第3讲 频域处理

1、12引言l图像变换的目的在于：l使图像处理问题简化；l有利于图像特征提取；l有助于从概念上增强对图像信息的理解。l图像变换通常是一种二维正交变换，一般要求：l正交变换必须是可逆的；l正变换和反变换的算法不能太复杂；l正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。l因此，正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。3主要内容3.1 频域与频域变换 3.2 傅立叶变换 3.3 频域变换的一般表达式 3.4 离散余弦变换(DCT) 3.5 频域中图像处理的实现4l频域变换的理论基础: 任意波形都可以用单

2、纯的正弦波的加权和来表示。Jean Baptiste Joseph Fourier11( )sinsin2sin435f xxxx( )yf xsinyx1sin23yx1sin45yx 法国数学家、物理学家。主要 贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 5时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下： ( )( ),( )f tA ff正变换逆变换 为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，因此上式可用复数表示为：

3、( )( )f tF f正变换逆变换完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。 式中： F(f )用复数表示幅值、 相位与频率 f 之间的关系。6l连续函数的傅立叶变换l离散傅立叶变换（DFT）l二维离散傅立叶变换的性质l快速离散傅立叶变换7 连续函数的傅立叶变换l当1个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。 则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。l一维连续信号傅立叶变换对的定义为：j21j2 ( )( )( )ed ( )( )( )eduxuxf xF uf xxF uf xF uuFF式中： x

4、称为时域变量，u称为频域变量。 8频谱分析示例a signal containing 50 Hz and 120 Hz and corrupt it with some zero-mean random noise:The power spectrum, a measurement of the power at various frequencies, l可见，1 1个一维输入信号的傅立叶变换结果，是频域上的1 1个一维信号，反映了输入信号的频率构成信息。9二维连续信号傅立叶变换l如果二维函数 f(x, y) 满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为：j2()1j2() ( , )( ,

5、)( , )ed d ( , )( , )( , )ed dux vyux vyf x yF u vf x yx yF u vf x yF u vu v FF式中：x, y为时域变量；u, v为频域变量。 103.2.2 离散傅立叶变换（DFT）l设f(x) | f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为：21-j021j10( )( )( )e1( )( )( )euxNNxuxNNxfxF ufxF ufxF uNFF式中：x，u =0， 1， 2， , N1。 11由欧拉公式可知 jecosjsin并利用cos( ) = co

6、s()，可得 1022( )( ) cosjsinNxuxuxF uf xNN(7-10) 可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个 u 对应的傅立叶变换结果是所有输入序列 f(x) 的加权和（每一个 f(x) 都乘以不同频率的正弦和余弦值），u 决定了每个傅立叶变换结果的频率。 12通常傅立叶变换为复数形式， 即 ( )( )j ( )F uR uI u 式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。上式也可表示成指数形式： F(u)=|F(u) |ej(u) 其中： )()(arctan)()()(| )(|22uRuIuuIuRuFf(x) 的频谱或傅立叶幅度谱f(x)

7、 的相位谱)()(| )(|)(222uIuRuFuE能量谱或功率谱13定义定义l考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。一个MN大小的二维函数f(x,y)，其定义为：11j2()0011j2()100 ( , )( , )( , )e1( , )( , )( , )euxvyMNMNxyuxvyMNMNuvf x yF u vf x yF u vf x yF u vMN FF 式中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1；x, y为时域变量，u, v为频域变量。14 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为：),(),(),()

8、,(),(arctan),(),(),(| ),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF式中，R(u, v)和I(u, v)分别是F(u, v)的实部和虚部。 15示例： (a) 原图像 （b）中心平移后的频谱的图像表示 （c）中心平移后的频谱3D表示163.2.3 二维离散傅立叶变换的性质表7-1 二维DFT的性质17二维离散傅立叶变换的性质（续）18 1.可分离性11j2 ()0011j2j200 ( , )( , )( , )e e( , )euxvyMNMNxyvyuxMNNMxyf x yF u vf x yf x yF19l用两次一维DFT计算二维DFT行变

