(完整版)同济大学___高数上册知识点

1、高等数学上册复习要点函数与极限函数1 、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2 、反函数、复合函数、函数的运算；3 、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4 、函数的连续性与间断点；f (x) 在 x0连续lim f (x)f (x0)x x0第一类：左右极限均存在.可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点5 、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.极限1 、定义2 )数列极限lim xna0, N , n N , xnan3 ) 函数极限lim f (x) A 0,0, x,

2、 当 0 x x0时， f (x) Ax x0左极限：f(x0 ) lim f (x)x x0右极限：f (x0 ) lim f (x)x x0lim f (x) A 存在x x0f (x0 ) f (x0 )2 、 极限存在准则1 ) 夹逼准则：1 )ynxnzn ( nn0 )2 )lim ynlim znalim xnannn2 )单调有界准则：单调有界数列必有极限.3 、无穷小(大)量1 ) 定义：若lim 0则称为无穷小量；若lim 则称为无穷大量.2 ) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 o( ) ;Th2 , lim 存在，则lim lim4、

3、求极限的方法1 ) 单调有界准则；2 )夹逼准则；3 )极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：a)sinx limx0 xb)1lim (1 x) x x0lim (1 1)x e xx5 ) 无穷小代换：( x 0 )a) x sin x tanx arcsinx arctanxb) 112 cosx x2c) ex1 xd) ln(1 x) xe) (1 x) 1 x导数定义： f (x0)lim f (x)x x0x1xlna)loga(1x) x lnaf (x0 ) x0f (x)f (x0)左导数：右导数：f(x0 )lim0x x0xx0f (x)f (x0 )f(x0

4、)lim0x x0x x0函数 f (x)在 x0点可导f (x0) f (x0)2 、几何意义：f (x0 ) 为曲线y f (x) 在点x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率.3 、可导与连续的关系：4 、求导的方法1 )导数定义；2 )基本公式；3 )四则运算；4 )复合函数求导(链式法则)；5 )隐函数求导数；6 )参数方程求导；7 )对数求导法.5 、 高阶导数d 2yddy1 ) 定义： dx2dx dxn(n) Ck (k) (n k)2 )Leibniz 公式： uvCn u vk0微分1 ) 定义： y f (x0x) f (x0 ) A x o( x) ，其中 A与 x无

5、关 .2 ) 可微与可导的关系：可微可导，且dy f (x0 ) x f (x0)dx三、 微分中值定理与导数的应用(一) 中 值定理1 、 Rolle 罗尔定理：若函数f (x) 满足：1) f(x) Ca,b；2) f(x) D(a,b)；3) f(a) f(b)；则 (a,b),使 f ( ) 0.2 、 Lagrange 拉格朗日中值定理 ：若函数f(x) 满足：1) f(x) Ca,b；2) f(x) D(a,b)；则 (a,b),使 f(b) f(a) f ( )(b a).3 、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数f (x), F(x) 满足：1) f(x),F(x) Ca,b

6、； 2) f(x),F(x) D(a,b)；3) F (x) 0,x (a,b)(a,b),使f(b)F(b)f (a)F(a)f()F()洛 必达法则Taylor 公式单 调性及极值1 、 单调性判别法：f (x) Ca,b ， f (x) D(a,b)，则若 f (x) 0，则f (x) 单调增加；则若f (x) 0 ，则 f (x) 单调减少 .2 、极值及其判定定理：a) 必要条件：f (x) 在 x0可导，若x0为 f (x) 的极值点，则f (x0) 0.b) 第一充分条件：f (x) 在 x0的邻域内可导，且 f (x0) 0， 则若当x x0时， f (x) 0， 当 x x0

7、时，f (x) 0， 则 x0为极大值点；若当 x x0时， f (x) 0，当 x x0时，f (x) 0，则x0为极小值点；若在x0的两侧 f (x) 不变号，则x0不是极值点.c) 第二充分条件：f (x) 在 x0处二阶可导，且f (x0) 0， f (x0) 0，则若 f (x0) 0，则x0为极大值点；若f (x0) 0，则x0为极小值点.3 、凹凸性及其判断，拐点x1 x2f (x1 ) f (x2 )1 ) f(x)在区间 I 上连续， 若x1,x2 I, f( 1 2 2)1 22 ， 则称 f(x)在x1 x2f (x1) f (x2)区间 I 上的图形是凹的；若x1,x2

8、 I , f( 1 2 2)1 22 ， 则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凸的.2)判定定理：f (x) 在 a,b 上连续，在(a, b)上有一阶、二阶导数，则a) 若x(a,b), f (x)0,则f(x)在a,b上的图形是凹的；b) 若x(a,b), f (x)0,则f(x)在a,b上的图形是凸的.3)拐点：设y f (x) 在区间 I 上连续，x0是 f (x) 的内点，如果曲线y f (x)经过点(x0, f (x0) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0, f(x0)为曲线的拐点.不 等式证明1 、利用微分中值定理；2 、利用函数单调性；3 、利用极值(最值).方 程根的讨论

9、1 、连续函数的介值定理；2 、Rolle 定理；3 、函数的单调性；4 、极值、最值；5 、凹凸性 .渐 近线1 、铅直渐近线：lim f (x) ，则xa为一条铅直渐近线；xa2 、水平渐近线：lim f (x)b ，则yb为一条水平渐近线；x不定积分概 念和性质1、 、 原函数：在区间I 上，若函数F (x)可导，且F (x) f (x) ，则 F(x) 称为f (x) 的一个原函数.2、 不定积分：在区间 I 上， 函数 f (x) 的带有任意常数的原函数称为f (x) 在区间 I 上的不定积分.3、 基本积分表(P188 ， 13 个公式) ；4、 性质(线性性).换 元积分法1 、

10、 第一类换元法(凑微分)： f (x) (x)dx f (u)du u (x)2 、 第 二 类 换 元 法 ( 变 量 代 换 ： 三 角 代 换 、 倒 代 换 、 根 式 代 换 等 ) ：f (x)dx f (t) (t)dt 1 t (x)分 部积分法：udv uv vdu (反对幂指三，前U 后 V )有 理函数积分1 、 “拆”；2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).五、 定积分概 念与性质：1、定义：bf (x)dxalim0i1f ( i ) xi2、 性质： ( 7 条)性质 7 (积分中值定理)f(x) 在区间 a,b 上连续，则a,b，使f (x)dxf ( )(b a)f( )bf (x)dx aba微 积分基本公式(N L 公式)x1 、 变上限积分：设(x) a f (t)dt，则 (x) f (x)d (x)推广： d f (t)dt f (x) (x) f (x) (x)dx (x)b2、N L 公式： 若 F(x)为 f (x) 的一个原函数，则 a f (x)dx F(b) F (a)换 元法和分部积分b1 、 换元法：a f (x)dx f (t) (t)dtbbb2 、分部积分法：udv uv a vduaa反 常积分1 、 无穷积分：tf (x)dx lim f (x)dxatabbf (x)dx lim f (x)dx0f