孙炳达版自动控制原理-第4章控制系统的根轨迹分析法-2ppt课件

1、自动控制原理第四章 控制系统的根轨迹分析法4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么一、根轨迹的幅值条件和相角条件一、根轨迹的幅值条件和相角条件普通的闭环系统构造框图如下图，其特征方程为：0)()(1sHsG1)()()(sHsGsGk其开环传送函数：, 2 , 1 , 0) 12(180)()(1)()(kksHsGsHsG由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么, 2 , 1 , 0) 12(180)()(1)()(k

2、ksHsGsHsG以上两式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。在S平面上的任一点，凡能满足以上条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。注：当闭环系统为负反响时，对应的轨迹为180根轨迹；而正反响系统的轨迹为零度根轨迹。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么开环传送函数通常可以写为零极点方式：1)()()()(11niimjjgpszsKsHsG其中Kg开环传送系数 zj 和 pi 开环零点和极点因此，幅值条件可表示为：111niimjjgpszsK或gniimjjKpszs1114.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么相

3、角条件为：2 , 1 , 0) 12(180)()(1111kkpszsmjniijmjniij其中j开环零点到S的矢量角 i 开环极点到S的矢量角注：在丈量相角时，规定以逆时针方向为正。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么阐明： 1幅角条件只与开环零、极点有关，为充要条件； 2幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关，必要条件。 3凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环极点。绘制根轨迹的步骤： 1寻觅满足幅角条件一切的s点，由这些点构成根轨迹； 2根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的Kg值。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹

4、的根本条件和根本规那么么在根轨迹图中，普通商定： “表示开环极点；“表示开环有限值零点；粗线表示根轨迹；箭头表示某一参数添加的方向；“.表示根轨迹上的点。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知开环系统的传送函数如下式，设知开环系统的传送函数如下式，设-s0-s0为该闭为该闭环系统的一个极点，求其对应的传送系数环系统的一个极点，求其对应的传送系数Kg0Kg0。式。式中中-z1-z1为开环有限零点；为开环有限零点；0 0、-p1 -p1 、-p2-p2为开环极点。为开环极点。)()()(211pspsszsKsGgK解解 由相角条件确定根轨迹上由相角条件确

5、定根轨迹上的某点位置，如图，使其满的某点位置，如图，使其满足：足：再按幅值条件求得该点的根轨迹传送系数：13210lLLLKg) 12(1803211k4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知系统的开环传送函数知系统的开环传送函数证明 该系统的开环极点试证明复平面上点是该系统的闭环极点。42, 4221jsjs2, 221pp假设系统闭环极点为s1，s2，那么它们应满足相角条件。2)2(2)(sKsGK4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么以s1为实验点，由图可得) 1( ) 12(1809090)()(2111kkps

6、ps以s2为实验点，由图可得)0( ) 12(1809090)()(2212kkpsps可见， s1和s2均满足相角条件，均为闭环极点。证毕。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知系统的开环传送函数知系统的开环传送函数解 根据幅值条件当 变化时其根轨迹如下图，求根轨迹上点 所对应的K值。求得4) 1/()(sKsGK0K 10.50.5sj 115 . 05 . 04jK41)22(15 . 05 . 044jK4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么二、绘制根轨迹的根本规那么二、绘制根轨迹的根本规那么1 延续性 根轨迹

7、是延续的0 :1)()(11ggniimjjKKpszs 当Kg延续变化时，特征方程的根也是延续变化的，所以根轨迹是延续的。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么2 对称性 由于系统特征方程式的系数均为实数，因此特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴。3 根轨迹的条数为系统的阶数即系统特征方程的阶数，也为开环传送函数的极点数。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么4 起点和终点根轨迹的起点是指Kg=0根轨迹的点。根轨迹的终点是指Kg=根轨迹的点，即终点为开环传送函数的零点。gniimjjKpszs111由幅值条件可知，

8、当 Kg=0时对应s=-pi，即根轨迹的起点为开环传送函数的极点。 假设起点数n大于零点数m,那么有m条根轨迹终于零点，有n-m条终于无穷远处无穷远处的零点称之为无限零点。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么5 实轴上的根轨迹在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点有限零点和开环极点数之和为奇数。1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；2 s1左边一切位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0；3s1右边一切位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知

9、系统的开环传送函数，试确定实轴上的根轨知系统的开环传送函数，试确定实轴上的根轨迹。迹。解 上在实轴，右边线段零、极点数为奇数的线段是：22)3)(2()6)(4)(1()(ssssssKsG-1，-2 右侧实零、极点数=3。-4，-6 右侧实零、极点数=7。654321oj平面s表示两重极点4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例设一单位负反响系统的开环传送函数为例设一单位负反响系统的开环传送函数为解 将开环传送函数写成零、极点方式求 时的闭环根轨迹。) 15 . 0() 1()(sssKsGK0K )2() 1(2)(sssKsGK4.2 绘制根轨迹的根本条

