(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(word文档良心出品)

1、A不可逆r(A) nA Ax 有非零解0是 A的特征值A的列(行)向量线性相关线性代数超强总结A可逆 r(A) n Ax 0只有零解 A的特征值全不为零AA的列(行)向量线性无关AT A是正定矩阵A与同阶单位阵等价A p1p2ps, pi是初等阵Rn,Ax 总有唯一解向量组等价相似矩阵具有 反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于e1 ,e2, ,en：称为 ? n 的标准基，? n 中的自然基，单位坐标向量； e1 ,e2, , en线性无关；e1,e2 , , en1 ； tr(E)=n ；任意一个n维向量都可以用e1,e2, , en线性表示. 行列式的计算： 若 A与 B 都是方阵（不必同

2、阶）, 则上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积a1n关于副对角线：a2n 1( 1)mn A Ba2n 1a1nn( n 1)1) 2 a1na2n Kan1an1an1 逆矩阵的求法: A1 AA (AME)初等行变换1 (EMA 1)a11 adbca1a1a2a2a21anNa2an1anan1a11A1A2NAnA1A22OAnA1 1A2 1OAn 1An 1NA2 1A1 1 方阵的幂的性质：AmAn Am n(Am) n (A)mn 设 f (x) amxm am 1xm 1 La1x a0，对n 阶矩阵A规定：f (A) amAm am 1Am 1 La1A a0E 为

3、 A的一个多项式.设Am n, Bn s, A 的 列 向 量 为 1 , 2B 的 列 向 量 为 1, 2 , , s ， AB 的 列 向 量 为用 A, B中简r1, r2,Lr, s,若(b1,b2,L ,bn)T ,则Ab1 1 b2 2 Lbn n单的一个提 用对角矩阵用对角矩阵 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘AB的第i个列向量ri是 A的列向量的线性组合,组合系数就是i的各分量；高运算速度AB的第i个行向量ri是 B的行向量的线性组合,组合系数就是i的各分量.左乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；右乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各

4、元素依次乘此矩阵的列向量A11与分块对角阵相乘类似, 即： AA22, BOB11B22OBkk则：ri A i,i 1,2,L ,s,即A( 1, 2, , s) (A 1,A 2,L ,A s)ABA22 B22OAkkBkk 矩阵方程的解法：设法化成(I) AX B 或 (II)当 A 0时 ,(I) 的解法：构造(AMB) 初等行变换(II) 的解法：将等式两边转置化为XA B( EMX) (当B为一列时,即为克莱姆法则)AT X TBT，用 (I) 的方法求出XT，再转置得X Ax 和 Bx 同解( A, B 列向量个数相同), 则： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应

5、的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 判断 1, 2 ,L , s 是 Ax 0 的基础解系的条件： 1, 2,L , s线性无关； 1, 2,L , s是Ax 0的解； s n r(A) 每个解向量中自由变量的个数. 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关. 原向量组无关, 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关.对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 两个向量线性相关 向量组1, 2, , n中任一向量i (1 i n)都是此向量组的线性组合

6、向量组1, 2, , n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1 个向量线性表示.1, 2, , n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示. m 维列向量组1,2, n线性相关r(A)n；m 维列向量组1,2, n线性无关r(A)n. r(A) 0 A . 若 1, 2, , n线性无关，而1, 2n, 线性相关, 则 可由 1, 2, , n线性表示, 且表示法惟一? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系1, 2, , n和1, 2,n 可以相互

7、线性表示. 记作：1, 2, , n % 1, 2, , n矩阵等价A经过有限次初等变换化为B . 记作： A %B? 矩阵 A与 B等价 r(A) r(B)A, B 作为向量组等价, 即：秩相等的向量组不一定等价矩阵A与 B作为向量组等价r(1,2,n) r( 1, 2,) r( 1, 2,n, 1, 2, , n)矩阵A与 B等价.? 向量组1,2,可由向量组1,2,线性表示r(1,2, n, 1 , 2,s) r( 1, 2, , n) r( 1, 2,s) r( 1, 2, , n).? 向量组1,2,可由向量组1,2,线性表示, 且 sn ，则1, 2,s线性相关.1,2,线性无关

