网络图论基础

1、17.1 网络的图网络的图17.2 回路回路 树树 割集割集17.3 图的矩阵表示和图的矩阵表示和KCL， KVL方程的矩阵形式方程的矩阵形式17.4 节点电压法节点电压法17.5 含含VCCS电路的节点分析电路的节点分析17.6 割集法割集法17.7 回路法回路法17.9 表格法表格法17.8 改进节点法改进节点法本章重点本章重点 本章重点本章重点关联矩阵关联矩阵A， 基本回路矩阵基本回路矩阵B， 基本割集矩阵基本割集矩阵Q .回路，树，回路，树， 割集割集 .矩阵形式的矩阵形式的KCL，KVL .节点法列写电路方程节点法列写电路方程 .返回目录返回目录 网络图论是数学的一个分支，是应用图论

2、研究网络的几网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几何结构及其基本性质的理论。何结构及其基本性质的理论。研究对象研究对象 实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图图(graph)”。 电路中的应用电路中的应用 应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路 方程的系统方法。方程的系统方法。17.1 17.1 网络的图网络的图一、网络图论一、网络图论 网络拓扑（网络拓扑（topological graph）: 泛指线段和点之泛指线段和点之 间的连接性质。间的连接性质。i1i2i3i1i2i3抽象抽象 i1i

3、2i3+-二端元件二端元件 支路支路 抽象抽象 电路图电路图 抽象图抽象图 二、网络的图二、网络的图 R2CLuSR1+-+-抽象抽象 抽象抽象 电路图电路图 抽象图抽象图 （1）图）图 G=支路，节点支路，节点 不含自环不含自环 允许孤立节点存在允许孤立节点存在 名词名词 （2）子图（）子图（sub graph） 图图G 子图子图G1 子图子图G2 （3） 路径：路径：从图从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动的一个节点出发沿着一些支路连续移动 到达另一节点所经过的支路构成路经。到达另一节点所经过的支路构成路经。 （4）连通图（）连通图（connected graph）：）：图图G的任意两

4、节点间至的任意两节点间至 少有一条路经时称图少有一条路经时称图G为连通图。为连通图。 有向图中的方向表示原电路中有向图中的方向表示原电路中支路电压和电流支路电压和电流关联参考方向。关联参考方向。（5）有向图（）有向图（directed graph） 有有向向图图路经路经 不连通不连通 连通连通 返回目录返回目录17.2 17.2 回路回路 树树 割集割集 一、回路（一、回路（loop） （1）连通；）连通；（2）每个节点关联支路数恰好为）每个节点关联支路数恰好为2。 253回路回路 127589不是回路不是回路 回路回路L是连通图是连通图G的一个子图。的一个子图。 具有下述性质具有下述性质 1

5、2345678图图G 树支（树支（tree branch）：）：属于树的支路。属于树的支路。 连支（连支（link）：）： 属于属于G而不属于而不属于T的支路。的支路。二、树二、树 （tree） 树树T是连通图是连通图G的一个子图，具有下述性质：的一个子图，具有下述性质： （1） 连通；连通；（2） 包含包含G的所有节点；的所有节点； （3） 不包含回路。不包含回路。树不唯一树不唯一 16个个 树树T1 树树T2 图图G 2367树支数树支数 bt= n-1连支数连支数 bl = b-(n-1) 单连支回路（基本回路单连支回路（基本回路（fundamental loop）：）：每个每个回路中只

6、包含一个连支，其余均为树支。回路中只包含一个连支，其余均为树支。1234567145树支数树支数 4 连支数连支数 3 单连支回路单连支回路 独立回路独立回路 单连支回路单连支回路 独立回路独立回路 以以2，3，6，7为树支，为树支，分别加入分别加入1，4，5形成形成三个单连支回路三个单连支回路三、割集（三、割集（cut set） 432156（1）把）把Q 中全部支路移去，将图分成中全部支路移去，将图分成两个两个分离部分；分离部分； （2）保留）保留Q 中的一条支路，其余都移去，中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。还是连通的。 割集割集Q是连通图是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质

7、：中一个支路的集合，具有下述性质： 例例闭合面与支路闭合面与支路2，5，4，6相交相交 13图分成图分成两个两个分离部分分离部分 4256移去支路移去支路2，5，4，6 432156Q4: 1 , 2 , 5 Q3: 1, 4, 5 Q2: 2, 3 , 6 432156432156例例 Q4: 1 , 5，3，6 432156单树支割集（基本割集单树支割集（基本割集(fundamental cut set ） 每个割集中只包含一个树支，每个割集中只包含一个树支， 其余均为连支。其余均为连支。 432156Q3: 1 , 3 ,5 , 6 Q2: 3 , 4 , 5 Q1: 2 , 3 , 6