9、换行变换列变换列变换1111j2 ()j2j20000 ( , )( , )( , )e e( , )eux vyvyuxMNMNMNNMxyxyF f x yF u vf x yf x y202.平移性质l在空域中，图像原点平移到(x0, y0)时，其对应的频谱F(u,v)要乘上一个负的指数项l在频域中，原点平移到(u0, v0)时，其对应的f(x,y)要乘上一个正的指数项0000j2,euxvyMNf xx yyF u v0000j2,e,u xv yMNf x yF uu vv在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变。21平移性质（中心化变换） 在数字图像处理中，我们常常将 F(u,v

10、) 的原点移到MN频域方阵的中心，以使能清楚地分析傅立叶变换谱的情况。只要将 f(x, y) 乘以因子(-1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0,0）移动到图像中心 （M2, N2）处。0022j2j2j,e,e,e,1,22MxNyu xv yMNMNxyxyfx yfx yfx yfx yMNF uv22对称性及中心化变换23平移性质（续）傅立叶频谱平移示意图(a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）中心平移后的傅立叶频谱空域平移傅立叶频谱频示意图243.旋转不变性l由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度

11、。l如果引入极坐标l则 f(x,y) 和F(u,v)分别变为 f(r, ) 和 F( , )。在极坐标系中，存在以下变换对：coscossinsinxruyrv( ,)()00f r F, 25旋转不变性（续） 离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像（b） 原始图像的 傅立叶频谱（c） 旋转45 后的图像（d） 图像旋转后 的傅立叶频谱 264.卷积定理l卷积定理研究两个函数的傅立叶变换之间的关系，这构成了空间域和频域之间的基本关系。l对于两个二维连续函数 f(x,y) 和 g(x,y) 的卷积定义为：l其二维卷积定理可由下面关系表示： 式中：),(),(),(),(vuGyxgvuFyxf

12、),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxf( , )( , )( , ) (,)d df x yg x yf g x y273.3.1 可分离变换 二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：式中：x, u=0, 1, 2, M1；y, v=0, 1, 2, N1；g(x,y,u,v) 称为正向变换核；h(x,y,u,v)称为反向变换核。10101010),(),(),(),(),(),(NvMuNyMxvuyxhvuFyxfvuyxgyxfvuF正向变换核反向变换核28可分离变换（续）u如果： g(x, y, u, v)=g1(x, u) g2

13、(y, v) h(x, y, u, v)=h1(x, u) h2(y, v) 则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。11j2()0011j2()100 ( , )( , )( , )e1( , )( , )( , )euxvyMNMNxyuxvyMNMNuvf x yF u vf x yF u vf x yF u vMN FF二维傅立叶变换定义:29u二维傅立叶变换对的正、反变换核为：可见，二维傅立叶变换对的正、反变换核都是可分离的。j2j2j2( , , , )eeeuxvyvyuxMNNMg x y u vj2j2j2111(

14、 , , , )eeeuxvyvyuxMNNMh x y u vMNMN30 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为，。在傅里叶级数展开式中，被展开的函数是实偶函数时，其傅里叶级数中只包含余弦项，称之为余弦变换。 DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中（如JPEG、MPEG-1、MPEG-2及H.261），都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还是一种可

15、分离的变换。31一维离散余弦变换l一维离散余弦正、逆变换核定义为：1,02(21)( ,)( )cos,( )221,uxug x uC uC uNN其 中 ：其 他式中：x，u取0，1，2，N1；l一维DCT定义：设f(x)|x=0，1，N-1为离散的信号列，则一维DCT定义如下：102) 12(cos)(2)()(NxNuxxfNuCuF32l一维离散余弦逆变换IDCT(Inverse DCT)定义为：式中：u，x取0，1，2，N1。一维离散余弦变换（续）102) 12(cos)()(2)(NuNuxuFuCNxf33二维离散余弦变换l二维DCT正变换核为： 式中，x, u=0, 1, 2

