第11讲　一次函数及其图象

1、数学第11讲一次函数及其图象第11讲一次函数及其图象 一个方法待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)，再根据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法 两个区别(1)正比例函数和一次函数的区别正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数也就是说：如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数(2)正比例和正比例函数的区别成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例 1(2013湖州)若正比例函数ykx的图象经过点(

2、1，2)，则k的值为( D )AB2C.D22(2014温州)一次函数y2x4的图象与y轴交点的坐标是( B )A(0，4) B(0，4) C(2，0) D(2，0)3如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(2，4)，B(4，2)，直线ykx2与线段AB有交点，则k的值不可能是( B )A5 B2 C3 D5 4(2012湖州)一次函数ykxb(k，b为常数，且k0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kxb0的解为_x1_ 5(2013温州)如图，在平面直角坐标系中，ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(2，0)，(1，0)，BCx轴，将ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得

3、到ABC(A和A，B和B，C和C分别是对应顶点)，直线yxb经过点A，C，则点C的坐标是_(1，3)_解析：A(2，0)，B(1，0)，AO2，OB1，ABC和ABC关于y轴对称，OBOB1，ABOAOB213，直线yxb经过A，C，ABBC3，C的坐标为(1，3)，故答案为(1，3) 【例1】(1)(2014成都)在平面直角坐标系中，已知一次函数y2x1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1x2，则y1_y2.(填“”“”或“”)(2)(2014达州)直线ykxb不经过第四象限，则( C )Ak0，b0Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0【点评】(1)一次函数ykxb

4、，当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小(2)一次函数ykxb(k，b为常数，k0)是一条直线，当k0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b) 【点评】(1)k，b是一次函数ykxb的未知系数，这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法(2)函数中常用的方法还有代入法 由自变量取值求函数值 2(2013河北)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：yx

5、b也随之移动，设移动时间为t秒(1)当t3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上 解：(1)直线yxb交y轴于点P(0，b)，由题意得b0，t0，b1t，当t3时，b4，yx4(2)当直线yxb过M(3，2)时，23b，解得b5，51t，t4，当直线yxb过N(4，4)时，44b，解得b8，81t，t7，4t7(3)t1时，落在y轴上；t2时，落在x轴上 一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例3】(1)已知一次函数yaxb(a0)中，x，y的部分对应值如下表，那么关于x的方程axb0的解是_x2_(2)若直

6、线yxb与x轴交于点(2，0)，则关于x的不等式xb0的解集是_x2_解析：直线yxb与x轴交于(2，0)，可知x2时，y0，所以不等式xb0的解是x2 【点评】进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，提高识图能力一次函数ykxb，当y0，则kxb0，得到一元一次方程，当y0，则有kxb0，得到一元一次不等式 一次函数的实际应用【例4】(2013哈尔滨)梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子，如果一次购买10千克以上(不含10千克)的种子，超过10千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x(单位：千

7、克)之间的函数关系如图所示，下列四种说法：一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克；一次购买30千克种子时，付款金额为100元；一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格打五折；一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱其中正确的个数有( D )A1个B2个C3个D4个 解析：由0 x10时，付款y5相应千克数，得数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克，是正确；当x30代入y2.5x25，y100，故是正确；由x10时，得每千克2.5元，故是正确；当x40代入y2.5x25，y125，当x20代入y2.5x2575，两次共150元，两种

8、相差25元，故是正确故四个都正确 【点评】(1)数形结合，把数式和图形结合起来进行思考，互相解释、互相补充；(2)认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义，是解决这类问题的关键，注意分段函数是由自变量的取值决定的 4(2014聊城)甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象(1)求出图中m，a的值；(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km. 试题已知函数y1x1

9、，y2x，y3x，有一个关于x的函数y，不论x取何值，y的解析式总是取y1，y2，y3中的值较小的一个，试求y的最大值审题视角由于坐标系的建立，将平面上的点与有序实数对建立一一对应关系，将平面上的线和代数中的方程也建立了对应关系，为几何问题代数化开辟了一条广阔的道路，达到了数形结合的最高境界，因此创建了一门新的数学分支解析几何一次函数、反比例函数、二次函数及其图象的研究体现着解析几何的思想和方法画图象把这些函数表示在同一个平面直角坐标系中，观察图象，数形结合，直观把握问题的答案 规范答题解：在同一直角坐标系中，分别作函数y1x1，y2x，y3x的图象(下图中的实线部分)观察图象，可知图象中的最高点(即函数值最大的点)是直线y2x与直线y3x的交点，该点坐标为(3，3)因此，函数y在x3时取得最大值，最大值是3. 答题思路解函数应用题的一般程序是：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型必须验证这个解对实际问题的合理性 答题思路第一