[理学]第二节 函数ppt课件

1、四、反函数四、反函数引例引例1 1 当圆的半径当圆的半径r变化时，圆的周长变化时，圆的周长l变化这两个变量之间的关系为变化这两个变量之间的关系为 ，rl2 r0其中其中是圆周率是圆周率, ,是常量是常量也跟着也跟着引例引例2 2 在某地乘坐出租车，公里之内付元，在某地乘坐出租车，公里之内付元，yx,某乘客的里程与应付的车费，则某乘客的里程与应付的车费，则公里以上按每公里公里以上按每公里1.41.4元计价设元计价设分别表示分别表示. 3, 30, 8 . 24 . 1, 7xxxy 抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们都描述了两个变量之间的依赖

2、关系这种依赖关系给都描述了两个变量之间的依赖关系这种依赖关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应有确定的值与之对应. .两个变量之间的这种对应关系正两个变量之间的这种对应关系正是函数概念的实质是函数概念的实质y M 与它与它其中其中x称为称为自变量自变量，y称为称为因变量因变量, D称为函数称为函数 f 的的定义域定义域.集合集合W= y | y =f (x)，xD 为函数为函数 f 的的值域值域.定义定义1 1 给定两个实数集

3、给定两个实数集D和和M， 若有对应法则若有对应法则 f ，都有唯一的一个数都有唯一的一个数使对使对D内每一个数内每一个数 x，相对应，则称相对应，则称 f 是定义在数集是定义在数集D上的上的，记作，记作y = =f ( (x).).1)1)定义域定义域 D和对应法则和对应法则 f 是确定函数的两个主是确定函数的两个主要因素要因素. .某两个函数相同，是指它们有相同某两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则的定义域和对应法则 有唯一的一个有唯一的一个 y 值与它对应，这样定义的函值与它对应，这样定义的函 数称为数称为单值函数单值函数；若同一个；若同一个 x 值可以对应多值可以对应多于一个的

4、于一个的 y 值，则称这种函数为值，则称这种函数为多值函数多值函数. .在本书范围内，我们只讨论单值函数在本书范围内，我们只讨论单值函数. . 2) 在函数定义中，对每一个在函数定义中，对每一个Dx，只能只能反正（余）弦函数其自变量的绝对值不能大于反正（余）弦函数其自变量的绝对值不能大于1.1.分母不得为零；分母不得为零；偶次方根的被开方式必须大于或等于零；偶次方根的被开方式必须大于或等于零；对数的真数部分必须大于零，底数部分必须大于零对数的真数部分必须大于零，底数部分必须大于零且不等于且不等于1 1；3)3)在实际问题中，函数的定义域是根据问题的在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义

5、确定的实际意义确定的. .在数学中，我们约定：在数学中，我们约定：函数的函数的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值实数值. .例如下列情况：例如下列情况：例例3 3 求函数求函数132xy的定义域的定义域 . .解解 因为分母不能为零，因为分母不能为零，013x即即 31x所求定义域为所求定义域为 ),31()31,(所以所以例例4. 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:211) 1 (2xxy)21(ln)1(arccos)2(xxy解解 (1) 因因1x02 x，故定义域为，故定义域为 xD 12x或或11x或或x1)1,2)1,1(),

6、1(2) 因因11 x021x, 即即20 x21x故定义域为故定义域为)21,0D 常用的函数的表示法有三种，即常用的函数的表示法有三种，即解析法解析法( (或或称称公式法公式法) )、列表法列表法和和图象法图象法. .二、二、 函数的表示法函数的表示法（1 1）解析法解析法( (或称公式法或称公式法).).用代数式表达一用代数式表达一个函数关系的方法称解析法个函数关系的方法称解析法，如：如：232 xy212xxy)(xfy 称为称为显函数显函数，0),(yxf称为称为隐函数隐函数. .2xy 是显函数形式；是显函数形式；422 yx是隐函数形式是隐函数形式. .而而例如，例如，（2 2）

7、列表法列表法. .用一个表格来表达一个函数关系的用一个表格来表达一个函数关系的方法称为列表法，如：表方法称为列表法，如：表 1-11-1月月 份份123456销售额销售额Q（万元）（万元）1112.59.08.588.7利利 润润R（万元）（万元）2.02.61.61.21.01.4 表示某商店上半年的销售额与所获得的利润表示某商店上半年的销售额与所获得的利润之间的函数关系之间的函数关系. . 常用的对数表、三角函数表等都是以列表法常用的对数表、三角函数表等都是以列表法来表示函数的。来表示函数的。(3)(3)图示法图示法 ：在平面直角坐标系下点集在平面直角坐标系下点集 (x，y)| y =f

