶函数.函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域的定义域内的任意一个内的任意一个x，都有，都有f(-x)=f(x),那么称函那么称函数数y=f(x)偶函数偶函数.o3-2221-113-1-2-33f(x) = x观察下图图像有什么共同的特征呢？观察下图图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2-3f(x)=x 两个函数的图像都两个函数的图像都关于原点对称关于原点对

5、称.f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3149f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？由此得到由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即，即f(-x)=-f(x).由此得到由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即即f(-x)=-f(x).当自变量当自变量x取一对相反数时，相应的函数值取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是也是一对相反数一对相反数. 从从函数值对应表可以看到互为相反数的点的函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？ 对于

6、对于R内任意的一个内任意的一个x，都有，都有f(-x)=-x=-f(x)，这，这时我们称函数时我们称函数f(x)=x为为奇函数奇函数.函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域的定义域内的任意一个内的任意一个x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么称那么称函数函数y=f(x)奇函数奇函数. 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质. . 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于

7、定义域内的任意一个的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）原点对称）o3-2221-1132f(x) = xo3-2221-113o3-2221-113-2-33f(x) = xo3-2221-11321f(x)=xf(x) = x奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质: : 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. . 反过来反过来, ,如果一个函数的图象关于原点对称如果一个函数的图象关于原点对称, , 那么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数. . 偶函数的图象关于偶函数的图象

8、关于y y轴对称轴对称. .反过来反过来, ,如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y y轴对称轴对称, ,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数. .奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性. . 简化函数图象的画法简化函数图象的画法. .（1）判断函数）判断函数 的奇偶性的奇偶性.（2）如图是函数）如图是函数 图像的一部分，能图像的一部分，能否根据否根据f(x)的奇偶性画出它在的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？轴左边的图像吗？ 3f(x) = x +x3f(x) = x +xyx0（1）奇函数）奇函数（2）根据奇函数的图）根据奇函数的

9、图 像关于原点对称像关于原点对称例例1 说出下列函数的奇偶性说出下列函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数奇函数f(x)=x -2 _偶函数偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 结论：一般的，对于形如结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数为偶数，则它为偶函数.若若n为奇数，则它为奇函数为奇数，则它为奇函数.例例2 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：3;(1) f(x) = -3x(2) f(x) = x +1;.2(3) f(x) =

10、2-x 解：解：(1) 因为因为 所以所以f(x)是是奇函数奇函数.(2)因为因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以所以f(x)是偶函数是偶函数.(3)因为因为 ，所以，所以f(x)是偶函数是偶函数.33f(-x) = -3(-x) = 3x = -f(x)2f(-x) =2-(-x) = f(x)判断奇偶性，只需验证判断奇偶性，只需验证f(x)与与f(-x)之间的关系之间的关系.2(4)f(x) = -x (x-3,1); ;20(5) f(x) =9-x +(x-3)(6)f(x) = 3x-2.所以就谈不上与所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。相等了，由

11、于任意性受破坏。所以它没有奇偶性所以它没有奇偶性.（5）函数的定义域为）函数的定义域为-3,3),故故f(3)不存在，同上可知不存在，同上可知函数没有奇偶性函数没有奇偶性.故函数没有奇偶性故函数没有奇偶性.解：（解：（4）当）当x=-3时，由于时，由于3-3,1，故，故f(3)不存在，不存在，(6)f(-x) = -3x-2,f(-x)f(x)f(-x)-f(x)且且 定义域关于原点对定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。必要但不充分条件。(1) 先求定义域，看是否关于原点对称先求定义域，看是否关于原点对称.(2) 再判断再判断f(-x)=-f(x)或或f(

12、-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：例例3：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.(1) f(x) = 5x.解：解：（1）对于函数）对于函数f(x)=5x，其定义域为，其定义域为（-，+ ）对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有f(-x) = -5x = -f(x)所以函数所以函数f(x)=5x为奇函数为奇函数.2(2)f(x) = (x-1)（2）对于函数）对于函数 的定义域为的定义域为:（-，+ ）对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有2f(x) = (x-1)22f(