16、, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。NvyMuxvCuCMNvuyxg2) 12(cos2) 12(cos)()(2),(11,0,0( ),( )221,1,uvC uC v其他其他34l二维DCT定义 设f(x, y)为MN的二维离散信号，其二维DCT定义为：NvyMuxvCuCyxfMNvuFMxNy2) 12(cos2) 12(cos)()(),(2),(1010式中： x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。二维离散余弦变换（续）35二维离散余弦变换（续）l二维DCT逆变换定义如下：式中：x, u=0, 1, 2, , M1；

17、y, v=0, 1, 2, , N1。l可见，二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即 NvyMuxvuFvCuCMNyxfMuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(2),(1010NvyvCNMuxuCMvyguxgvuyxg2) 12(cos)(22) 12(cos)(2),(),(),(2136快速离散余弦变换l离散余弦变换的计算量相当大，在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT）。l由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它们实现快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不过，由于FFT及IFFT中要涉

18、及到复数运算，因此这种FCT及IFCT算法并不是最佳的。37离散余弦变换示例(信息压缩)原始图像DCT频谱分布图DCT频谱分布图(保留部分信息)部分DCT频谱逆变换结果383.6 频域中图像处理的实现 理解数字图像的频谱图l数字图像平移后的傅立叶频谱中，图像的能量将集中到频谱中心（u=v=0)(低频成分)，图像上的边缘、线条细节信息(高频成分)将分散在图像频谱的边缘。也就是说，频谱中低频成分代表了图像的概貌，高频成分代表了图像中的细节。l除了特殊情况，一般不可能建立图像特定分量与其傅里叶变换之间的直接联系。39中心化变换后的幅度谱高 低40F(0,0) = 0Highpass filtered

19、 image41Highpass filterLowpass filter42 频域图像处理步骤l卷积理论是频域技术的基础( ,)( ,)( , )( , )f x yh x yF u vH u v不同的不同的H(u,v)，得，得到不同的滤波功到不同的滤波功能能43l根据原始图像f(x, y)和滤波器h(x, y)大小计算扩展后的图像参数P、Q。l计算按上述参数扩展后的f(x, y) 和h(x, y)的傅里叶变换F(u,v) 和H(u, v) 。l计算G(u,v) =F(u,v) H(u,v)l计算 G(u,v) 的傅里叶逆变换g(x, y) 。l取g(x, y) 的实部。l截取g(x, y)

20、 左上角与原始图像f(x, y)大小相同的部分，即为滤波结果。1.图像数据类型转换（灰度级标定、数据格式转换等）。11PACQBD同时中心化或不中心化一般步骤44l说明：uf(x, y)为实数，其傅里叶变换F(u,v)中的元素一般为复数，但一般取H(u,v)为实数，这样，H(u,v)的每一个分量乘以F(u,v)中相应部分的实部和虚部，不改变F(u,v)的相位。这种滤波器称为“零相移”滤波器。u当输入图像和滤波器函数都为实函数时，DFT逆变换的虚部为0。实际上由于数字计算的舍入误差，DFT逆变换的虚部一般有寄生的虚部成分，通过取逆变换结果的实部予以忽略。45频谱中心化滤波一般步骤l用(-1)x+

21、y乘以输入图像各像素值，以将图像频谱原点移动到频谱图中心；l计算图像的DFT，得到F(u, v)；l用滤波函数H(u, v)乘以F(u, v)，得到处理结果G(u, v)；l计算滤波后的IDFT；l取IDFT变换结果中的实部；l用(-1)x+y乘以IDFT变换结果的实部，得到处理后的图像。 注意： H和F的相乘是点乘运算，即H的第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘以F的第二个元素，依此类推。),(),(),(vuHvuFvuG1( , )( , )g x yG u v F46 频域滤波l频谱中低频成分代表了图像的概貌，即灰度变化平缓的部分；高频成分代表了图像中的细节，即图像中的边缘或

