(完整版)随机过程习题和答案

1、Word格式、1.1设二维随机变量(X,F)的联合概率密度函数为:r 一加 0 y <1 其它试求：在。时，求项X|F=n。解：川M-J二"1加_£24cl-力皿C<y<l 12旧_,产0<jf <1j其它一jo其它当。时 片5 =。其它皿了 1切邛加邛号山1+jr-2jr?3Q-y)1.2设离散型随机变量X服从几何分布：个二导=(1_仍7 以一试求*的特征函数，并以此求其期望式与方差”数0 =Eg") =£/既X =苛解：I=-Q->>' =-。-百uQ-PJhi当尹毓二7Q p>?Qr) _Q_

2、£)/1一。一回一 1 ql=$ 加自，号4完美整理Q-f 馆Q-,所以:(14 *)1 qnr=sr3-(KO2 =一 m =p2 / /2.1 袋中有一个白球，两个 红球，每隔单位时间从 袋中 任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变量-如果对t时取得红球X(t) 3et如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族2.2 设随机过程啊O,其中.是常数，且与产是相互独立的随机变量，F服从区间(。加上的均匀分布，d服从瑞利分布，其概 率密度为JC 力3二不Q00JT<0试证明为宽平稳过程。解：(n mAi)=A=EE(Yj*c 1 办cns(4E +6却0与无关 瞑色町

3、*，妫ES'EM + D'E(力硬aw + 沙冷项乃=套产乜=广于M" 5tJ_ f=-4 it+广*加=-> ir=纭所以*-q如.(3)勺& 阳痴3M 门1痴疝，心+如二世/£«»(阿d+力皿部通+)>=妙，3cnsf®晶十闰q+.皿口口氏一4)白血才3g&7只与时间间隔有关，所以“9为宽平稳过程。2.3 设随机过程 X(t) U cos2t,其中U是随机变量，且 E(U) 5, D(U) 5.求:(1)均值函数；(2)协方差函数；(3)方差函数2.4 设有两个随机过程 X(t) Ut2, Y(t

4、) Ut3,其中U是随机变量，且D(U) 5.试求它们的互协方差函数。2.5 设A,B是两个随机变量，试求随机过程X(t) At 3B,t T (,)的均值函数和自相关函数.若A, B相互独 立，且AN(1,4), B U (0,2)，则mx(t)及Rx(ti，t2)为多少？3.1 队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多，医生不会空闲)解：令N表示(0,t)时间内的体检人数，则 N(t)为参数为30的 poisson过程。以小时为单位。则

5、 E(N(1) 30。P(N(1) 40)(30-e30。k 0 k!3.2 在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1, 2,当1路公共y车有N1人乘坐后出发；2路公共 汽车在有N2人乘坐后出发。设在 0时刻两路公共汽车同时开始等候 乘客到来，求(1) 1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达 式；(2)当N1 = N2，1= 2时，计算上述概率。解：法一 ：(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为 1、2的 poisson过程，令它们为N(t)、N2(t)。Tni表示N1(t)=N1的发生时 亥|J, Tn2表示N2(t)=N2的发生时刻。N1%。1)

6、 R1FN11exP(也) N2 fT (t2) 2t2N2 1exp( 2t2)TN2(N2 1)! 222NiN2fTN1,TN2 (t1,t2)fTN1TN2 (t1|t2)fTN2(t2)1t1N11exp(1t1)2t2N21exp(2t2)(N1 l)!(N2 l)!t2N1N2P(Tni Tn2) 0 dt2 02 (N 1 1)!tiNl 1exp( iti)(N 2 1)/2 1exp( 2t2)dt11(2)当 Ni = N2、1= 2 时，P(Tn1 Tn2)P(Tn1 Tn2)-法二：(1)乘车到来的人数可以看作参数为1+ 2的泊松过程。令Z1、Z2分别表示乘坐公共汽车

7、1、2的相邻两乘客间到来的时 间间隔。则Z1、Z2分别服从参数为1、2的指数分布，现在来求 当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概 率。Z2p P(Z1 Z2)0 dz2 0 1 exp( 1Z1) 2exp( 2Z2)dz112故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐 2路汽车的概率为1- p12上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1+2的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1,以的概1212率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：N1 N2 1P(1路汽车比2路汽车先出发)=CN111(一1)N1()k N1k N11212(2)当 N1