8、 432156432156选选1，2，4为树支的基本割集为树支的基本割集 单树支割集单树支割集 独立割集独立割集 单树支割集单树支割集 独立割集独立割集 1，2，3，4 是否组成割集？是否组成割集？ 三个分离部分三个分离部分 1，2，3，4 割集割集 4保留保留4支路，图不连通的。支路，图不连通的。 1234例例1 1234例例2 1，2，3，4 割集割集 基本回路基本回路 基本割集基本割集 1，2，3，4 1，4，5 1，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 基本回路和基本割集关系基本回路和基本割集关系 对同一个树对同一个树 （1）由某个树支）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些

9、连支，每个确定的基本割集应包含那些连支，每个 这种连支构成的单连支回路中包含该树支这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。 例例 由由树支树支4确定的基本割集包含确定的基本割集包含连支连支3、5 ，则，则连支连支3、5 构成的单连支回路中一定包含构成的单连支回路中一定包含树支树支4 。 4321561，2，4 树支树支 （2) 由某个连支由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。 例例 由由连支连支6确定的单连支回路包含确定的单连支回路包含树支树支1，2 ，则由，则由树支树支1，

10、2所构成的基本割集中一定含有所构成的基本割集中一定含有连支连支6。基本回路基本回路 基本割集基本割集 1，2，3，4 1，4，5 1，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 4321561，2，4 树支树支 返回目录返回目录17.3 17.3 图的矩阵表示和图的矩阵表示和KCLKCL，KVLKVL方程的矩阵形式方程的矩阵形式一、节点关联矩阵（一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A 用矩阵形式描述用矩阵形式描述节点节点和和支路支路的关联性质的关联性质 aij = 1 有向支路有向支路 j 背离背离 i 节点节点 -1 有向支路有向支路 j 指向指向 i 节点节点

11、 0 i节点与节点与 j 支路支路无关无关关联矩阵关联矩阵 Aa=aijn b节点数节点数 支路数支路数 Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 - 1 0 1- 1 - 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 - 1 0 0 - 1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设设为参考节点，划去第为参考节点，划去第4行行 -1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称称A为降阶关联

12、矩阵为降阶关联矩阵(reduced incidence matrix) (n-1) b ，表征独立节点与支路的关联性质表征独立节点与支路的关联性质 645321按列列写按列列写 按行列写按行列写 各行不独立各行不独立 654321uuuuuuu支路电压支路电压 654321iiiiiii设设 支路电流支路电流 321nnnnuuuu节点电压节点电压矩阵形式的矩阵形式的KCL 矩阵形式的矩阵形式的KCL Ai =0632521641 iiiiiiiii-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiiiAi = 0 645321矩阵形式的矩阵形式

13、的KVL 312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu654321 321101010001100110011nnnuuuuuAn T nuAT二、基本回路矩阵（二、基本回路矩阵（fundamental loop matrix）B （2）支路排列顺序为先树）支路排列顺序为先树(连连)支后连支后连(树树)支。支。 1 支路支路j与回路与回路i关联，方向一致关联，方向一致 -1 支路支路j 与回路与回路i关联，方向相反关联，方向相反 0 支路支路j 不在回路不在回路 i 中中 bij=约定：约定： （1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。回路电流的参考方向取连支电流方向。

14、 用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本回路基本回路和和支路支路的关联性质的关联性质 B = b i j l b基本回路数基本回路数 支路数支路数 选选 4、5、6为树支，连支为为树支，连支为1、2、3。 123B =4 5 6 1 2 3 支路支路 回路回路 1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= Bt 1 设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL T321654 ltuuuuuuuuu 0 1 -1 0 0 1BtBlBu = 0 123 654T321654 litiiiiiiii Bu = 0 可写成另一种形式可写成另一种形式 0 1 lttuuBBt ut + ul = 0ul =

15、- Btut 654321 uuuuuuuutl用树支电压表示连支电压。用树支电压表示连支电压。 连支电压连支电压 树支电压树支电压 321100110010111001011iii 3216543213232121iiiiiiiiiiiiiiiiB= Bt 1 1TTtBB lttiiiBlT1lttiBiT 用连支电流表示树支电流。用连支电流表示树支电流。 BT il = i矩阵形式的矩阵形式的KCL KCL的另一种形式的另一种形式 123 654三、基本割集矩阵（三、基本割集矩阵（fundamental cut set matrix）Q 约定：约定： （1） 割集方向与树支方向相同。割集

