张厚粲第六章概率分布

1、第二节第二节 正态分布正态分布常态分布、高斯分布。常态分布、高斯分布。概率论中最重要的一种分布，也是最常见的一种分布。该分概率论中最重要的一种分布，也是最常见的一种分布。该分布由两个参数布由两个参数平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线对称中线, ,方差越小，分布越集中在均值附近。方差越小，分布越集中在均值附近。 一、正态分布的概念一、正态分布的概念、正态分布（常态分布）：中间多，两侧逐渐减少的基本对、正态分布（常态分布）：中间多，两侧逐渐减少的基本对称的频数分布。随机变量服从正态分布，记为称的频数分布。随机变量服从正态分布，记为 即随机变

2、量服从参数是即随机变量服从参数是和和 2的正态分布。的正态分布。2、正态曲线：中央高，两侧逐渐下降，两端无限延伸与横轴相、正态曲线：中央高，两侧逐渐下降，两端无限延伸与横轴相靠而不相交，左右完全对称的钟形曲线。靠而不相交，左右完全对称的钟形曲线。 ),(2NX标准正态分布标准正态分布二、正态分布曲线的性质二、正态分布曲线的性质 以过平均数的点为轴，两侧对称，均数、中数、众数三者相等，此点以过平均数的点为轴，两侧对称，均数、中数、众数三者相等，此点Y值值 最大，左右相当的间距面积相等；最大，左右相当的间距面积相等；中央点最高向两侧下降，先里后外，拐点位于正负一个标准差处，曲线两中央点最高向两侧下

3、降，先里后外，拐点位于正负一个标准差处，曲线两端无限延伸，但最终不与基线相交；端无限延伸，但最终不与基线相交；正态曲线下的面积为正态曲线下的面积为1，以平均数为界，左右各占，以平均数为界，左右各占0.5，每一横坐标的值是，每一横坐标的值是其所对应面积与总面积的比值，是其所代表的随机变量的出现概率；其所对应面积与总面积的比值，是其所代表的随机变量的出现概率；正态分布是一族分布，形态取决于平均数和标准差；正态分布是一族分布，形态取决于平均数和标准差；正态分布中各差异量数值相互间有固定比率；正态分布中各差异量数值相互间有固定比率；正态部分中各差异量的值正态部分中各差异量的值 都有固定的比率，标准差与

4、概率之间具有一定的都有固定的比率，标准差与概率之间具有一定的数量关系：即正负一个标准差包含数量关系：即正负一个标准差包含68.26%的面积；正负的面积；正负1.96个标准差包含个标准差包含95%的面积；正负的面积；正负2.58个标准差包含个标准差包含99%的面积。的面积。依标准分数性质，标准正态分布均数为依标准分数性质，标准正态分布均数为0， 标准差为标准差为1。标准差相同、均数不同的正态分布曲线标准差相同、均数不同的正态分布曲线均数相同、标准差不同的正态分布曲线均数相同、标准差不同的正态分布曲线三、正态分布表的编制与使用三、正态分布表的编制与使用自学自学四、正态分布的正常参考值的制定四、正态

5、分布的正常参考值的制定正常值范围（或参考值范围）：心理学上常把绝大多数正常正常值范围（或参考值范围）：心理学上常把绝大多数正常人的某指标值的波动范围称为该指标的正常值范围（参考值范围）。人的某指标值的波动范围称为该指标的正常值范围（参考值范围）。注意：正常人并非指没有任何心理困扰的人，而指同质前提注意：正常人并非指没有任何心理困扰的人，而指同质前提下排除了足以影响所测指标的因素的人。下排除了足以影响所测指标的因素的人。五、次数分布是否为正态分布的检验方法五、次数分布是否为正态分布的检验方法（一）皮尔逊偏态量数法（一）皮尔逊偏态量数法（二）风度、偏度检验法（二）风度、偏度检验法（三）累加次数分布

6、曲线（三）累加次数分布曲线第三节第三节 二项分布二项分布 第四节第四节 样本分布样本分布样本分布是指样本统计量的分布，是统计推样本分布是指样本统计量的分布，是统计推论的主要依据。保证样本的独立性，随机抽样。论的主要依据。保证样本的独立性，随机抽样。一、正态分布及渐进正态分布一、正态分布及渐进正态分布（一）样本平均数的特征（一）样本平均数的特征1.1.总体分布为正态，方差（总体分布为正态，方差（ ）已知，）已知，不管样本容量大小，样本平均数的分布为正态分布样本平均数的分布为正态分布从基本随机变量的总体中，采用随机放回抽样的方法，每次从基本随机变量的总体中，采用随机放回抽样的方法，每次从总体中抽取

7、从总体中抽取n的样本，计算出平均数，然后放回去再抽取的样本，计算出平均数，然后放回去再抽取n个个体，个个体，计算出平均数，计算出平均数，反复抽取，得出反复抽取，得出n个平均数，这些平均数的分布个平均数，这些平均数的分布属于正态分布。属于正态分布。平均数的平均数。平均数的平均数。平均数分布的方差。平均数分布的方差。平均数分布的标准差。为了便于区别又称为平均数分布的标准差。为了便于区别又称为标准误，标准误，SE。标准正态分布的标准分数标准正态分布的标准分数2.2.总体非正态，方差（总体非正态，方差（ ）已知，样本足够大时，）已知，样本足够大时，其样本平均数的分布渐趋正态其样本平均数的分布渐趋正态接

