(0105)《常微分方程》复习思考题

1、求下列常微分方程的通解0105) 常微分方程复习思考题1234567dy dxdy dx21 x yxy2 3xeydy y tg ydx x x2 dy 2 x 3( y x) 2 dx(2xy x2y y3 / 3)dx(x2y2)dy 0dy2x3x e2x dx43dy x y2 dx xy1882(3xy2 2x3)dx 3(2x2y y2)dy 09 (ex 3y2)dx 2 xydy 0210 x4dyxdy y 0dxdx311 xdy1 dydxdx12x(4)5x'' 4x013x''2x' 10x014x ''

2、9;x et151617t3d2y dx2dy xdxy03dxdt33td2xdt22t ddxt2x 1x''' 4x'' 5x' 2x 2t 3d2x dt 2dxt dt19、d5xdt51 d4x t dt4x' Ax f1(t)x' Ax f2(t)220、 xx'' (x')2 0二、建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：求这条曲线1、设坐标原点到一条平面曲线上任一点的切线的距离等于常数a,所满足的微分方程;2、曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ;a2；3、曲线上任一点

3、的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数4、曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分。三、1、 求方程dyxy2通过点(0，0)的第三次近似解。dx2、 求方程dyxy2通过点(1，0)的第二次近似解。dx3、利用初值问题解存在唯一性定理求dy x2 y2, 当 |x 1| 1,|y| 1dxy( 1) 0解的存在区间，并用逐次逼近法求第二次近似解4、给出上题中的第二次近似解在其存在区间上的误差估计。5、用逐次逼近法求dy x y通过点 (0,1)的第 2 次近似解。dx四、dxdt dy dt x(0)1、 求初值问题xy4x y1, y(0) 12、求方程组的解 。x'

4、;Ax的一个基解矩阵，其中12433、设矩阵A 如上题所示，试计算标准基解矩阵exp At 。14、试求方程组x' Ax f (t)的满足初始条件(0)解 (t) ，其中5、求方程组1、若方程124 3， f(t)Ax的通解，其中2112p1(x)yp2(x)yf (x)有三个解：y1x, y2xex , y31 x ex , 其中p1(x), p2(x), f(x)在 (-) 上连续, 求该方程的通解2、 x1 (t) 0是二阶齐线性方程'''x a1(t) xa2(t)x 0的解，这里a1(t),a2(t)在区间a,b上连续。证明x2(t)是方程的解的充要条

5、件是'W x1 , x2 a1 (t)Wx1 ,x2 03、证明初值问题解2tx 3x 2x e ,x(0) 0, x (0) 0的解 (t) 满足， (t)0 (当 t 时) 。4、 f(x, y)在区域R： 0 x a,| y| 上连续、有界，f 关于 y 是非减的，并且当 0 x a 时 f ( x,0) 0 。试用逐次逼近法证明初值问题dy dx y(0)f(x,y)00 x a 上存在 . (20 分 )5、 x1(t), x2 (t)分别是方程组2 此为变量分离方程，3 着是齐次方程，x1(t) x2(t)是方程组dydxln |x' Ax f1(t)f2 (t)0

6、105)(1 x)(11 yy |y2ye dy1 de y223e y2令uy2)x2 /2, y3xe dx1 de32e3x3xdu xdxdudxtguxu tgu变量分离方程，解之sinu cx则 sin y cxxu=y-x, 则2du dx8/u(x432 xuc)(ycx)28这是一阶线性方程，通解为2(2xydx x dy)22 y dy y(x2y2 /3)dx 0d(x2y y3 /3)d (x2 y y3 / 3)23(x y y /3)x2y y3/3 ce(x2ydx 0y3 /3)dx 03dt 2t 3dty e e e dt c1 2t 3te ce57、 原