8、= N2、1=2 时2N 12N 1c/zim攵2左N可攵已左出中公、cN1/1、k1cN1/1、k11P(1珞牛比2珞/飞牛先出友)= Ck 1()-Ck 1 (-)一k N 22 k N 223.3 设Ni(t),t 0, (i 1,2,L ,n)是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为i (i 1,2,L ,n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。(1)求T的分布；(2)证明N n1Ni(t),t 0是 Poisson 过程，参数为：1 i ；(3)求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于N1(t),t 0的概率。解：(1)记第i个过程中第一次事件发生的时刻为 I,

9、i 1,2,n则Tminti1,i 1,2,.,n。由如服从指数分布，有PT t 1 PT t 11 Pti1t,i 1,2,., nn，；t -11 (1 e i ) 1i 1Pminti1,i1,2,., n tn1 Pti1 t i 1nexpiti 1(2)方法一：由Ni(t),i 1,2,., n为相互独立的poisson过程，对nPN(t s) N(t) n P Ni(t s) Ni(t) n i 1PNi(t s) ni nn(snexp(ni ni 1Ni(t)ni,nin nii)s)十)i 1 ni!n, i 1,2., n(s i)nn-1-exp( ( i)s)n ni

10、这里利用了公式(1 . n)n ，n!ni n i 1 nJ的poisson过程。n所以N(t)Ni(t),t 0是参数为i 1方法二:1)当h0时,nPN(t h) N(t) 1 P Ni(t s) Ni(t) 1i 1nn( ih o(h)(1jh o(h)i 1j 1nnih o(h) ih o(h) i 1i 10时,nPN(t h) N(t) 2 P Ni(t s) N<)2 i 1s) N)2no(h) ih o(h)i 1no(h) ih o(h)i 1n1 P Ni(t i 1n1(1 jhj 1n1 (1 ih i 1o(h)(3) PN1(t) 1| N(t) 1得证

11、。PN1(t) 1,Ni(t) 0,i 2,，n/ PN(t) 1nnit n1te 1te it / e i1iti 2i 13.4证明poisson过程分解定理：对于参数为 的poisson过程r p 1N,t 0, 0 Pi 1, ，i 1,2,L ,r ,可分解为个相互独立的poisson过程，参数分别为pi i 1,2,L ,r o解：对过程N(t),t 0,设每次事件发生时，有个人对此以概率rpi, p2,., pr进行记录，且pi1 ,同时事件的发生与被记录之i 1间相互独立，个人的行为也相互独立，以Ni(t)表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明Ni(t),t 0是参数

12、为Pi 的 poisson 过程。PNi m PNi(t) m|N(t) m nPN(t) m nn 0mmn ( t) tCm n pi (1 pi ) - en 0(m n)!Pit ( pit)m e m!独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录,个以概率p, 一个以概率1 p记录，则N1(t),t 0是参数为p 的 poisson 过程，N2(t), t0是参数为 (1 p)的poisson过程PN1(t)"心 k2PN1(t)PN(t) k1(t)k1 k2e(k1 k2)!(t)k1 k2e(k1 k2)!k2PW(t)k1| N(t)tCkk1 k2pk1(1

13、p)'2(t)k1 k2Kk!(pt)k ee tpk1(1p)k2tqe (1 p)tPN1(t)k1PN2(t) k2k1,N(t) k1 k2k1 k2得证。3.5设N(t)，t 0)是参数为3的poisson过程，试求(1) PN(1) 3； PN(1) 1,N(3) 2;(3) PN(1) 2| N(1) 1)30 3k一解：(1) PN(1) 3 e 3 13e 3 k 0 k!N(1) 1)(2) PN(1) 1,N(3) 2 PN(1) 1,N(3)PN(1) 1PN(3) N 1 3e3c 696e 18e1 4e31 e 3(3) PN(1) 2|N(1) 1PN(

14、1) 2P N(1) 13.6对于poisson过程N,t0),证明st时,解:nPN小n k(1PN(s) k|N(t)nPN(s)k,N(t) nPN(t)nPN(s) k,N(t) N(s) n kPN(t) nPN(t) N(s) n kPN(s) kPN(t) n右(ts)( (t s)nk s( s)k e e (n k)! k!t( t)nn!n k k (t s) s n!(nk)!k!tn(t s)n k tn ktk(1 ：)n k(s)k3.7设Ni(t),t 0和N2(t),t 0分别是参数为2的Poisson 过程，另X(t)N1(t)N2(t),问X(t)是否为Po

