《对偶线性规划》ppt课件

1、第二章第二章线性规划的对偶理论及其应用线性规划的对偶理论及其应用窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船对偶是一种普遍现象对偶是一种普遍现象22.1 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论 2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式线性规划原问题与对偶问题的表达形式 任何线性规划问题都有其对偶问题 对偶问题有其明显的经济含义0, B15232A 25322. .432)(max 1 . 1 . 2 4321432143214321xxxxxxxxxxxxtsxxxxxf资源资源例 假设有商人要向厂方购置资源A和B，问他们会谈原料价格的模型是怎样的？23 例例2.1.1 设

2、A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 显然商人希望总的收购价越小越好 工厂希望出售资源后所得不应比消费产品所得少0, 4 423 3 332 2 22 1 12. .2121212121yyyyyyyyyyts的所得产品的所得产品的所得产品的所得产品目的函数 min gy=25y1+15y20, B15232A 25322. .432)(max4321432143214321xxxxxxxxxxxxtsxxxxxf资源资源34 2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式线性规划原问题与对偶问题的表达形式0XbAXCX. .)(max :tsxf原问题0YCYAYb. .)(min :

3、tsyg对偶问题TmnmTnbbbcccyyyxxx),(),(),(),(21212121bCYX上两式中mnmmnnaaaaaaaaaA21222211121145 2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式线性规划原问题与对偶问题的表达形式0,. .)(min21221122222112112211112211mnmmnnnmmmmmmyyycyayayacyayayacyayayatsybybybyg把对偶问题展开0YCYAYbYTTTTTtsg. .)(min :对偶问题习惯写为56 2.1.2 max,max, 标准型的对偶变换标准型的对偶变换 目的函数由 max 型变为 mi

4、n 型 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,m 对偶问题约束为 型，有 n 行 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术系数矩阵矩阵 原问题与对偶问题互为对偶 对偶问题可能比原问题容易求解 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义67 2.1.3 非标准型的对偶变换非标准型的对偶变换0,510342023. .54)(max 2 . 1 . 2 1221212121xxxxxxxxtsxxxf不限原线性规划问题例 0, 551033420223. .554)(max)(max,

5、221221221221221221xxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxf型标准问题化为0,532532443. .551020)(min 43214321432143214321wwwwwwwwwwwwwwwwtswwwwwh则应用标准型对偶变换规不限经整理得令32143213213214332211, 0, 0532443. .51020)(min:, yyywyyyyyytsyyyygwwywywy78 表表2.1.1 对偶变换的规那么对偶变换的规那么约束条件的类型与非负条件对偶非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件对偶变换是一一对应的原问题(max,)对偶问题(min,)技术系

6、数矩阵 A技术系数矩阵 AT价值系数 C右端项 b右端项 b价值系数 C第 i 行约束条件为 型对偶变量 yi 0第 i 行约束条件为 型对偶变量 yi 0第 i 行约束条件为 = 型对偶变量 yi 不限决策变量 xj 0第 j 行约束条件为 型决策变量 xj 0第 j 行约束条件为 型决策变量 xj 不限第 j 行约束条件为 = 型89 弱弱对偶定理推论对偶定理推论 max问题的任何可行解目的函数值是其对偶min问题目的函数值的下限； min问题的任何可行解目的函数值是其对偶max问题目的函数值的上限 假如原maxmin问题为无界解，那么其对偶min max问题无可行解 假如原maxmin问

7、题有可行解，其对偶min max问题无可行解，那么原问题为无界解910 2.2.2 最优解判别最优解判别定理定理定理定理 假设原问题的某个可行解X0的目的函数值与对偶问题某个可行解Y0的目的函数值相等，那么X0, Y0分别是相应问题的最优解证证：由弱对偶定理推论1，结论是显然的。 即CX0 = Y0b CX, Y0b = CX0 Yb 。 证毕证毕。 2.2.3 主对偶主对偶定理定理定理定理 假如原问题和对偶问题都有可行解，那么它们都有最优解，且它们的最优解的目的函数值相等。证证：由弱对偶定理推论1可知，原问题和对偶问题的目的函数有界，故一定存在最优解。 现证明定理的后一句话。 1011 主对