16、方向与树支方向相同。 （2） 支路排列顺序先树支路排列顺序先树(连连)支支, 后连后连(树树)支。支。 qij =1 j支路与割集支路与割集 i 方向一致方向一致 -1 j支路与割集支路与割集 i 方向相反方向相反 0 j 支路不在割集支路不在割集 i 中中 用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本割集基本割集和和支路支路的关联性质的关联性质 Q = q i j n-1 b基本割集数基本割集数 支路数支路数 Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6 设设 矩阵形式的矩阵形式的KCL Q = 4 5 6 1 2 3 支路支路 割集割集 Q1Q2Q31 0 0 -1 -1 0 0 1 0

17、1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQtQi =0 选选 4、5、6为树支，连支为为树支，连支为1、2、3。 123 654T321654 ltuuuuuuuuu T321654 litiiiiiiii 0 1 ltliiQlltiQi 用回路矩阵表示时用回路矩阵表示时 lttiBiT 用连支电流表示树支电流用连支电流表示树支电流 矩阵形式的矩阵形式的KCL的另一种形式的另一种形式 Qi =0 可写成可写成 ltltiiQQ TtlBQ 可见，回路矩阵和割集矩阵有可见，回路矩阵和割集矩阵有 的关系。的关系。 3216546565454654654110100111010011001uuu

18、uuuuuuuuuuuuuuuutltltuQuQuuu TT1tlluQuT 矩阵形式的矩阵形式的KVL 用树支电压表示连支电压。用树支电压表示连支电压。 QTut=u KVL的另一种写法的另一种写法 123 654QQi = 0QTut= u 小结：小结： lttiBiT ul = - BtutlltiQi tlluQuT TtlBQ ABAi = 0 BTil = i KCL KVL ATun= u Bu=0 矩阵形式的矩阵形式的KCL，KVL 返回目录返回目录17.4 17.4 节点电压法节点电压法 KCL A i =0 KVL u=Atun 元件特性方程元件特性方程 条条支支路路电电

19、压压：第第条条支支路路电电流流：第第kUkIkk：独独立立电电流流源源：独独立立电电压压源源kkIUSS规定每个支路必须有一个阻抗规定每个支路必须有一个阻抗 设标准支路设标准支路(k支路）为支路）为 kUkISkUSkIkIe -kY -k支路抽象为支路抽象为 k列方程列方程 依据依据Yk：导纳：导纳 ：阻阻抗抗元元件件电电流流kIek支路电压、电流关系：支路电压、电流关系： kkkkkUIIZUSS)( 设设 T21bIIII Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb kkkkkIUUYISS)( T21bUUUU TS2S1SSbUUUU TS2S1SSbIIII Z=Y

20、-1 kUkISkUSkIekI -kY -SSIUYUYI bkbbkkbkbkIIIUUUUUUYYYIIISS1SSS1S11100000000000000000000支路电流的矩阵方程支路电流的矩阵方程 为为 b条支路电压与电流关系的矩阵形式为条支路电压与电流关系的矩阵形式为 由由KCL A i =0 由由KVL u=Atun 0SS IAUYAUYAIA0SST IAUYAUAYAn节点导纳阵（节点导纳阵（node admittance matrix） TAYAYn 令令SSUYAIAUYnn 得节点电压方程得节点电压方程 由此求得支路电压和电流由此求得支路电压和电流 nUUnUAT

21、ISSIUYUYI 可得可得 （1）画有向图。）画有向图。 （2） 110100001110100011A5V0.5W W2W W1W W0.5W W5W W1W W3A1A+-例例1 列写图示电路的节点电压方程。列写图示电路的节点电压方程。1234560解解 （4） TS000005 U（5） TS031000 ISSUYAIAUYnn- - （6） 311042127 . 25 . 015 . 05 . 3321nnnUUU得得 （3） 110.220.52diag YkUSkISkUkIekI -kY -5V0.5W W2W W1W W0.5W W5W W1W W3A1A+-123456

22、0 5432100000j100000jj000jj00000RCLMMLRZ 101000111000011A例例2 列写图示电路的节点电压方程。列写图示电路的节点电压方程。 +R5R1L2L3C4M1SI5SU123450TSS50000UU TSS10000II Y=Z -1 54231100000j00000000000001RCLMMLRY )(j232MLL 其中其中SSUYAIAUYnn- - TAYAYn 节点电压方程节点电压方程 （矩阵相乘由程序完成）（矩阵相乘由程序完成） 返回目录返回目录kkkUYIee jkjkUgIed 17.5 17.5 含含VCCSVCCS电路的节