15、isson过程，为什么?解：不是X(t)N1(t) N2(t), X(t)的一维特征函数为:iuX (t)iu(N1 (t) N2(t)iuN1 (t) iuN2(t).fX(t)(u) E(e ) E(e) E(e e )iukek 0(J)： 1tiuk( 2t)ka 2te e ek! k 0 k!iu kiu kitk 0. iuit ee(e 1t)2t(e 2t)e k!k 0 k!1t2t eiu 2 t1 e 2 e 2expeiu 1teiu 2t (12 )t参数为的Poisson过程的特征函数的形式为expeiu t 1,所以X(t)不是poisson过程。3.8计算Ti

16、, T2, T3的联合分布解:fX1 ,X2,X3 (x1 , x2, x3)fX1() fX2(x2)fX3 (x3)3e (x1 网 x3)J(tl,t2,t3)fT1,T2,Ti (t1 ,t2,t3)fX1,X2,X3 (t1 , t2t1,t3t2) J(t1,t2,t3)3e t30t1t2t30其他3.9对 s 0 ,计算 EN(t)gN(ts)。解:2s) N(t) EN2(t)2EN2(t)2st tEN(t)N(t s) EN(t)(N(t EN(t)E(N(t s) N(t) t s t ( t)22t23.10设某医院专家门诊，从早上 8:00开始就已经有无数患者等候,

17、而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟,且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00 到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为 3的泊松过程(以小时N(t)TiE旧盆|Nn则在0, t小时内接受治疗的患者平均停留时间为:N(t)TiEJJ- N(t)ntE2 n当t = 4时，平均等待停留时间为2 h。3 .11 N(t),t 0是强度函数为的非齐次Poisson过程,x1,X2,l是事件发生之间的间隔时间，问：(1)诸Xi是否独立？(2)诸Xi是否同分布?解:(1) P X1 t PN(t) 0 etm(t)

18、0e(s)dsoPX2 t|Xis PN(t s) N(s)P N (t s)N (s) 0 e m(t s) m(s)0|X1 st s()de s从上面看出X1、X2不独立。Xi不独立。Fx1 (t) 1 e(s)dsFx2 (t) 1 P(X2 t) 10 P(X2t|X1 sdFX1(s)m(t s) m(s) m(s) ee0(s)ds 1e m(t s)0(s)ds7:001辆:8:00,11:00 : 12:00贝U早上 7:30 : 11:20分布不同。3.12设每天过某路口的车辆数为：早上 为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数

19、超过 500辆的概率是多少?解：(1)记时刻7:00为时刻0,以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下:120 0 s 1,4 s 5 (s)601 s 4则在 7: 3011: 20 时间内,即 t 0.5,13时，N(13) N(0.5) 33代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson 分布。u1m(t) 3 (s)ds 120ds0.50.5460ds113百 120ds 60 180 40 2804即：EN(13) N(0.5)3280,在给定的时间内平均通过的车辆数为280。13(2) PN(y) N(0.5)500幽:e 280

20、。n 501 n!3.13 0,t时间内某系统受到冲击的次数N(t),形成参数为的poisson过程。每次冲击造成的损害Y , i 1,2,L ,n独立同指数分布,均值为。设损害会积累，当损害超过一定极限A时，系统将终止运行。以 T记系统运行的时间(寿命)，试求系统的平均寿命解：在0,t内某系统受到的总损害N(t)X(t)Yi为一个复合 poisson 过i 1tET 产。)00 dxdFT(t)程，其中Ye()。0 xdFT(t)dx0 (1 FT(x)dx0 P(T x)dxN(t)P(T t) P Y A i 0N(t)P Y A|N(t) nPN(t) nn 0 i 0nP Y AP

21、N (t) nX1e dxet( t)n n!n 1 i 1A U nX0 (n 1)!P(T t)dt0e tA (T1 - xne dxen 1 0 (n 1)!(t)n Jdt n!0e tdt1、nxnr A (-) n1 -( t)n x e dx e0 (n 1)!0 n!tdtA (1)nn1x e 0 (n 1)!xdx(t)n 1 ten! 0(t)n1e0 (n 1)!tdt)A (10 (n 1)!xdx(1)n1(n1)!x1 一,e dx系统的平均寿命为1 -某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设14男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟

