(完整word版)幂级数及泰勒展开习题解答

1、求下列幂级数的收敛区间1.n xn 1 2n(2n1)解：lim nan 1anlim n2.解：R11 时，因1 时，收敛区间为n n1( 1)xn1n1 2 nlim nan 1anlim n2 时，收敛区间为2 时，幂级数及泰勒展开2n(2n 1)2(n 1)(2n 1)3.n1( 1)nnx12n(2n 1)( 1)n2n(n n 1)n 12n(2n 1)1,1。2n 1 n 12n n 12( 1)n( 1) 为收敛的交错级数，( 1)n( 2)n1n 12n 1 n( 2,2 。3nxn2n解： lim n1x 时，通项不趋于零，31R，3绝对收敛，1发散，n1 n收敛区间为所以

2、1n1 2n(2n 1)113,3收敛，4.1)n (2x 3)n2n 1解：lim nan 1anlim n2n 12n 1R1故当 2x 3 1 ，即 1 x 2时级数绝对收敛。x 1 时， ( 1)n( 1)n1 ,11 发散，n 1 2n 1 n 1 2n 12n-1 2nx 2时，( 1)n 为收敛的交错级数，n12n 1收敛区间为(1,2。5.ln(n 1)1 n1(x 1)n解：liman 1anlim nln(n 2)(n 1)(n 2)ln( n 1)R1故当 x 11，即0 x 2时级数绝对收敛。当 x 0时，因为1ln(n 1) ln x xlimlim lim x 0n

3、 n1 x x x 1lnx1 lnxf(x)f (x)20(x e)xx所以 ( 1)n ln(n 1)收敛，n1 n 13 时，ln(n 2)n2ln(n 1)n11ln(n 1)所以发散，2n n 1 n 1ln(n 1)1x 2时，因为当n 2时n1n1收敛区间为0,2) 。6. n1(n41n)n(x 1)2n112解： lim un 1unlim n(x 1)2n 1n4n2n 1n 1(x 1) (n 1)41故当 1 x4122 ，即1x3 时级数绝对收敛。二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数x 1 时，x 3 时，n11)n( n n41)n) (3 nn4收敛区间为 1,3

4、 。n 1 2n 11( 1) x.n 1 2n1)2n12n( 1)n 1( 1) 为收敛的交错级数，1n1)2n 1n11)n1) 为收敛的交错级数， n解： limnun 1unlim nx 1 时，x 1 时，2n 1x(2n 1)2n 1x(2n 1)1 时级数绝对收敛，当( 1)n1( 1)2n1n 1 2n 1( 1)n1n 1 2n 1为收敛的交错级数，| x | 1 时，级数发散。1)n1) 为收敛的交错级数，n12n 1收敛区间为 1,1。令 S(x)n 1 2n 1( 1) x2nS(0)S (x)( 1)n11 2nxS(x)S(0)x1dt arctanx0 1 t2

5、S(x)arctanx(x 1).2n 12. 2nxn1解： limnun1unlim n2n 1x (2n2n 1x 2n2)x2故当 x 2 11 时级数绝对收敛，当| x | 1 时，级数发散。n1x 1 时， 2n( 1)2n 1n12n 发散，x 1 时，2n 发散，n1收敛区间为( 1,1)。令 S(x)2nx2n 1S(0) 0n1x0 S(t)dtx 2nt2n 1dt2n xn12x1 x2S(x)2x1 x22x2(|x|1x1).3. n(n 1)xn n1an 1 (n 1)(n 2)解： lim lim1nann n(n 1)R1x 1 时， n(n 1)发散；当x

6、n11 时， n(n 1)( 1)n发散，n1收敛区间为( 1,1)。令 S(x)n(n n11)xnS(0) 04.n1x0 S(t)dtnn1 2n1n(n 1)t dt nx x nxn1n1n122 n 2xxxxx2n 11 x (1 x) 2x22xS(x)23(|x| 1).(1 x)2(1 x)3(2n 1) 2n2 x2n解： limn2故当 xun 1unx 1 时，收敛区间为令 S(x)x0 S(t)dtS1(x)另解S1(x)S1(x)lim nx2n (2n 1)2nx2n 22(n 1)(2n 1)1 时级数绝对收敛，当2n 11 2n1 n111 （通项不趋于零）