22、噪声等。因此，合理地选择滤波器，通过在频域中对相应频率成分进行抑制或增强，便可完成图像的增强处理。l频域滤波中，存在各种各样的滤波器。其基本类型有：l低通滤波器l高通滤波器l带通滤波器l带阻滤波器l若将这些基本滤波器有机地组合在一起，便可形成各种各样的频域滤波器。471.低通滤波l图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶变换中的高频部分，如要在频域中消弱其影响，就须设法减弱这部分频率分量。l理想低通滤波器（ILPF）Ideal Low Pass Filter D0为截止频率，D(u,v) 为频率平面上的点(u,v)到原点的距离。00),(, 0),(, 1),(DvuDifDvuDifvuH48理想

23、低通滤波器（续）l理想低通滤波器，是指以截频D0为半径的圆内的所有频率都能无损通过，而在截频之外的频率分量完全被衰减。l理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但却不能用电子元器件来实现。l理想低通滤波器平滑处理的概念清晰，但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象， D0越小，这种现象越严重。49理想低通滤波器示例（续）50理想低通滤波器示例（续）产生较严重的模糊和振铃现象， D0越小，这种现象越严重。51巴特沃斯低通滤波器l巴特沃斯低通滤波器（BLPF-Butterworth lowpass filters）nDvuDvuH20/ ),(11),(52巴特沃斯低通滤波器（续）l巴特沃斯低通滤波

24、器又称为。它与理想低通滤波器不同，它的通带和阻带之间没有明显得不连续性。也就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。l与理想低通滤波器的处理结果相比，巴特沃斯滤波器处理的图像模糊程度减少，因为它的H(u,v)不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含大量的高频成分。l另外经巴特沃斯低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象。这是由于在滤波器的通带和阻带之间有一平滑过渡的缘故。53巴特沃斯低通滤波器（续）-示例 2阶巴特沃斯低通滤波器，截止频率D0分别为5，15，30，80，230的滤波结果。理想低通滤波器542.高通滤波 Opposite to low-pass filtering: eliminatin

25、g center and keeping the others.lIdeal highpass filters :lButterworth highpass :lGaussian highpass :00),(, 1),(, 0),(DvuDifDvuDifvuHnvuDDvuH20),(/11),(2022/ ),(1),(DvuDevuH55高通滤波（续）Ideal highpass filtersButterworth highpassGaussian highpass56Example：Ideal highpass filters57Example：Butterworth highpa

26、ss 58Example：Gaussian highpass 593.带通滤波器l带通滤波器：允许指定范围的频率成分通过，而抑制其它频率成分。理想带通滤波器的滤波函数为：其它0),(1),(21DvuDDvuHD1 、D1为截止频率，D(u,v) 为频率平面上的点(u,v)到原点的距离。604.带阻滤波器l带阻滤波器：抑制指定范围的频率成分，而允许其它频率成分通过。理想带阻滤波器的滤波函数为：其它1),(0),(21DvuDDvuHD1 、D1为截止频率，D(u,v) 为频率平面上的点(u,v)到原点的距离。61图7-10 基本滤波器的频率响应62Bandreject FilterslIdea

27、l bandreject filterlGaussian bandreject filterlButterworth bandreject filter这里，D(u,v) 是到中心化频率平面原点的距离，W是频带的宽度，D0是频带的中心半径。63EXAMPLE 5.6Use of bandreject filtering for periodic noise removall4 阶的巴特沃思带阻滤波器，它设置了适当的半径和宽度，完全包围了噪声脉冲。由于通常希望从变换中尽可能小地削减细节，因此在带阻滤波器中，通常要求尖锐、窄的滤波器。64Bandpass FilterslBandpass filters are not commonly used for removing image noise, but to isolate the effect on an image of selected frequency.Noise pattern of the right image obtained by bandpass filtering65二维傅立叶变换Matlab实现lfft2 Two-dimensional discrete Fourier transform Y = fft2(X) returns the two-dimensional discrete Fou