2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷(文科)含答案解析

1、2020 年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是（）A B CD 2若 R，则 “=0”是“sin cos”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件3对于空间的两条直线m、 n 和一个平面 ，下列命题中的真命题是（）A若mnmnB若mn? ，则mn， ，则 ，C若 m ，n ，则 m nD 若 m ， n，则 m nn 为等差数列 a n39 S6，则该数列的首项1 等于（）4设 S 的前 n 项和，若 a=3，S=27aABCD5某程

2、序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5 ，则输出i= （）A6B7C8D96该试题已被管理员删除7若变量x， y 满足约束条件且 z=5y x 的最大值为a，最小值为b，则 a b的值是（）A 48B 30C 24D 16第 1页（共 19页）8已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若=+，则 +=（）A2B 2C3D 39某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3+B3+C 3+D +10函数 f （ x） =lnx+ax 存在与直线2x y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（）A （ ， 2B （ ， 2） C 0， +） D（ 2， +）11设 F1，F2

3、分别为双曲线（ a0，b 0）的左，右焦点若在双曲线右支上存在一点 P，满足 |PF2|=|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A B CD12已知函数 f（ x）=，且 g（ x）=f（ x） mx m 在（11 内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（），A（20， B（20C（20D（，（， （ ， （ ，20（ ，二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13设 f（ x）=，若 f（ a） =3，则 a=14从字母 a， b， c，d， e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为第 2页（共 19页）15在

4、 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是a，b，c，已知 sinB=，且满足 sin2B=sinA ?sinC，accosB=12，则 a+c=16设数列 a n ，（ n1，nN）满足 a1=2， a2=6，且（ an+2 an+1）（ an+1 an） =2，若 x 表示不超过 x 的最大整数，则 +=三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .17设函数（1）若 x（ 0， ），求 f（ x）的单调递增区间；（2）在锐角 ABC 中，角 A ， B， C 的对边分别为a，b， c，若， b=1，求 ABC面积的最大值18某超市从

5、2020 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）0， 100.10（10， 200.20（20， 300.30（30， 400.25（40， 500.15（ ）写出频率分布直方图1 中的 a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（ ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s，s，试比较 s与 s的大小；（只需写出结论）（ ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按 30 天计箅）的销售量总量19如图，在三棱柱 ABC A 1B

6、1C1 中， AA 1 底面 ABC ，AB AC ，AC=AA 1， E、 F 分别是棱 BC、 CC1 的中点第 3页（共 19页）（ ）若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF 平面 ABC 1，试确定点 D 的位置，并说明理由；（ ）证明： EF A 1C20该试题已被管理员删除21已知 f （ x） =xlnx ， g（x） =，直线 l ：y= （ k 3） x k+2（1）函数 f（x）在 x=e 处的切线与直线 l 平行，求实数 k 的值（2）若至少存在一个 x0 1 ef（x0） g（ x0）成立，求实数a 的取值范围，使（3）设 kZ ，当 x 1 时 f （ x）的图象

7、恒在直线 l 的上方，求 k 的最大值四 .考生在题（ 22）（ 23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4-1；几何证明选讲 （本小题满分 10 分）22如图， AB 是 O 的直径， AC 是弦， BAC 的平分线AD 交 O 于点 D ，DE AC ，交 AC 的延长线于点 E， OE 交 AD 于点 F（ ）求证： DE 是 O 的切线；（ ）若=，求的值 选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（ t 是参数），以原点O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

8、线C2 的极坐标方程为（1）求曲线C2 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1 与曲线 C2 交于 A ， B 两点，求 |AB|的最大值和最小值 选修 4-5：不等式选讲24（选修 4 5：不等式选讲）已知函数f（ x） =|x+3|+|x a|（ a 0）（ ）当 a=4 时，已知f（ x） =7 ，求 x 的取值范围；（ ）若 f （ x） 6 的解集为 x|x 4 或 x2 ，求 a 的值第 4页（共 19页）2020 年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

9、符合题目要求的1复数的虚部是（）ABCD【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，复数的虚部是故选： B2若 R，则 “=0”是“sin cos”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 当“=0”可以得到 “sin cos”，当 “sin cos”时，不一定得到 “=0 ”，得到 “=0” 是“sin cos”的充分不必要条件【解答】 解： “=0 ”可以得到 “sin cos”，当“sin cos”时，不一定得到 “=0”，如 =等，“=0”是