10、件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么按绘制根规迹法那么逐渐进展：1法那么三，2阶系统，因此有两条根轨迹；2法那么四，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，其中一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处；3法那么五，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹；4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么最后绘制出根轨迹如以下图所示。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么6 分别点和会合点特征方程的重根为根轨迹的分别点或会合点。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么闭环特征方程式分别点或会合点可

11、由下式求得此外， s对应的Kg值为正时，才是实践的分别或会合点。)()()()(SDSNKsHsGg设0)()(1sHsG0)()()()(sNsDsDsN上式为必要条件，求出S值能够为分别点或会合点；上式的解根轨迹上，需满足：)()(SNSDKg0)()(1SDSNKg4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么注：1位于实轴上两个极点之间的根轨迹上，存在分别点；4分别或会合点还可由以下公式试凑法计算。2位于实轴上两个零点含无穷零点之间的根轨迹上，存在会合点；3根轨迹以 /2的角度方向分开分别点分别角或进入会合点会合角；mjniijpdzd1111j4.2 绘制根

12、轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知系统的开环传送函数，知系统的开环传送函数，求根轨迹的分别点和会合点。求根轨迹的分别点和会合点。解 系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。)5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgk根据规那么五，根轨迹与实轴相重合的区间为-0.1，-0.5,-，-1。求根轨迹的分别点和会合点：33. 067. 1055. 02)()()()(6 . 02)( 05. 06 . 0) 5 . 0)(1 . 0()(1)( 1)(2122sssssNsDsDsNssDsssssDsNssNjS1=-0.33Kg

13、1=0.06S1=-1.67Kg1=2.744.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么求对应分别点、会合点的Kg：根轨迹如以下图：06. 074. 206 . 020)()(21ggggKKKssNKsD4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么7 渐近线1渐近线条数：n-m条，根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远，倾角为mnk)12(180mnzpnimjji11)()(2渐近线交点：与实轴交于一点 坐标为-，j0，其中4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知系统的开环传送函数，知系统的开环传送函

14、数，试画出根轨迹的大致图形。试画出根轨迹的大致图形。解 按根轨迹绘制的规那么：)5)(1()()(1sssKsHsG1起点：0，-1，-5； 终点：，。2分支数： n=33根轨迹对称于实轴。4渐近线：由于本系统中，n=3,m=0,所以渐近线共有3条。渐近线的倾角：取k0，1，2，得到：03)12(180 k 6011802 603 5根轨迹在实轴上的分布： 0-1，-5-之间。2030-)510(-5-24.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么渐近线与实轴的交点：4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么180a1mn090902m

15、na060601803mna045454mna0n-m不同取值下的渐近线4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么8 与虚轴的交点方法一：代数法 将s=j代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出和对应的K值。方法二：劳斯判据 假设劳斯表第一列中有一为零项，且其他各项都具有正号，那么系统为临界形状，即有零根或虚根。4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么例例 知系统的特征方程为知系统的特征方程为, ,求与虚轴的交点。求与虚轴的交点。解 方法一：将s=j代入特征方程，得04523gKsss经整理为：解得：0)4()-5(04)(5

16、)(3223jKKjjjgg040-532gK2j20gK4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，列劳斯表假设根轨迹与虚轴相交，那么表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定形状，因此 又由于一对纯虚根必为数值一样，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。gggKsKsKss012352054120 0520ggKK2 052, 12jsKsg4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么9 出射角与入射角出射角：根轨迹分开开环复数极点处切线与正实轴的夹角。入射角：根轨

17、迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。j开环极点开环零点出射角出射角j开环极点开环零点入射角入射角4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么zj除被测终点外，一切开环有限零点到该点矢量的相角；pi除被测起点外，一切开环极点到被测极点矢量的相角。mjnipizjmjnipizjkk111111)() 12(180)() 12(180入出例例 系统零极点分布如图，试确定根轨迹分开复数共轭极系统零极点分布如图，试确定根轨迹分开复数共轭极点的起始角。点的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-21(21)459013526.6226.

18、6pkk根据对称性，可知 p2点的出射角为：留意：相角要留意符号：逆时针为正，顺时针为负； 留意矢量的方向。解： tanj 1=1 1452=903=tan4=0.54=26.6取k=0(思索到周期性)： p1= -26.6p2 = -p1= 26.61p2p4p3p1z11p243114.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么*(1.5)(2)(2)( )(2.5)(0.51.5)(0.51.5)KK ssj sjG ss ssjsj 例例 系统开环传送函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。系统开环传送函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。 3.渐近线：解：解：1234

19、1230,2.5,0.51.5,0.51.51.5,2,2pppjpjzzj zj 2.实轴上的根轨迹：1.开环零极点：n-m=1，只需一条180o渐进线。4.分别点：无分别点。(，-2.5 -1.5，04.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么-1-2108.59059 37 19 56.5 42156 519591008 5903779()(.) (.)()pkk 取取5.出射角：4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么90 121 153 199 63.5 117 3219011763515319912151149()() (.)-. ()zkk 取取入射角：4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么概略根轨迹图 4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么4.2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么10 走向设系统的闭环特征方程为当n-m=2 时，根之和为不变系数，即0)(12211nnnnnasasas