8、偶主对偶定理的证明定理的证明 证证：现证明定理的后一句话。 设 X0 为原问题的最优解，它所对应的基矩阵是 B， X0= B1 b，那么其检验数满足 C CBB1A 0 令 Y0= CBB1，那么有 Y0 A C。 显然Y0为对偶问题的可行解。因此有对偶问题目的函数值， gY0=Y0b= CBB1 b 而原问题最优解的目的函数值为 fX0=CX0= CBB1 b故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕证毕。该定理的证明告诉我们一个非常重要的概念：对偶变对偶变量的最优解等于原问题松弛变量的时机本钱量的最优解等于原问题松弛变量的时机本钱。即对偶变量的最优解是原问题资源的影子价格影子价格

9、1112 2.2.4 互补松弛互补松弛定理定理定理定理 设X0, Y0分别是原问题和对偶问题的可行解，U0为原问题的松弛变量的值、V0为对偶问题剩余变量的值。X0, Y0分别是原问题和对偶问题最优解的充分必要条件是 Y0 U0 + V0 X0 = 0证证：由定理所设，可知有 A X0 + U0 = b X0, U0 0 1 Y0 A V0 = C Y0, V0 0 2分别以Y0左乘1式，以X0右乘2式后，两式相减，得 Y0 U0 + V0 X0 = Y0 b C X0假设 Y0 U0 + V0 X0 = 0，根据最优解判别定理， X0, Y0分别是原问题和对偶问题最优解。反之亦然。 证毕证毕。

10、miuynjxviijj, 2 , 10, 2 , 1000001213 2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解原问题检验数与对偶问题的解 在主对偶定理的证明中我们有：对偶min型变量的最优解等于原问题松弛变量的时机本钱，或者说原问题松弛变量检验数的绝对值 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值 由于原问题和对偶问题是互相对偶的，因此对偶问题的检验数与原问题的解也有类似上述关系。 更一般地讲，不管原问题是否标准，在最优解的单纯型表中，都有原问题虚变量虚变量松弛或剩余 的检验数对应其对偶问题实变量实变量 对偶变量的最优解，原问题实变实变量量决策变量 的检验数对应

11、其对偶问题虚变量虚变量 松弛或剩余变量的最优解。因此，原问题或对偶问题只需要求解其中之一就可以了。1314 例2.2.3 原问题检验数与对偶问题的解不限原问题321321321321321, 0,101632182. .635)(max :xxxxxxxxxxxxtsxxxxf不限对偶问题321321321321321, 0,633252. .101618)(min :yyyyyyyyyyyytsyyyyg1415Cj 536-600 MCBXBbx1x2x 3x 3x4x5x60 x41 8121 11000 x51 621(3 ) 3010 Mx61 0111 1001O B J= 1 0

12、 M M M MM00 Mcj - zj5 + M3 + M6 + M-6 -M0000 x43 8 /31 /35 /3001 1 /306x 31 6 /32 /31 /31 101 /30 Mx61 4 /31 /3(2 /3 )000 1 /31O B J=3 2 -1 4 M /34 -M /32 -2 M /36 602 + M /3 Mcj - zj1 + M /31 + 2 M /3000-2 -M /300 x41 1 /200011 /2 5 /26x 33(1 /2 )01 101 /2 3 /23x271 /21000 1 /23 /2O B J=3 99 /236 6

13、03 /23 /2cj - zj1 /20000 3 /2-M -3 /20 x44001 111 35x16102 201 13x2401 1(1 )0 12O B J=4 2537 702 1cj - zj00 110 2-M + 10 x48010010 15x11 412000 13 6x 3401 110 12O B J=4 6546 6013cj - zj0 1000 1-M 3对 偶 问 题 最 优 解 ：y4= 0y5= 1y6= 0y1= 0y2= 1y3= 3原 问 题 最 优 解 ： x1= 1 4 , x2= 0 , x3= -4 , x4= 8 , x5= 0 , x

14、6= 0 , O B J = 4 61516Cj 18161000MCBYBby1y2y3y4y5y60y4-5-1-2-11000y5-3-2-1-1010My6613(1)001OBJ=6MM3MM00Mcj - zj18-M16-3M10-M0000y410(1)01010y53-12001110y36131001OBJ=601030100010cj - zj8-14000M-1016y210101010y51-300-21-110y33101-30-2OBJ=46101610-140-4cj - zj800140M4原问题最优解：x4=8x5=0 x6=0 x1=14x2=0 x3=4

