Ch4.3 协方差及相关系数

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数协方差协方差相关系数相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数 量量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量称为随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y) ，即即 一、协方差一、协方差2.简

2、单性质简单性质Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.定义定义(1) Cov(X,C)= 0, C为常数；为常数；(2) Cov(X,X)= D(X)(3) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)(6) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (5) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数是常数(7) D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(4) Cov(aX+b, Y) = a Cov(X,Y) a,b 是常数是常数 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，可见，若若X 与与 Y 独立，独立， 则则

3、Cov(X,Y)= 0 .3. 计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入

4、了就引入了相关系数相关系数 .二二、相关系数、相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设D(X)0, D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .XY 相关系数的性质：相关系数的性质：11 | . 证证: 由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )(),(XDYXCovb 令令，则上式为，则上式为 D(Y- bX)= )(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXD

5、YXCovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1- 0,所以所以 | |1。22.1XY存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.3. X和和Y独立时，独立时， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.例例1 设设XN(0,1), Y=X2, 求求X和和Y的相关系数。的相关系数。4. 若若 ，称称X和和Y不相关。不相关。0XY定理：定

6、理：若随机变量若随机变量X与与Y的方差都存在，且均不的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价。为零；则下列四个命题等价。 0XY（1） ； （2）cov(X ,Y) = 0； （3）E(XY)=E(X)E(Y)；（4）D(X Y)=D(X)+D(Y)。 但可以证明对下述情形，独立与不相关等价但可以证明对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.1

7、、）具有概率密度，设随机变量（YX其它020 , 20)(81),(yxyxyxf。求)(),(),(),(YXDYXCovYEXE2、相互独立，且设设YXNYNX),(),(22是不全为零的常数）。，其中的相关系数和试求(21YXZYXZ1、解、解95)(,361),(,67)()(YXDYXCovYEXE2、解、解2)()(YDXD222221)()()()()(YDXDYXDZD222222)()()()()(YDXDYXDZD22222121)()(),(21ZDZDZZCovZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(22YYCovXXCov22()( )D XD Y22

8、2()解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 3yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因为因为,78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 的相关系数的相关系数与与YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 备备 用用 例例 题题四、小结四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是