10、“sin cos”的充分不必要条件，故选 A3对于空间的两条直线 m、 n 和一个平面 ，下列命题中的真命题是（）A 若 m， n ，则 m nB 若 m ， n? ，则 m nC若 m ，n ，则 m nD 若 m ， n，则 m n【考点】 命题的真假判断与应用； 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】 A 利用线面平行的性质定理即可得出；B利用线面平行的性质定理即可得出；C利用线面平行与垂直的性质定理即可得出；D利用线面垂直的性质定理即可得出【解答】 解： A 若 m ， n，则 m n、相交或为异面直线，因此A 不正确；B若 m ，n? ，则 mn 或为

11、异面直线，因此B 不正确；C若 m ，n ，则 m n，因此 C 不正确；D若 m， n ，利用线面垂直的性质定理可知：m n正确第 5页（共 19页）故选： D4设 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和，若 a3=3，S9 S6=27 ，则该数列的首项a1 等于（）A BC D【考点】 等差数列的性质【分析】 利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出【解答】 解：设等差数列 a n 的公差为 d，由 a3=3，S9 S6=27 ，可得，解得a1=故选： D5某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5 ，则输出i= （）A6B7C8D9【考点】 程序框图【分析】 计算循环中n

12、 与 i 的值，当n=1 时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可【解答】 解：模拟执行程序，可得n=5， i=1执行循环体，满足条件n 是奇数， n=16， i=2 ，不满足条件 n=1 ，执行循环体，不满足条件n 是奇数， n=8， i=3 ，不满足条件 n=1 ，执行循环体，不满足条件n 是奇数， n=4， i=4 ，不满足条件 n=1 ，执行循环体，不满足条件n 是奇数， n=2， i=5 ，不满足条件 n=1 ，执行循环体，不满足条件n 是奇数， n=1， i=6 ，满足条件n=1，退出循环，输出i 的值为 6故选： A6该试题已被管理员删除第 6页（共 19页）7若变量x， y

13、满足约束条件且 z=5y x 的最大值为a，最小值为b，则 a b的值是（）A 48B 30C 24D 16【考点】 简单线性规划【分析】 先根据条件画出可行域，设z=5y x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B （ 8， 0）时的最小值，过点A（ 4，4）时， 5y x 最大，从而得到ab 的值【解答】 解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线 5y x=0 ，经过点 B（ 8， 0）时， 5y x 最小，最小值为： 8，则目标函数 z=5y x 的最小值为 8经过点 A （ 4， 4）时， 5y x 最大，最大值为：1

14、6，则目标函数z=5y x 的最大值为16z=5y x 的最大值为a，最小值为b，则 a b 的值是： 24故选 C8已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若=+，则 +=（）A2B 2C3D 3【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量基本定理即可得出【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系则=（1， 0），=（2， 2），=（1， 2）第 7页（共 19页）=+， （2， 2）=（ 1， 2）+（ 1， 0） =（ +，2），解得 = 1， =3+=2故选： A9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3+B3+C 3+D +【考点】 由

15、三视图求面积、体积【分析】 几何体是四棱锥， 根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量，结合直观图求各个面的面积，再相加【解答】 解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中 SA 平面 ABCD ，SA=1 ，底面 ABCD 是直角梯形，直角梯形的直角腰AD=1 ，两底边CD=1 ， AB=2 ，SC=， BC=，SB=， SD=，三角形 SBC 为直角三角形，几何体的表面积S=×1×1+×1×2+ ××1+ × × +×1=3+故选： C第 8页（共 19页）10

16、函数 f （ x） =lnx+ax 存在与直线 2x y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是（）A（2B（2C0，+ D2 +）， ） ）（ ，【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 问题等价于 f （ x）=2 在（ 0，+）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可【解答】 解：函数 f（ x）=lnx+ax 存在与直线2x y=0 平行的切线， 即 f （ x）=2 在（ 0，+）上有解，而 f （ x）=+a，即+a=2 在（ 0， +）上有解， a=2 ，因为 x 0，所以 2 2，所以 a 的取值范围是（，2）故选 B11设 F1，F2 分别为双曲线（ a0，b 0

17、）的左，右焦点若在双曲线右支上存在一点 P，满足 |PF2|=|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A B CD【考点】 双曲线的简单性质【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系，进而求出离心率【解答】 解：依题意 |PF2|=|F1F2 |，可知三角形 PF2 F1 是一个等腰三角形， F2 在直线 PF1 的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b 2c=2a，整理得c=2b a，代入 c2=a2+b 2 整理得 3b24ab=0，求得= ；e= 故选 B12已