23、点分析电路的节点分析 kjkjkkkkkkIUgUYIIIISeeSde 第一步：先不考虑受控源，第一步：先不考虑受控源，b 条支路电压、电流关系的条支路电压、电流关系的矩阵形式为矩阵形式为kIdkUekUkISkUSkIkIe+-kY+-+-标准支路标准支路 设电路中只存在由阻抗元件电压控制的电流源。设电路中只存在由阻抗元件电压控制的电流源。 e支路阻抗支路阻抗两端电压两端电压 k支路受支路受控源电流控源电流 第二步：考虑受控源，只需在导纳矩阵的第二步：考虑受控源，只需在导纳矩阵的 k行（受控支行（受控支路）和路）和 j列（控制支路）处添上控制系数列（控制支路）处添上控制系数 gkj（参照标

24、准支（参照标准支路定正、负）。路定正、负）。 bjkbjkbjkbjkIIIIUUUUYYYYIIIISSS1Seee1e11000000000000000000000000000000000000000000kjSeIUYIm gkjSSIUYUYmm SSTUAYIAUAAYmnm UUAIAn T0代入代入 得得 将上式改写为将上式改写为: 000110110111000A T5SS0000iI TS00000 U054132321iS5guauaG5C3G4+ -* * *ML2L1例例 列写图示电路的节点电压方程。列写图示电路的节点电压方程。 54321/100000/1000001

25、/j00000jj000jjGGCLMMLZ 543120000000000j00000000GGCLMMLY )(j221MLL 其中其中 543120000000000j00000000GGCLMML -g节点方程节点方程 SSTUAYIAUAAYmnm 在在Y阵的第阵的第3行第行第4列处添上列处添上 g，得到，得到Ym mY返回目录返回目录17.6 17.6 割集法割集法 取割集（树支）电压为未知变量。取割集（树支）电压为未知变量。 0 KCL IQtUQUT KVL 0 SS IQUQYUQYIQSST UQYIQUQYQt 割集方程矩阵形式割集方程矩阵形式 Yt割集导纳阵割集导纳阵

26、（cut set admittance matrix） SSIUYUYI 元件特性元件特性 kUkISkUSkIkIe -kY -标准支路标准支路 割集法和节点法很相似。在割集法中割集法和节点法很相似。在割集法中VCCS最易处理，处理最易处理，处理方法与节点法完全相似。方法与节点法完全相似。 返回目录返回目录17.7 17.7 回路法回路法 取回路电流（连支电流）为未知变量。取回路电流（连支电流）为未知变量。 0 KVL UB0 SS UBIBZIBZUBSST IBZUBIBZBl SSUIZIZU 回路方程矩阵形式回路方程矩阵形式 支路电压与支路电流的关系支路电压与支路电流的关系 lIBI

27、T KCL 代入上面方程，整理后得代入上面方程，整理后得 kUkISkUSkIkIe -kY -标准支路标准支路 Zl 回路阻抗阵回路阻抗阵(loop impedance matrix) 回路法中独立变量是电流，最易处理回路法中独立变量是电流，最易处理CCVS，处理含有，处理含有互感的电路时比节点法和割集法方便互感的电路时比节点法和割集法方便 。 返回目录返回目录17.8 17.8 改进节点法改进节点法 处理对象：处理对象：电路中含有纯电压源或纯压控电压源支路。电路中含有纯电压源或纯压控电压源支路。 iS2G2G6+ -C4G1+- -434U G55U+- - - -4UC78SU3I8I4

28、34U 565Ug6SU例例 电路图电路图 12345678图图G支路支路3、8为纯压控电为纯压控电压源和纯电压源支路压源和纯电压源支路 思路：先用直观法列节点方程，进而给出改进节点思路：先用直观法列节点方程，进而给出改进节点 法一般形式。法一般形式。2S421116S65658367265656S63626541434124141)()j ()j (j0j)j(IUGGUGUGUgIUGCUGUgUGUGUGGCUCIUGUCUCGnnnnnnnnnn 补充方程补充方程：纯电压源或纯压控电压源支路电压和节点：纯电压源或纯压控电压源支路电压和节点 电压的关系式。电压的关系式。8S34341UUUUnn 控制量与节点电压的关系式控制量与节点电压的关系式 25214UUUUU 将以上各式写成矩阵形式将以上各式写成矩阵形式 000100000010000100j0000jj010jj34342116765666565441441 GGGGCgGGgGGCCGCCG 8S2S6S66S683432100UIUGUGIIUUUUnnnn改进节点法的一般形式为改进节点法的一般形式为 S21120UIIUHHYnunn其中其中 H12 ：纯电压源（纯压控电压源）支路与节点相关联：纯电压源（纯压控电压源）支路与节点相关联 的子矩阵。的子矩阵。 Yn ：将电路中的纯电压源或纯压控电压源支路断