22、2人与每分钟3人的泊松过程。(1)试求到某时刻,时到达商场的总人数的分布；(2)在已知.时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有 30位妇女的概率， 平均有多少个女性顾客？解：设"耳在KO分别为(0,t)时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。(1)由已知，为强度4 = 2的泊松过程，昭©为强度冬=3的泊松过程;故，为强度为=4* 3 5的泊松过程；于是，(2)百典 =3。固 = 5(0 =汽砥的二301耳(0:5叼=迎(5分)也=*)二丝产PCN式。=36网”(9 = 20)一切301口产田一打20!软 N©=5Q>函”/ §0衣3刘吠/加=

23、嚼尸京(5分)般地,仅跖 =同即团=5叫=。卡号严斤 U&T0熄跖© IJV© =50 = 50 x? =30(4分)故平均有女性顾客5 人4.1 (1)对 错当N(t) n时，Tn有可能小于t (3)错，Tn t时，N(t)可能等于n。4.2 更新过程的来到间隔服从参数为(n,)的 分布。(1)试求N(t)的分布; N(t)(2)试证 timT n。解：(1) PN(t) kPN(t) k PN(t) k 1PTkkPtXiPTk1kt Pt1Xi1t(kn 1)!kn 1 Jse s( s)(k1)n : ds (k 1)n 1)!(2)由强大数定律:TkkXi

24、 i 1kEXin,以概率1成立。t, TN(t)TN(t) 1 ,TN(t)t丽而TN (t) 1W74.3解:4.4解:TN(t) limt N(t)则：limtn,TN(t) 1TN(t) 1 N (t)1N(t) N(t) 1N(t)-,tn,故limN(t)t对于Poisson过程证明定理M E(N(t)Fn(t)n 1设 PXi(1)4.1.te0n1(n 1)!n-dx0n(n 1)!n 1-dxPXi2计算PN(1)k)P N (2)P N (3) k)。PN(1)0)PN(1)0 PN(1)1)PTo 1)PT11)13PN(1)1)PN(1)1) PN(1)2)PT1 1)

25、PX1X21)2313X1 X2(2)P N (2) 2)P N (2) 2) P N (2) 3) PX1X2 2)PX1X2X32)P N 1)P N (2) 1) P N (2) 2)PT1 1) PX1X2 1) 1XiX2 + X33456P_1_6_12_827272727(3)P NP NP N、，、，、，、，、51142 P N (3) 2 PN(3) 3 PXi X2 3 Pf 39 27 275 41 P N (3) 1 P N (3) 2PT1 3 PX1 X2 3 1 -9 9、，、，113PN (3) 3PN(3)4 PT33 PT43 0 4.5 一个过程有n个状态

26、1,2,L ,n,最初在状态1,停留时间为X1 ,离开1到达2停留时间为X2,再达到3, L ,最后从n回到1,周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求lim P时刻t系统处于状态i设E(X1 X2+L +Xn)且X1 X2 + L +Xn为非格点分布。解：记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n,经过n再回到1,再到i-1这一过程记为关。n则有 Zk = Xi, Yk=Xj。j 1设初始状态从1第一次到i需要时间to。则tim P时刻t系统处于状态i tim P时刻t系统是开着的lim P时刻t-to系统是开着的 一EZ5- EX。tEZk EYk E(X1 . Xn)

27、4.6 用交错更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分 布。解：Y(t) TN(t)i t为t时刻剩余寿命,A(t) t TN(t)为t时刻年龄。若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所产生的，则A(t)表示在时刻t部件所使用的年龄，而Y表示它的剩余寿命。令X(t) Y(t) A，即X(t)表示两次相邻更新的时间间隔，我 们要计算PA(t) x,为此我们将一个开-关的循环对应于一 个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于X,就说系统 在时刻t “开着”。换言之，在两次相邻的时间为X(t)的时间内，前x时间内系统“开着”,而其余时间“关着”。那么若X(t)的分布非格点的,由定理4.10得到lim P A(t) x lim P在时刻 t开着Emin(X,x)/ EX法一：Emin( X,x)0 Pmin( X,x)ydyx0P(Xx)Pmin( X,x) y | X xP(Xx)Pmin(X,x) y |X x dyP(X xx0P(Xx)Pmin( X,x) y | X xx)Px y | Xx P(XP(Xx)PXx)Pmin( X, x) y | X x dyy |X x dyx【P(Xx0P(Xx0P(Xx0P(XxoP(Xx)Px y |Xx) P(y Xx) P(y Xx y)