8、, 且可由1,2, , n线性表示, 则 s n.? 向量组1,2,可由向量组1, 2,n 线性表示, 且 r(1, 2, , s) r(1, 2, , n), 则两向量组等价；? 任一向量组和它的极大无关组等价.? 向量组的任意两个极大无关组等价, 且这两个组所含向量的个数相等.? 若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等.? 若 A是 m n矩阵 , 则 r(A) min m,n , 若 r(A) m， A的行向量线性无关；若 r(A) n， A的列向量线性无关, 即：1, 2, , n线性无关.Aa11a21a12a22LLa1na2nx1x2b1b21j,x,j,j1,2

9、,L ,nMMMMMMam1am2Lamnxnbmmj线性方程组的矩阵式Ax可由 1, 2,L , n线性表示Ax 有解Ax有无穷多解Ax1, 2,L , n线性相关Ax有唯一组解Axr(A) r(AM )n 1, 2 ,L , n线性无关当 A为方阵时克莱姆法则有非零解当 A为方阵时A 0只有零解当 A为方阵时A 0r(A) r(AM )不可由1, 2,L , n线性表示Ax 无解r(A) r(AM )r(A) 1 r(AM )矩阵转置的性质：(AT )TA(AB)T BTAT(kA)TkATATA(A B)T AT BT矩阵可逆的性质：(A1)1 A111(AB) 1 B 1 A 1111

10、(kA) 1 k 1A 1A1A1(A 1)T (AT)1(A 1)k (Ak) 1 A k伴随矩阵的性质：(A) An2A(AB) B An1(kA) kn 1AAAn1(A 1)(A) 1 AA(AT) (A )T(A )k (Ak)AA A A A En若r(A)nr(A )1若r(A)n10若r(A)n1AB A BkA kn AAkAk(1)(2)(3)1,2是 Ax 0的解, 12也是它的解是 Ax 0的解, 对任意 k, k 也是它的解1,1,2,L ,2,L ,k是 Axk, 1 10的解,对任意 k个常数2 2 k k也是它的解22 kk齐次方程组线性方程组解的性质：(4)(

11、5)(6)(7)是 Ax1, 2是 Ax2是 Ax1, 2,L ,是其导出组Ax 0的解, 12是其导出组 设 A为 m n矩阵 , 若 r(A)的解 ,则k 是 Axm, 则 r(A)m n 时 , 一定不是唯一解.1 也是它的解1,则2 k k也是Ax 的解2 k k是 Ax 0的解r(AM ) , 从而 Ax方程个数未知数的个数向量个数是 Ax 的解Ax 0的解2是其导出组Ax 0的解1212k则该向量组线性相关k10m 是 r(A)和 r(AM )的上限 . 矩阵的秩的性质： r(A) r(AT ) r(ATA) r(A B) r(A) r(B) r(AB) min r(A),r(B)

12、 r(kA)r(A) 若 k 00 若k0rAr(A) r(B) 若 A 0,则 r(A) 1 若 Am n,Bn s,且 r(AB) 0,则 r(A) r(B) n 若 P,Q可逆 , 则 r(PA) r(AQ) r(A) 若 A可逆,则 r(AB) r(B)若 B可逆,则 r(AB) r(A) 若 r(A) n,则 r(AB) r(B), 且 A在矩阵乘法中有左消去律AB 0 BAB AC B C标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1.与 正交 ( , ) 0 .是单位向量( , ) 1. 内积的性质： 正定性：0,且 ( , ) 对称性：(,)施密特1,

