第3讲 因式分解与分式

1、第3讲因式分解与分式 考点考点1. 因式分解因式分解2.2.因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法 ma+mb+mc= m(a+b+c)(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(=(a+b)(a-ba+b)(a-b) )完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二次三项式型二次三项式型：x x2 2+(p+q)x+pq=(+(p+q)x+pq=(x+p)(x+qx+p)(x+q) )(4)(4)分组分解法分组分解法：分组后能提公因式；分组后能提公因

2、式；分组后能运用公式分组后能运用公式. .1.1.因式分解的定义因式分解的定义把一个把一个多项式多项式化为化为几个整式的积几个整式的积的形式，叫做把这个的形式，叫做把这个多项式因式分解（分解因式）多项式因式分解（分解因式）. .8a3b212ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低指数指数公因式公因式4ab2一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数观察观察方向方向练一练：把下列各式用提公因式法因式分解3mx-6my x2y+xy212a2b38a3b216ab4(4)2a(y-z)-3b(z-y) 分解因式分解因式:(1) 4x2 9 ;

3、(2) (x+p)2 (x+q)2.解解（1）4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x-3)（2）(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)=(2x+p+q)(p-q). 分解因式分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.分析分析：在（：在（1）中有公因式）中有公因式3a，应先，应先提出公因式，再进一步分解。提出公因式，再进一步分解。解解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2(a+b)

4、6+62=(a+b-6)2.分解因式;107).1 (2xx;82).2(2xx.187).4(2xx;127).3(2 yyP10-变式拓展1（3）分解因式：yxyx3322)33()(22yxyx)(3)(yxyxyx)3)(yxyx练习：对于任意自然数n，是否能被11整除，为什么？22)11(nn3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”、三、三“分分”、四、四“查查”：(1)(1)一一“提提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来必须先提出来. .(2)(2)二二“套套”：若多项式的各项无公因式

5、：若多项式的各项无公因式( (或已提出公或已提出公因式因式) )，第二步则看能不能用公式法或用，第二步则看能不能用公式法或用x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型分解型分解. .(3)“(3)“三分三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能后能“提提”或能或能“套套”，当然要注意其要分解到底才能，当然要注意其要分解到底才能结束结束. .(4)(4)四四“查查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确否正确.

6、 . 要点、考点聚焦要点、考点聚焦BABA0BBA0BBABABABA0B0BBA考点2 ：分式有意义、无意义、等于0的条件 整式整式A除以整式除以整式B,可以表示成可以表示成 的形式，如果的形式，如果除式除式B中含有中含有字母字母，那么称，那么称 为分式。若为分式。若 ,则则 有意义；若有意义；若B=0,则则 无意义；若无意义；若A=0且且 ，则，则 =0BABA0BBABABA0BBABA0B例例1 ：要使分式：要使分式 有意义，则有意义，则 的取值范围的取值范围是（是（ ）3xx思路点拨：思路点拨：分式的分母不等于分式的分母不等于0，分式有意义，分式有意义，3, 03xx，分式有意义分式

7、有意义13x1.若分式若分式 的值为零，则的值为零，则 的值为的值为() A. B. C. D.033xx333x11x2.当当x 时，时， 有意义有意义1A考点3：分式的基本性质 1.分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的等于零的整式，分式的值不变值不变。用式子表示为。用式子表示为: BMAMBAMBMABADP12-3.下列各式从左到右的变形不一定正确的是下列各式从左到右的变形不一定正确的是（ ） A. B. 53)3(5)3(3xyyxbababababa22222C. D.zxzyyxzxyzzy1)()()(xx7712141

8、4.若将分式若将分式 （a、b均为正数）中的字母均为正数）中的字母a、b的的 值分别扩大为原来的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的扩大为原来的2倍倍 B.缩小为原来的缩小为原来的 C.不变不变 D.缩小为原来的缩小为原来的 abbaB2.分式的符号变化BABABABABA考点4：分式的运算1、最简分式：2、约分： 3、通分： 关键：分式通分的关键是确定几个分式的最简公关键：分式通分的关键是确定几个分式的最简公 分母；分母；最简公分母：最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积各分母所有因式的最高次幂的积，叫，叫做最简公分母。做最简公分母。分子、分母没有公因