8、近正态分布的程度与样本接近正态分布的程度与样本n及总体偏斜度有关。及总体偏斜度有关。标准差（标准差（standard deviation） 总体中一个分数与总体均值的标准距离。（总体中一个分数与总体均值的标准距离。（X-） 衡量的是次数分布的变异性衡量的是次数分布的变异性标准误（标准误（ standard error ）样本均值和其相应的总体均值之间的标准距离。样本均值和其相应的总体均值之间的标准距离。衡量的是样本均值分布的变异性。衡量的是样本均值分布的变异性。 在很多研究中，总体的均值是未知的，无法知道样本均值与在很多研究中，总体的均值是未知的，无法知道样本均值与总体均值的距离，标准误则可以

9、告诉我们样本均值与总体均值平均总体均值的距离，标准误则可以告诉我们样本均值与总体均值平均起来有多大差异，这样就能知道样本在多大程度上代表总体。起来有多大差异，这样就能知道样本在多大程度上代表总体。标准差、标准误和取样误差标准差、标准误和取样误差二、二、t 分布分布由于在实际工作中，往往由于在实际工作中，往往是未知的，常用是未知的，常用s作为作为的估计值，的估计值，为了与为了与Z变换区别，称为变换区别，称为t，统计量，统计量t 值的分布称为值的分布称为t分布。分布。 自由度自由度df = n-1，统计变量中可以自由变化的分数的数目。统计变量中可以自由变化的分数的数目。 代表代表t分布中独立随机变

10、量的数目。分布中独立随机变量的数目。（一）（一）t 分布的特点分布的特点1. 以平均值以平均值 0 为中心，左右对称的单峰分布；为中心，左右对称的单峰分布； 2.变量取值在（变量取值在（-，+）3. t 分布是一族曲线，其形态变化与分布是一族曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度（确切地说与自由度 df ）大小有关。样本容量趋于大小有关。样本容量趋于，t 分布为正态分布，方差为分布为正态分布，方差为1；n -130，接近正态分布，方差接近正态分布，方差1，随，随n-1的增大而渐趋于的增大而渐趋于1。n -130，与正，与正态分布相差较大，随态分布相差较大，随n -1的减小，离散程度越大。的减小

11、，离散程度越大。（二）（二）、t 分布表的使用分布表的使用( (三三) )样本平均数的分布样本平均数的分布1.总体分布为正态，方差未知，样本平均数的分布为总体分布为正态，方差未知，样本平均数的分布为 t 分布分布2222XNYe2.总体非正态而总体方差未知，若总体非正态而总体方差未知，若 n 30，其样本平均数，其样本平均数的分布近似为的分布近似为 t 分布分布三、三、 分布分布从服从正态分布的总体中，每次随机抽取变量从服从正态分布的总体中，每次随机抽取变量X1、X2Xn，分分别将其平方，抽取无数多个变量为别将其平方，抽取无数多个变量为n的随机变量，可得到无限多个的随机变量，可得到无限多个 ，

12、也可计算其标准分数及其平方，及也可计算其标准分数及其平方，及n个标准分数平方和个标准分数平方和 。这这无限多个随机变量和或便准分数的平方和分布，就是无限多个随机变量和或便准分数的平方和分布，就是 分布。分布。（一）卡方分布特点（一）卡方分布特点1.正偏态分布正偏态分布n或或n-1值值 n或或n-1越小，分布越偏斜，越小，分布越偏斜，越大，越开阔；很大接近越大，越开阔；很大接近正态分布，正态分布，df，为正为正态分布。卡方分布是一族分布，正态分布是特例。态分布。卡方分布是一族分布，正态分布是特例。2. 卡方卡方03.分布具有可加性。分布具有可加性。4.若若df2，分布的平均数：，分布的平均数：方

13、差方差5.卡方分布为连续性分布，但有些离卡方分布为连续性分布，但有些离散型的数据也近似卡方分布散型的数据也近似卡方分布（二）（二） 分布表分布表卡方分布主要用于计数数据的假设检验以及样本方卡方分布主要用于计数数据的假设检验以及样本方差与总体方差显著性检验差与总体方差显著性检验四、四、F F 分布分布两个正态分布的总体两个正态分布的总体两组卡方两组卡方每组各除以各自的自由度的比率。每组各除以各自的自由度的比率。),(2NX) , (2NX（一）（一）F F 分布特点分布特点1.正偏态、非对称正偏态、非对称2.总是正值（两个方差的比率）总是正值（两个方差的比率）3.分子分子df=1，分母自由度任意

14、，分母自由度任意，F值与分母自由度相值与分母自由度相同概率的同概率的t值的平方相等。值的平方相等。4.两个自由度两个自由度（二）（二）F F 分布表分布表), (2NX), (2NXP=0.25三大分布的关系三大分布的关系一切的基础是标准正态分布，注意是标准的。一切的基础是标准正态分布，注意是标准的。 标准正态分布的标准正态分布的N N个个平方和服从自由度为平方和服从自由度为N N的卡方分布，注意是平方和，不是平方和的均值。的卡方分布，注意是平方和，不是平方和的均值。 卡方分布除以其自由度，分别作为分子和分母，就是卡方分布除以其自由度，分别作为分子和分母，就是F F（M,NM,N）分布，两）分布，两个参数分别是分子和分母的卡方分布的自由度。个参数分别是分子和分母的卡方分布的自由度。 t t分布的平方，就是分子自由度为分布的平方，就是