18、知函数 f（ x）=，且 g（ x）=f（ x） mx m 在（1， 1 内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A （ ， 2（ 0， B （，2 （0， C（， 2（ 0， D（，2 （0，【考点】 分段函数的应用第 9页（共 19页）【分析】 由 g（ x）=f （ x） mx m=0 ，即 f（ x） =m （ x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】 解：由 g（x） =f （ x） mx m=0，即 f （ x） =m（ x+1 ），分别作出函数 f （ x）和 y=h （ x）=m（ x+1 ）的图象如图：由图象可知f （1） =1， h（ x）

19、表示过定点A （ 1， 0）的直线，当 h（x）过（ 1， 1）时， m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0 m ，当 h（ x）过（ 0， 2）时， h（ 0） = 2，解得 m= 2，此时两个函数有两个交点，当 h（ x）与 f （x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即 m（ x+1 ） 2+3（ x+1） 1=0，当 m=0 时， x=，只有 1 解，当 m0，由 =9+4m=0 得 m=，此时直线和f （ x）相切，要使函数有两个零点，则m 2 或 0 m ，故选： A二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13设 f（ x）=，若 f（ a）

20、 =3，则 a=4【考点】 函数的值【分析】 利用分段函数求值，分类讨论a 的取值范围，求得a 的值【解答】 解：当 a 0， f （ a） =3 ， a=4，第10页（共 19页）当 a0， f（ a）=2a=3，a= 1，不成立；故答案为： 414从字母a， b， c，d， e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为0.4【考点】 等可能事件的概率【分析】 求得从字母a，b，c， d， e 中任取两个不同字母、取到字母a 的情况，利用古典概型概率公式求解即可【解答】 解：从字母a，b，c，d，e 中任取两个不同字母，共有=10 种情况，取到字母a，共有=4 种情况，所求概率为=0.4故

21、答案为： 0.415ABC中，角A B C的对边分别是a b csinB=，且满足sin2B=sinA?sinC，在 ， ，已知accosB=12，则 a+c=3【考点】 正弦定理；余弦定理【分析】 根据正弦定理以及余弦定理建立方程关系进行求解即可【解答】 解：在 ABC 中， sin2B=sinA ?sinC， b2=ac， sinB= ， cosB=， accosB=12 ， ac=13， b2=ac=13 ， b2=a2+c2 2accosB，13= （ a+c）2 2ac 2accosB=（ a+c）2 2×132×13×，即（ a+c） 2=63，即 a

22、+c=3，故答案为： 316设数列 a n ，（ n1，nN）满足 a1=2 ， a2=6，且（ an+2 an+1）（ an+1 an） =2，若 x 表示不超过 x 的最大整数，则 += 2020 【考点】 等差数列的通项公式【分析】 构造 bn=an+1an，可判数列 b n 是 4 为首项 2为公差的等差数列， 累加法可得 an=n（n+1 ），裂项相消法可得答案第11页（共 19页）【解答】 解：构造bn=an+1 an，则 b1=a2 a1=4，由题意可得（ an+2 an+1）（ an+1 an） =bn+1 bn=2 ，故数列 b n 是 4 为首项 2 为公差的等差数列，故

23、bn=an+1 an=4+2 （ n1） =2n+2，故 a2 a1=4， a3a2=6， a4a3=8， ， anan 1=2n ，以上 n 1 个式子相加可得an a1 =，解得 an=n （ n+1），故+=2020 （+）=2020（ 1+ +） =2020，+=2020，故答案为：2020三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .17设函数（1）若 x（ 0， ），求 f（ x）的单调递增区间；（2）在锐角 ABC 中，角 A ， B， C 的对边分别为a，b， c，若， b=1，求 ABC面积的最大值【考点】 三角函数中的恒等变

24、换应用；正弦函数的图象；余弦定理【分析】（ 1）由三角恒等变换化简f（ x），由此得到递增区间（2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可【解答】解：（ ）由题意可知，=，由，可解得：又因为 x（ 0， ），所以 f（ x）的单调递增区间是和（ ）由，可得，由题意知 B 为锐角，所以，由余弦定理b2=a2+c2 2accosB，第12页（共 19页）可得：，即，且当 a=c 时等号成立，因此，所以 ABC 面积的最大值为18某超市从 2020 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）0

25、， 100.10（10， 200.20（20， 300.30（30， 400.25（40， 500.15（ ）写出频率分布直方图1 中的 a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（ ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s，s，试比较 s与 s的大小；（只需写出结论）（ ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按 30 天计箅）的销售量总量【考点】 频率分布直方图；极差、方差与标准差【分析】（ I）根据频率分布直方图的给出的数据得出0.1 0.01 0.020.030 0.025=0，015，即可得出a 的值（II ）运用非常公