7、方程变形为：dy 1 y x3y 2dx x这是 n=-2 的贝努利方程，通解为111 ( 2)(1 2) dx3(1 2) dxy e dp 2p 0(2)dx2x3p 1 0(3)由 (3)得：p 1/(2x3) y 1/(4x2)dy1 p11、令 p ，得 x 3dxp (1 2)x e x dx c3x4 cx3即 y3 3x4 cx38、 由于 M N 12xy ，所以是恰当方程，yx恰当函数为xyu(x, y) 0 M (x,0)dx 0 N(x, y)dyx4 3x2 y2 y3原方程的通解为x4 3x2 y2 y3 c9、 (x) x2为原方程的积分因子，即 (x2ex 3x

8、2y2)dx 2x3ydy 0为恰当方程，则xyu(x, y) 0 M ( x,0) dx 0 N(x, y)dy(x2 2x 2)ex x3y2故原方程通解为(x2 2x 2)ex x3y2 c10、令p dy, 则dx1)42y xp x p(2x3p 1)(xdp 2p) 0dx3 dp2 dpp (1 p)3p1 dydy6pp23( 23 )dp dypp23积分有 y 232 cp 2p1p故通解为23 p 2p212 特征方程为：4 5 2 4 0特征根为11, 21, 32, 42原方程通解为：x(t)tt2t2tc1ec2ec3ec4e13 特征方程为：2 210 0特征根为

9、：1,21 3i通解为：x(t)(c1 cos3t c2 sin 3t)e14 原方程对应的齐线性方程的通解为：t332tx*( t) c1e(c2 cost c3 sin t)e 222下求原方程的特解.设原方程的特解为：x(t)AtetA(3 t)et Atet et代入方程有：13A 1,A3原方程特解为：x(t) 1 tet3t3通解为：x(t) c1e(c2 cost23tc3 sint)e 215此为欧拉方程，寻找方程的形式解y eK ，得关于K 的特征方程为13tetK(K 1) K 1 0 K1 K2 1 ，方程通解为：y(t)(c1c2 ln | x |)x16、令t es

10、, 则有dxds223dx 2 d x d x dx 3 d xt ,t 22, t 3dt dt ds ds dtd3x ds3d2x3ds2dx2 dsd3x ds3d2xdxdt2dtd2xdxdt2dt(1)(2)dx3 2x dsx (c1 c2 s)es c3e 2s 1/22x (c1 c2t ln |t|)t c3/t2 1/217、原方程对应的齐次方程的通解为：x*( t) c1e2t (c2 c3t)et设原方程的特解为：x(t) At B代入原方程得5A 2(At B) 2t 32A 2比较系数得2A 2 A 1,B45A 2B 3故特解为x(t) (t 4)通解为 x(

11、t) c1e2t (c2 c3t)et (t 4)18、齐线性方程通解为x c1c2e t . 为求非齐次方程一个特解，考虑对(1)设特解x1 t(At B) ， 代入( 1)得2A B 2At tA 1 /2, B 1, 故x1 t 2 /2 t .对 (2)设特解x2 Ate t。代入(2)得A(t 2)eA(1 t)e比较系数得：A=-1. 故 x 2 t e是原方程的一个特解。原方程的通解为从而 xt2/2tet2x c1 c2et /2 t t ed4x19、令4dt4dy 1 tydt所以 y ct ，即dd4t4xct通解为x c1t 由两点间距离公式有y y'x 222

12、() +(y y'x) ly' c2t则此曲线上任一点的切线方程为：y y'x b ， c3t 、 设曲线方程为y y( x). 在曲线上任取一点(x,y), 过这点的切线方程为：Y y y'(X x), 这里 (X,Y) 为切线上的点. 原点到该切线的距离为'| y xy |1 (y')2故微分方程为：(y xy')2 a2(1 (y')2). 2、设所求曲线为：y y(x) ， c4t c520、令x' y，则 x'' y dy，原方程化为dxdy 2xy y 0dx所以 y 0或 x y y 0 ，

