(完整word版)广东工业大学高等代数2试卷和答案-2016

1、广东工业大学考试试卷 （ A ）课程名称:高等代数（ 2）试卷满分 100 分考试时间: 2016 年 1月 13 日 （ 第 20 周 星期 三 ）题号一二三四五六七八九总分评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、选择题（共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分）1. 设线性变换 , 在基 1,L , n 下的矩阵分别是 A和 B，则 在同一组基下的矩阵 是（ A ）A. BA ; B. AB ； C. B 1A 1; D. A 1B 1 ;12. 设矩阵 A的特征多项式为 f（ ），且矩阵 B XAX 1，其中 X 为可逆矩阵，则矩阵 B 的特征多项式为（ D ）A.Xf ( ); B. X

2、 2 f ( ) ； C.X1f ( )；D.f ( )。3. 设是线性空间V 上的线性变换，则下列集合中可能不是子空间的是（ D ）A.(V);1B.1(0) ； C. V ; D.(V)1(0)4. 在有限维欧氏空间中，两组标准正交基之间的过渡矩阵是（ A ）A. 正交矩阵B.单位阵 ;C. 数量矩阵 ; D.对角矩阵1005. 设矩阵 A110 ，则A 的最小多项式是（A )0002A. ( 1)2B. (21)2 ; C. ( 1);D. .、填空题（共 5题，每小题 4 分，总分 20分）1. 设实对称矩阵 A 是 3 阶的且特征值为1, 21 ，对应于 1 的特征向量为1 （0,

3、1, 1）T ，则矩阵 A= （）。2. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 1,2 ,则行列式3. 已知 12 阶方阵 A的所有初等因子为 1 2i 2 ，则矩阵 A 的所有不变因子为（4. 设三维线性空间 V 上的线性变换 在基 1,64A6 3A4=(）, 行列式AA 1 2E=()。2222,112,11,i,）和 Jordan 标准形为（ ）。2 , 3 的矩阵为a11a12a13A a21a22a23 , 则线性变换 在基下 1, 2, 2 3 的矩阵为（）。a31a32a33（X） ca db X ，则线性变换 在基5. 在线性空间 R2 2 中定义线性变换10010000E1

4、1,E12,E21,E22下的矩阵是11 00 1200 2110 2201）。三 、计算和证明（共 5 题，总分 60 分）1f (x)g(x)dx，求Rx41. （12分）已知在四维欧氏空间 R x4中定义的内积为 （ f,g）的一组标准正交基（由基 1,x,x2,x3出发作标准正交化）1122. （12 分）求矩阵 A336的初等因子，并写出它的 Jordan 标准型2-2411113（12 分）1已知 A111，考虑111111111）求 A 的所有特征值以及对应的特征向量；2）判断 A 是否相似于一个对角矩阵；如果能，请写出相似等式；3）求 Ak，其中 k为自然数（逆矩阵不需要求出，

5、用符号表示即可）4. （12分） （1）设 1, 2是线性变换 的两个不同特征值， 1, 2是分别属于 1, 2的 特征向量，证明： 1 2 不是 的特征向量；（2）证明：如果线性空间 V 的线性变换 以 V 中每个非零向量作为它的特征向量， 那么 是数乘变换。1 (1,0,1),1 (1,2,2),5. （12 分）给定 R3的两组基2 (2,1,0),2 (2,2, 1),3 (1,1,1),3 ( 1, 1, 1),定义线性变换 ： （ k ） k, k 1,2,3, （1）求出由基 1, 2, 3到基 1, 2, 3 的过渡矩阵； （2）求出 在基 1, 2, 3 下的矩阵； （3）求

6、出 在基 1, 2, 3 下的矩阵。广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )课程名称 :高等代数 220 周 星期三 )考试时间 : 2016 年 1 月 13 日 ( 第、选择题共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分)1. A;2. D;3. D; 4. A; 5. A.二、填空题共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分)101. 0 0 0101；02 64, 0;.3. 不变因子都为 d1( )L d9( )1,d10(1)2,d11() ( 1)2 ( 1),d12 ( ) ( 1)2(1)(i)2(2i)2,和 Jordan 标准形为11i1ia11a12a12a134.

7、 a2a31a22 a32a22a32a23 a33 ；a31a32a32a33a0b00a0b5.。c0d00c0d三 、计算题(共 5 题，总分60 分)1.(12 分) 解：记第一步正交化 :（6 分）第二步单位化 :6 分）2. （12分）解： （用初等变换 ）（6分）由上面特征矩阵的标准型，得出初等因子为 , , 2 ；（3分）且矩阵 A 的 Jordan 标准为（3分），则特征值为（ 3 分）。3.（ 12 分） 解：（1）因为矩阵 A 的特征多项式为X1,X2,X3 就是特征值 2 的三个线性无关的特征向量；X4 就是特征值 -2 的特征向量；（3 分）（2）因为特征向量 X1,

8、X2,X3,X4 线性无关，则矩阵 A 可以对角化，且有，其中。(3分)（3）有（ 2），我们有Ak Tdiag(2k,2k,2k,( 2)k)T 1。(3分)4. （12 分）证明：（6 分）3组成的矩阵为 （ 1 2 3） ，记有列向量3 组成的矩(6分)阵为 ( 1 2 3) ，则从11, 2,03 到 1,0 1/ 22, 3 的过渡矩阵可由初等行变换算出：3/20( 1 2 3| 1 2 3)010| 1/ 23/20，001 5/21/ 211/23/20即过渡矩阵为X1/23/20。(6 分)5/21/ 21(2) ( 1, 2,3) (1, 2,3) ( 1,2, 3)X，则 在 1, 2,