26、式求解即可得出大小（III ）求解平均数得出=26.5（箱），运用 30 天求解即可得出：26.5×30 为一个月（按30天计箅）的销售量总量【解答】 解：（ I） a=0.015第13页（共 19页）（）S，（ ）乙种酸奶平均日销售量为：=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25=26.5 （箱）乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30=795 （箱）19如图，在三棱柱 ABC A 1B1C1 中， AA 1 底面 ABC ，AB AC ，AC=AA 1， E、 F 分别是棱 BC、

27、 CC1 的中点（ ）若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF 平面 ABC 1，试确定点 D 的位置，并说明理由；（ ）证明： EF A 1C【考点】 平面与平面平行的判定【分析】（ I ）利用已知及面面平行的性质可得 AB DE，由 E 是棱 BC 的中点，即可得 D 是线段 AC 的中点（ II ）先证明 A1C AC 1，又由（ 1）可得 AB A 1C，可证 A 1C 面 ABC 1，即可证明 A 1C BC 1，又 EFBC 1，从而得证 EFA 1C【解答】（本题满分为 12 分）解：（ I ） 面 DEF 面 ABC 1，面 ABC 面 DEF=DE ，面 ABC 面 ABC

28、 1=AB ，AB DE ，在 ABC 中 E 是棱 BC 的中点，D 是线段 AC 的中点（ II ） 三棱柱 ABC A 1B 1C1 中 AC=AA 1，侧面 A 1ACC 1 是菱形，A 1C AC 1，由（ 1）可得 AB A1C，第14页（共 19页）AB AC 1=A ，A 1C 面 ABC 1，A 1C BC1又 E， F 分别为棱BC ， CC1 的中点， EF BC1 ， EF A 1C20该试题已被管理员删除21已知 f （ x） =xlnx ， g（x） =，直线 l ：y= （ k 3） x k+2（1）函数 f（x）在 x=e 处的切线与直线 l 平行，求实数 k

29、的值（2）若至少存在一个 x01， e使 f（ x0） g（ x0）成立，求实数a 的取值范围（3）设 kZ ，当 x 1 时 f （ x）的图象恒在直线 l 的上方，求 k 的最大值【考点】 导数在最大值、 最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（ 1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k 的方程解得即可（2）由于存在x01， e ，使 f （ x0） g（ x0），则 kx 0 2lnx0? a，只需要 k 大于h（ x） =的最小值即可（3）分离参数，得到k，构造函数，求函数的最小值即可【解答】 解：（ 1） f（ x）=1+lnx ，

30、f （ e） =1+lne=k 3 k=5 ，（2）由于存在x01， e ，使 f （x0） g（ x0），则 ax02 x0lnx 0， a设 h（ x）=第15页（共 19页）则 h（ x） =，当 x1， e时， h（ x） 0（仅当 x=e 时取等号）h（ x）在 1，e 上单调递增， h（ x） min=h（ 1）=0 ，因此 a 0（3）由题意xlnx （ k3） x k+2 在 x 1 时恒成立即 k，设 F（ x）=，F（ x） =，令 m（ x） =x lnx 2，则 m（ x） =1= 0 在 x1 时恒成立所以 m（ x）在（ 1， +）上单调递增，且 m（ 3） =1

31、ln3 0， m（ 4）=2 ln4 0，所以在（ 1， +）上存在唯一实数 x0（ x0（ 3， 4）使 m（x） =0当 1 x x0 时 m（ x） 0 即 F（ x） 0，当 x x0 时 m（ x） 0 即 F（ x） 0，所以 F（x）在（ 1，x0）上单调递减，在（x0， +）上单调递增，F（ x） min=F（ x0）=x 0+2 （ 5， 6）故 k x0+2 又 kZ，所以 k 的最大值为 5四 .考生在题（ 22）（ 23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4-1；几何证明选讲 （本小题满分

32、 10 分）22如图， AB 是 O 的直径， AC 是弦， BAC 的平分线AD 交 O 于点 D ，DE AC ，交 AC 的延长线于点 E， OE 交 AD 于点 F（ ）求证： DE 是 O 的切线；（ ）若=，求的值【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】（ ）连结 OD ，由圆的性质得 OD AE ，由 AE DE，得 DE OD，由此能证明 DE 是 O 切线第16页（共 19页）（ ）过 D 作 DH AB 于 H，则有 cosDOH=cos CAB=，设 OD=5x ，则 AB=10x ，OH=2x ， AH=7x ，由已知得 AED AHD ， AEF DOF，由此能求出【解答】（ ）证明：连结 OD，由圆的性质得 ODA= OAD= DAC ， OD AE ，又 AE DE， DEOD ，又 OD 为半径， DE 是O 切线