13、dx积分有 y c ，即 x' c xx原方程通解为x2 c1t c2 。即 (x y )f(x,y) x y ,(x0, y0) (1,0)+(y y'x)2 l 2就是所要建立的方程。 y'3 由2 知：曲线上任意点的切线与两坐标轴所围成的三角形的两条直角边的长分别为：y|x |和 | y xy' | y'所以 dt =1+x+x 2 /2, | x y | y xy' | a2 2 y'故 | x y | y xy ' | 2a2 为所求方程。 y'4 设所求曲线为：y y(x)，y( x)上任意点(x, y)的切线

14、与两坐标轴的交点的坐标为：y y'x( y y x,0)和 (0,y y'x)y'所以，由中点坐标公式，有y y'xy'2即 y y'x 0，这就是所求方程。2f (x, y) x y ,( x0, y0) (0,0)0(x)y0 0x121(x) y0f ( , 0 ( )dx215 x20x02x122(x)y0f ( , 1( )d1 x2x02x3(x) y0 f ( , 2( )d x01 21 518111xx x x2201604400x1211 (x) y0 f ( , 0 ( )d x x022x2(x)y0f ( , 1( )

15、dx0得 3/4,1/4. 故初值问题的解为1x20511130a=1, b=1,M=4, h=1/4. 解的存在区间为：5/4x 3/4.y(x)(t* 2y2(t)dty0(x)y1(x)(t20)dt x3/3 1/3y2(x)t2(t3/3 1/3)2dtx3 /31/3x7 1 x 1( 639x4181)1fM 4,h,|4yy2(x)y(x)ML23!h3124积分方程为x y(x)=1+ 0 ty(t) dt取 y 0 (x)1 , 则有y1(x)y2(x)1 系数矩阵A1,2 3 ， 对应的特征向量分别为112,2令1111223 t1 (t) e t421 3te42、矩阵

16、A 的特征值为15,1 ，对应的特征向量分别为则一个基解矩阵为3、由上题知1(0)At e4、由2 知原方程组对应的齐次方程组的一个基解矩阵为：5、矩阵A 的特征多项式为X(t)5te2e5tt et e1 X(t)X 1(0)5tAt 1 ee5t3 2e5tAt(t)eAt2e t2e(0)5te2e5tt103et特征值为13, 2对应的特征向量分别为5tte 2e5tt2e 2e5t e5t2e5tt et e5t e5t2et et ete(t 02e t2e te5(t s)2e5(t s)3 5t e203 5t e1030s)Af (s)ds5t t ee5t t2e e2e

17、(t s)2e (t1 et41t e21s)2515e5(t s)2e5( t s)(t s)(t s) ese ds1123,231、由于非齐线性方程两个解的差为对应的齐线性方程的解，容易知道2、计算得4、等价的积分方程为故通解为xc1e 3t是齐线性方程的两个解，现在结论显然。3、 齐线性方程的基本解组为：1233t c2e123y 1,yc1x ye这两个解显然是线性无关的。原方程的通为xc2e xW x1,x2 a1(t)W x1,x2a1(t)x2'x2 1'1 x1x1x1x1x2x2x1x2''''x1x2'x2 t (

18、21 xa''x2 'x1t( xa1''x1x2'''a2(t) x1 (t) x2a1 (t)x22t s t(t) e ee3s e0eltimltimt s2 s e ds0tet s2 2s e ds02tet,e作逐次逼近序列'''x1 (t)x2 a1(t)x22ta2(t)x2(t)2ses2 dsts e0sdsts e02t e2sdst2 lim e tt lim e t/2y(x)x0f(t,y(t)dty0(x) 0xy1(x)0f(t,y0(t)dtxy2(x)0f(t,y1(t)dtxyn(x)0f(t,yn 1(t)dt显然yn (x) 在 0， a 上连续。又由于xy1(x)0f (t,0)dt 0y0(x)xxy2(x)0f(t,y1(t)dt0f(t,y0(t)dty1(x)yn(x) yn 1(x), x 0,af连续有界，设| f(x,y)| M ,(x,y) R ，于是有xyn(x)0f(t,yn 1(t) dt M a, x 0,ayn (x) 单调增上有界，设 limnyn (x)(x) . 这个收敛在0,a 上是一致的。从