7、发散，2n| x | 1 时，级数发散。1,1)。2n2nn12n x1S1(0)1 2n 2xS(0)x 2n1 ln(120 时 , S(x)S(x)2n1t2n 2dtx1 x2(|x|xtdt01 t2ln(1S(x)n12n2n1. n 2nnn1n1也可以考虑利用幂级数1 2n 1xn12n1)1 ln(12x2)2xln(1 x2 )2x2x2)11 x2, 0 |x|xnln(12n x2n1x 2n13n2n12nn1 nx1x1 2nx2)2x22n1x2n1 S1(x)(x 0), S1(0) 0 x1 2n x2n13132 (| x| (1 x)21)n12n3n2n

8、 3n1n12131 132. n1(2n(11)()2nn1 1)1)n2n2n1)nn12n 12n1)n11 (n 2n 1k 1)1)nn1112n2k1)k2k 1( 1)n1n12n 1arctan1421. f(x) ax(a 0,a 1)解：f (n)(x)ax(ln a)nf (n)(0) (ln a)nn0f (n)(0) nxn!(ln a)nxn，n!lim nlim nan 1an| Rn(x) | lnima x 有界，意的 x 上式均成立。lim nf(n(n(lna)n1(n1)!x2. f (x) sin2lnan11) ( x)1)!|x|1 是收敛级数故该

9、级数的收敛区间为) 。再由lim nxn1(ln a) n 1 x(n 1)!(ln a)n n0 n! x (M limx(lna)n(n 1)!) 的一般项，所以对任|x|n 1 0(ln a)n n0 n!nx()。解：f (n)(x)21n sinf (n)(0)21nsin0,( 1)k(221k )1 , n 2k 1n0lim nunn 2k) 。再由f (n)(0)n!1)n2n 10 22n 1(2n 1)!2n 1 x，lim n| Rn(x) |2n 3 |x|lim nlim n2n 322n 3(2n 3)!为绝对收敛级数对任意的x上式均成立。2n 3 x22n 3(

10、2n2n 3 sin222n 3(2n3)!22n 1(2n 1)!2n 1 x故该级数的收敛区间为x2 3)!2n xlim x2n 3 |x|22n 3(2n3)!x sin21)n2n 10 22n 1(2n1)!2n 1 () 的一般项，所以1)nn022n1(2n 1)!2n xx )。五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数常用幂级数展式：n( 1 ) ex, ( x )n 0 n!2n 1x)2) sin x ( 1)n, (n 0(2n 1)!3) cosx1)nx2n(2n)!x)4) (1 x) 1n0(1)L (n!n 1) n x,( 1 x 1)n0(5)11xn x

11、, (1x 1)6)7)11x( n0nn1)x ,x 1)( n0n 2n 1)x(11)ln(1x)( n11)nx 1)arctan x( n01)n2n 1 x2n 12n 1n1(1)n12xn 1, ( 1 x 1)基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。1f (x)解：由ettn( 0 n!2.解：由3.解：由4.解：x2 e( n02n nx1)nn!)。f (x) sin2xsint (n0sin2x (n0f (x) sin2 xcost (n0sin2x 1 12f (x) arcta

12、n x1f (x)1 x21)nt2n(2n 1)!) ，令 t2x得1)n(2x)2n1(2n 1)!t2n1)n t (2n)!1)n(2t)2n (2n)!n 2n1) x (n0)。) ，及 sin2( 1)nx 1)1 (2t)2n2 (2n)!11 cos2x 令 t 2x得2( x )。n0arctan x1 2dt ( 1)n1 t2 n 0xt2ndt( 1)nx2n 1x ( 1 x 1)2n 11 时，均为收敛的交错级数。5.f (x)512x解：由tnn0(|t|1) 及 f (x)12x51 2x52t x得56.解：由7.解：六、在指定点处将下列函数展开成幂级数f

13、(x)f (x)5 2xln(xn0nxn, (25x| x| 52)1t1f (x)xln xf (x) lnf (x)ln1 x1xn1 3 L (2n1)2 4 L (2n)24L1)tn1(n11)n(2(n2n)1!)!tn(1 t 1)，得( n11x21 x2xx2x21)n21t2 dt1. f (x) ln x, 在 x 2处11 x2( n11)n (2n 1)!(2n)!x2n(|x| 1)x1 dt 02 1t(2n 1)! 2n x(2n 1)(2n)!2n x01x1)( n111(|x| 1)解：由 ln(1 t) ( 1)n1ln x ln(2 x 2) ln2