9、式的分式分子、分母没有公因式的分式把一个分式的把一个分式的分子和分母的公因式约去分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。这种变形称为分式的约分。根据分式的基本性质，把根据分式的基本性质，把异分母的分式化为异分母的分式化为同分母的分式同分母的分式，这一过程称为分式的通分。，这一过程称为分式的通分。例例2：化简：化简 的结果是（的结果是（ ） A. B. C. D. 62962xxx23x292x292x23x思路点拨：其中分子思路点拨：其中分子 要进行分解因式要进行分解因式得得 ，分母，分母 要提公因要提公因 式式 ，因此因此 962 xx2) 3( x62 x)3(2x23)3(2)3

10、(629622xxxxxx5.化简分式化简分式 的结果是（的结果是（ ） A. B. C. D.2babbba1ba1121babab1A4.加减法法则加减法法则 （1）同分母分式相加减，分母不变，分子）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减相加减 （2）异分母的分式相加减，先通分，变为）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减同分母的分式，然后再加减5.乘法法则乘法法则 两个分式相乘，把分子的积作分子，分母的积两个分式相乘，把分子的积作分子，分母的积作分母作分母6.除法法则除法法则 两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相

11、乘后，与被除式相乘 例例3：（：（2010广东汕头）先化简，再求值：广东汕头）先化简，再求值：2244(2 ),22xxxxxx其中解：原式解：原式当当 时，原式时，原式23x6213223232xxxxxxx11) 1()2()2)(2(2122xx222xxx22xx练习练习：1.（2009广东梅州）先化简，再求值：广东梅州）先化简，再求值： ,1444222xxxxxxx其中其中23x030sinx2.当当 时，求时，求 的值的值1)113(2xxxxxx解：原式解：原式 xxxxxxxxxx) 1)(1(1) 1)(1(13) 1() 1(3xx133xx42 x当当 时，原式时，原式

12、2130sinox5421211212222xxxxxxx) 1)(1(12) 1(22xxxxxxx3.先化简先化简,再求值再求值: 其中其中解解:原式原式212xxxx21xxx21x当当 ,原式原式23 x2231333123 xyx,7.（2009广东茂名）若实数广东茂名）若实数 满足满足 ，则，则 的最大值是的最大值是0 xyyyxxm28 .若若 则则 ,mnnmnm111xxxxxxx22211122004xP12-9.先化简,再求 的值,其中 但是，甲抄错 ，抄成 ，但他的计算结果仍然是正确的，你说是怎么回事？2004x2040 x解：原式解：原式xxxxxxx1) 1() 1

13、)(1() 1(2xx0所以，无论所以，无论 取取任意实数，原代数式的结果都是任意实数，原代数式的结果都是0。x1.（2008辽宁省）先化简，再求值，其中辽宁省）先化简，再求值，其中 aaaaaa1)113(2, 2a842 a补充补充: :2.已知：已知： ，求，求 的值的值053 nm222nmmnmmnmm)()()()()(2nmnmmnmnmnmmnmnmnmm)(222nmnmmmnmmnm222nmm222)53( mmm222259mmm解：原式解：原式222516mm1625由由 ，得，得 ，代入上式，得：，代入上式，得：原式原式mn53053 nm32x)1)(1(xyyx

14、21xyxy32,32yxxyxy11132y2) 32)(32 (1) 32)(32 (421113.已知已知 ， ，求，求 的值。的值。解：原式解：原式当当 时，时，原式原式P13-9.（2010.山东济宁）先观察下列等式，然后山东济宁）先观察下列等式，然后用你用你 发现的规律解答下面问题：发现的规律解答下面问题：（1）计算）计算 4131431;3121321;211211651541431321211( 2 )探究探究 （用含有（用含有 的式子表示）的式子表示） )1(1431321211nnn1nn65（3）若）若 的值为的值为 ，求，求 的值。的值。) 12 () 12 (1751531311 nn3517n) 12 () 12 (1751531311 nn)121121(21)7151(21)5131(21)311 (21 nn)12112171515131311 (21 nn)1211 (21n12221nn12nn解解：（3）aczcbybaxcba,)(bakx)0(zyx00)(kaccbbakzyxzyxzyxzyxyxzxzyzyxkaczcbybax)(cbky)(ackzP14-12.阅读下面的解题过程，然后解题：阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知题目：已知 ，（，（ 互相不相等）互相不相等）