15、对偶问题最优解：y1=0, y2=1, y3=3, y4=0, y5=1, y6=0, OBJ=4616172.3 对偶单纯型算法对偶单纯型算法 2.3.1 根本思路根本思路原单纯型迭代要求每步都是根底可行解到达最优解时，检验数 cjzj 0 max 或 cjzj 0 min但对于min, 型所加的剩余变量无法构成初始根底可行解，因此通过加人工变量来解决大M法和二阶段法较繁能否从剩余变量构成的初始根底非可行解出发迭代，但保证检验数满足最优条件， cjzj 0 max 或 cjzj 0 min 每步迭代保持检验数满足最优条件，但减少非可行度 如何判断到达最优解 如何保证初始根底解满足最优条件 为

16、什么叫对偶单纯型法b=B1b01718 2.3.2 迭代步骤迭代步骤1确定出变量确定出变量 找非可行解中最小者，即 min bi | bi 0，不会破坏最优解 假设 aij 0，必须保证 cj zj 03334ijijjijjiijiijjjNjjiijjNjijijmkkkjjjaqzcqizcqaqazczcqazzaaqazx 所以型行约束为对于第即则有变动设则有为非基变量设 , 0 , 0, , 000103435x1, x3为非基变量， q1= 0, q2= 0.25, q3= 1, 故有333123211311175.275.2125.325.325.075.21125.025.3

17、13 aaaaaa x2, x4为基变量，x5=100, b1有剩余， 故有5 . 020010011001001412aa 3536 2.4.5 新增决策变量的分析新增决策变量的分析 例2.4.2中，假设新增产品 x8，问是否消费？ c8=9, a18=5, a28=4, a38=3 计算 x8 的检验数可知消费是否有利05) 1325. 0405(9318888iiiaqczc结论：消费x8有利。将B1P8参加最优单纯型表中，以x8为入变量进展迭代3637 2.4.6 新增约束条件的分析新增约束条件的分析1、将最优解代入新的约束条件，假设满足，那么最优解不变2、假设不满足，那么当前最优解要

18、发生变化；将新增约束条件参加最优单纯型表，并变换为标准型3、利用对偶单纯型法继续迭代 为什么可以利用对偶单纯型法x1x2x3x4x5x6x7x8CBXBb153400000 x51001/40-13/4011/4-104x420020-2101-105x2100-3/4(1)11/400-3/4100 x865012330001例2.4.2 第2步37383839注意：最优解的目的函数减少了25个单位3940 2.4.7 灵敏度分析举例灵敏度分析举例产量 组别单位售价 品种I II III IV V(元)A 产品数量3244010B 产品数量612145C 产品数量265184耗费 组别 资源

19、I II III IV V资源限制工人工时(小时)0461280小时/天机器工时(小时)1121150小时/天每组生产费用(元)481930407例例2.4.3 某工厂消费三种产品A, B, C，有五种消费组合方案。下两表给出有关数据。规定每天供给A产品至少110 个，求收益最大的消费方案。4041 例例2.4.3解解：设xj为已选定各种组合方案的组数j=1,2,5， x6为A产品的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。8 , 2 , 1, 0502802641104423.455403020)(max854321754326432154321jxxxxxxxxxxxxxx

20、xxxtsxxxxxxfj4142 例例2.4.3 最优解的B1是什么 产品A的影子价为多少 第II组方案的消费费用进步2元，是否要调整消费组别 假设工人加班费为1元/小时，是否要采取加班措施 假设通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 假设要选用第IV组方案，该组的消费费用应降低多少 假设工人加班费为0.3元/小时，最多允许加班时间多少 假设机器租费低于44元/小时，问租几部机器才适宜每天8小时计 假设第III组方案使机器工时减少0.5小时，能否被选入42432.5 参数线性规划参数线性规划 2.4 节中 aij, bi, cj 只有一个发生变化，多个同时发生变化

21、那么很难解析 但在一些特殊情况下，用参数表示变化量，也可以用来进展多个系数的灵敏度分析 2.5.1 参数参数cj的变化分析的变化分析i 第i种资源的单位费用变化量， i 不限i i 变化对 cj 的影响率njxmibxatsxcxfjinjjijjnjijj, 2 , 10 , 2 , 1),(.)(max11 4344 例例2.4.2 资源b1变化量1，j=a1j0,1000354312004345800232. .)24()3()35()21 ()(max432143214321432141312111xxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxfx1x2x3x4x5x6x7CBXBb1