14、2n 10 2xn 1(1 x 1)。1)n(2n 1)!(2n)!xt2n0tn(n1t1)及1x2ln2 ln 1x2，令 tx2 得22x2lnx ln2 ( 1)n12n1nln2 n1( 1)n1 xn 22n (0 x 4)。2. f (x) ex , 在 x 1处x x 1 (x 1)n解： e e e e( x ) 。n0 n!七、求函数f （x）x2ln(1 x) 在 x 0处的 n 阶导数 (n 2)解： f (x)k1x 0( 1)k1k( k01)k1xf(n)1 k1(k 2)(k 1)L (k 3 n) k2nf (x)( 1)xkn2kf(n)(0) ( 1)n

15、3 n! ( 1)n 3n(n 1)(n 3)!。n211八、设有两条抛物线y nx 和 y (n 1)x ，记它们的交点横坐标的绝对值为nn1an1）求an 的表达式2）求这两条抛物线所围成的图形的面积Sn3）求级数Sn 的和n 1 an解： （ 1 ） an1n(n 1)2) Snan nx21 (n 1)x21annn 11n13)由limlimn1n(n 1) n k1 k(k 1) ndx 4 an3 4133 n(n 1) n(n 1)lim 11，得k 1 k k 1 n n(n 1)Sn42 414ann 1an3n1 3 n1 n(n 1) 3常用幂级数展式：1), 0 n!

16、2)sin x1)n3)cosx1)n0(1 x)(5)11x6)7)基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。补充例题1.解：2.解：由幂级数部分习题课2n 1(2n 1)!2n nx(2n)!(1)1)L(n!, (11)2n 1n1 x(2n 1)!n 1) nx, ( 1x)1)11xln(1( n0x)arctan xnn1)x ,n 2n 1)x( n1( n0f (x)f (x)f (x)1)n n1x1)nx 的幂级数2n 1 xx 1)1)1)2n 1n11)n12n 1 x2n 1, (1. 对复杂函数可以先求导看是否为

17、1)x9 x2x9 x2x191 x 239xn0(1)n2n x3( 1) n02n 1nx2n 2 , ( 3 x 3) 。3x arctanxln 1 x2f (x) arctan xarctan x1)11 x22n 1n x ,(2n 12x21x 1)及 f (0) 0f (x)x0 f (t)dt1)n2n 2x(2n 1)(2n2)1)。3.f (x)14ln1x1 arctanx2解：由(x)11x112111 x4n14.解：二、把下列函数在指定点展成幂级数1.解：2.及 f(0)f (x)f (x)f (x)ln(1ln(1f (x)f (x)(t)dt4n 1x1 4n

18、 11)。ln(1ln(15x)x)( n15n x1nf (x)f (x)x4)1 ln1xln(15x)1)n1)lnx 在 x 1 处4nx ,( 1 x 1)ln(1 x)(x 1)5n1( x)n1 ( x)nn5nx ,(n1 nnx ,( 11n1)(11)1n4nx ) xn,( n1)。ln x ln1 (x1)( 1)n1(x11)n) ,(0 x 2) n1在xx2 3x 21处111解：f (x)(x 1)(x2)x13.解：4.解：由x1x2f (x)f (x)2 (x 1)21 x 122n1)nx11)n (x 1)nn (x2n11) ,( 1 x 3)3 (x

19、 1)311x1dxx eef (x)3n1)nx11)n (x 1)nn n 1 ,( 2 x 4)3( 1)n0x eex1dxf (x) sin x在sinx sin4sin cos4sincosen012n 113n 1(x1)n,(1x3)在x1处(x 1)nn!x eex1x1en1(x1)n 1 n!( n0(x 1)n2 n(n2)!(x1)。cos sin42n 1cos x4sin1)n1)nx4( (2n 1)!2n(2n)!42n 12n2 sin x2 n0( 1)n三、幂级数求和步骤： 1. 求出给定级数的收敛区间；2. 两种途径：适当变形逐项积分项求导得和函数适当变形逐项求导项积分得和函数4(2