13、-x) = (-x-1) = (x+1)f(x)且且f(-x)-f(x)所以函数所以函数 既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.2f(x) = (x-1).1(3)f(x) = x+x（3）对于函数）对于函数 的定义域为的定义域为x x0 对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有1f(x) = x+x11f(-x) = -x+= -(x+) = -f(x),-xx 所以函数所以函数 是奇函数是奇函数.1f(x) = x+x(4)f(x) = 3.（4）对于函数）对于函数f(x)=3的定义域为的定义域为（-，+ ） 对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有

14、f(-x)=3=f(x)，所以函数所以函数f(x)=3是偶函数是偶函数.奇函数奇函数偶函数偶函数既奇又偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数（5）f(x)=0.（5）对于函数）对于函数f(x)=0的定义域为的定义域为（-，+ ）对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数既是偶函数也是奇函数.根据奇偶性根据奇偶性, , 函数可划分为四类函数可划分为四类: :1.一次函数一次函数y=kx+b是奇函数吗？是奇函数吗？2.反比例函数是奇函数吗？反比例函数是奇函数吗？3.二次函数一定是定义在二次函数一定

15、是定义在R上的偶函数吗？上的偶函数吗？4.函数的定义域对函数有没有影响？函数的定义域对函数有没有影响？5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出一例？出一例？6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举出一例？举出一例？课后思考一下，做一做吧！课后思考一下，做一做吧！例例4 判断函数判断函数 是否具有奇偶性？是否具有奇偶性？32f(x) = -x +ax解：当解：当a=0时，时， 此时函数此时函数f(x)为奇函数为奇函数.当当a0时，时， 此时此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成

16、立，都不能在定义域内恒成立，即函数即函数 既不是奇函数也不是偶既不是奇函数也不是偶函数函数.33f(x) = x ,f(-x) = -x = f(x)3232f(x) = x +ax ,f(-x) = -x +ax32f(x) = x +ax (a0) 2x0f x = x -2x 时时， 22222(2) t 0,f -t = -t- 2(-t)f t = -f -t = -t - 2t(t 0) t x f(x) = -x - 2x(x 0)x - 2x(x0)f x =-x - 2x(x 0)则 将 换 又又成成 (1) f 1 = -1,f -1 = -f 1 = 1解解：例例5 已知

17、函数已知函数y=f(x)是定义在是定义在R上奇函数，当上奇函数，当 求（求（1)f(-1) ； (2)若若t0,求求f(t).1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：、两个性质： 一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称 课堂小结课堂小结 3.判断函数奇偶性的步骤和方法：判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义

18、域是否关于原点对称，先看定义域是否关于原点对称， 然后在找然后在找f(x)与与f(-x)间的关系间的关系4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律：律： 奇奇+奇奇=奇奇 偶偶+偶偶=偶偶 奇奇X奇奇=偶偶 偶偶X偶偶=偶偶5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式已知函数性质，求其它区间上函数的解析式 课堂练习课堂练习 3f(x) =x1.判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性.解解: 定义域为定义域为R f(x)为奇函数为奇函数.33f(-x) =-x = - x = -f(x)解解(1)4-x20 |x+2|1 -2x2 x-1且且x-3-2x

19、 2且且x -1定义域为定义域为-2,-1) (-1,22.判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性（1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性）判断函数的奇偶性24-xf(x) =x+2 -1（2）224-x4-xf(x) =x+2 -1x+124-(-x)f(-x) =f(x)-x+1且且f(x) -f(x)，所以说此，所以说此函数既不是奇函数也不是偶函数函数既不是奇函数也不是偶函数oyx3.已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图象轴右边的图象如图，画出如图，画出y=f(x)在在 y轴左边的图象轴左边的图象.4.已知函数已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.求证：求证：f(x)=0证明：因为证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数所以所以f(-x)=f(x),且且f(-x)=-f(x)所以所以f(x)= -f(x)所以所以2f(x)=0即即f(x)=0. 这样的函数有这样的函数有多少个呢？多少个呢？ 有无数个，因为有无数个，因为f(x)只是解析式的特征，若只是解析式的特征，若改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如：改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如：f(x)