13、 2,AAT 双线性：(c ,2,2)()(c ,1,1),c2,2) A是正交矩阵的充要条件：3 线性无关,E. 正交矩阵的性质：AT正交化单位化：A的n 个行（列）向量构成A1；(2,113,1) ) 1)1 1)( 3, 2)( 2 2)333? n 的一组标准正交基.AAT ATA E ；A是正交阵, 则AT（或A 1）也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于1 或 -1.A的特征矩阵E A.A的特征多项式E A f( ) .A的特征方程E A 0 .Ax xAx与 x线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素 . 若 A 0, 则0为

14、A的特征值, 且 Ax 0的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.n A 1 2L ni tr A1a1 若 r(A) 1, 则A一定可分解为A=a2b1,b2,L ,bn、A2(a1b1a2b2Lanbn)A, 从而Aan的特征值为：1 tr A a1b1 a2b2 Lanbn ,23 L n 0 . 若 A的全部特征值1, 2,L , n， f(x)是多项式, 则 : f(A)的全部特征值为f( 1), f( 2),L , f( n) ； 当A可逆时, A 1 的全部特征值为1 , 1 ,L , 1 ,12nA 的全部特征值为A , A ,L , A .12nkAaA bEA1是 A的特

15、征值,则 : AA2AmA分别有特征值x是 A关于的特征向量,则 x也是kAkaA bEabA11A关于2 的特征向量A2AmmAAAA与 B相似B P 1AP ( P为可逆阵)记为： A : BA相似于对角阵的充要条件：A恰有 n 个线性无关的特征向量. 这时 , P为 A的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵, 主对角线上的元素为A的特征值. A可对角化的充要条件：n r( iE A) kiki为 i的重数 . 若 n阶矩阵 A有 n个互异的特征值, 则 A与对角阵相似.A与 B 正交相似B P 1AP( P 为正交矩阵) 相似矩阵的性质：A 1 : B 1 若 A, B 均可逆 AT

16、: BT Ak : Bk ( k为整数) E A E B , 从而 A, B 有相同的特征值, 但特征向量不一定相同.即 : x 是 A 关于 0 的特征向量, P 1x 是 B 关于 0 的特征向量. AB从而 A, B 同时可逆或不可逆 r(A) r(B) tr (A)tr(B)数量矩阵只与自己相似.对称矩阵的性质： 特征值全是实数, 特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量, A 可能有重的特征值, 重数 =n r( E A) .A可以相似对角化A与对角阵相

17、似 . 记为： A :(称 是 A的相似标准型) 若 A为可对角化矩阵, 则其非零特征值的个数(重数重复计算)r(A) . 设 i 为对应于i 的线性无关的特征向量, 则有：A( 1,2,L , n) (A 1,A 2,L ,An) ( 1 1, 2 2,L , n n)1, 2,L , n 若 A:AB, C : D , 则：C 若 A:B, 则 f(A) : f(B) , f(A)f(B) .二次型f(x1,x2,L ,xn) XTAXA为对称矩阵A与 B合同 B CTAC .记作： 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数1 44 2 4 43PX (x1, x2 ,L ,

18、 xn )TA; B ( A, B为对称阵,C为可逆阵) 两个矩阵合同的充分条件是：A: B 两个矩阵合同的必要条件是：r(A) r (B)正交变换 f(x1,x2,L ,xn) XTAX 经过合同变换可逆线性变换X CY化为f(x1,x2,L ,xn)44 2 4 4 43di yi2 标准型.1 二次型的标准型不是惟一的, 与所作的正交变换有关, 但系数不为零的个数是由r(A)正惯性指数负惯性指数惟一确定的. 当标准型中的系数di为 1， -1 或 0时 , 则为规范形. 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数1O11 任一实对称矩阵A与惟一对角阵O10O合同 . 用正交变换法化二次型为标准形: 求出A的特征值、特征向量； 对 n 个特征向量单位化、正交化； 构造C （正交矩阵）, C 1 AC ；n 作变换 X CY , 新的二次