8、(x)，xD 称为函数称为函数 y =f (x)，xD的的图形图形.xyO( ,)x yxy( )yf x 有些问题中，两个变量之间的关系无法只用有些问题中，两个变量之间的关系无法只用一个数学式子表达，需用两个或两个以上的式一个数学式子表达，需用两个或两个以上的式子才能表达完整子才能表达完整. .这种在自变量的不同变化范围这种在自变量的不同变化范围中，对应关系用几个不同式子表示的函数，称中，对应关系用几个不同式子表示的函数，称为为分段函数分段函数. .例例5 某一吨货物的运输费用，在某一吨货物的运输费用，在300300公里以内公里以内按每公里按每公里0.050.05元计费，元计费，300300

9、公里以上则按每公公里以上则按每公里里0.035 0.035 元计费，则其一吨货物的运费元计费，则其一吨货物的运费 y 与路与路程程x之间的函数式是：之间的函数式是：3003000),300(035. 015,05. 0 xxxxy例例6 绝对值函数绝对值函数定义域定义域 D = (，+ ). 值域值域 W= 0，+ ，0,|00,0,xxyxxxx，xyO例例7 取整函数取整函数 y = x，表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数. 如如1.25 = 1， 3.5 = 4， 1 = 1. yxO1-1y= x2341234-4-3-2-1-2-3-4例例8 符号函数符号函数图像如图图像如图

10、. .010001sgnxxxxy，xyO11 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D. 如果存在数如果存在数K1，使得对任一使得对任一xD都有都有则称函数则称函数f (x)在在D上有上界上有上界，K1称为函数称为函数f (x)在在D上的上的一个上界一个上界. f (x)K1例如：例如：y=sinx11，所以，所以1 1称为称为sinx在在(-(- ，+ + ) )上的一个上界。比上的一个上界。比1 1大的任何数都可以称为大的任何数都可以称为sinx在在(-(- ，+ + ) )上的上界。上的上界。如果存在数如果存在数K2，使得对任一，使得对任一xD都有都有 f (x)K2则称函数则称函

11、数f (x)在在D上有下界上有下界，K2称为函数称为函数f (x)在在D上上的的一个下界一个下界.例如：例如：- -1y=sinx，所以，所以-1-1称为称为sinx在在(-(- ，+ + ) )上的一个下界。比上的一个下界。比-1-1小的任何数都可以称为小的任何数都可以称为sinx在在(-(- ，+ + ) )上的上的下下界。界。如果存在正数如果存在正数M，使得对任一，使得对任一xD都有都有 | |f (x) | |M则称函数则称函数 f (x)在在D上有界上有界. 如果这样的正数如果这样的正数M不存不存在，就称函数在，就称函数f (x)在在D上无界上无界. y=e x 在在(- - , +

12、 + )上无界上无界. .例如例如 y=sinx在在(- - ，+ + )上有界；上有界；*f (x)在在D上有界上有界充要条件充要条件是既有上界又有下界是既有上界又有下界.,)(12 xxf当当3 , 4x151)(2 xxf则称则称)(xf当当3 ,4x时为有界函数。时为有界函数。当当),0 x时，不存在正数时，不存在正数M使使Mxf)(则称则称)(xf当当),0 x时，为无界函数。时，为无界函数。说明：说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。相关。同一个函数在不同的实数集是否有界的同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。结论可能不一样。例

13、例9 设设时，取时，取M=15，3 , 4x对于任一对于任一有有2. 函数的单调性函数的单调性 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D，如果对于，如果对于D上的上的任意两点任意两点x1及及x2，当，当x1 x2时，恒有时，恒有则称函数则称函数f (x)在区间在区间D上是单调增加的上是单调增加的；如果恒有如果恒有 f (x1) f (x2) f (x1) f (x2)则称函数则称函数f (x)在区间在区间D上是单调减少的上是单调减少的.OxyOxy3xy 2xy 3. 函数的奇偶性函数的奇偶性 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D关于原点对称关于原点对称. 如果对如果对于任意于任意

14、xD，都有，都有则称函数则称函数f (x)为为偶函数偶函数；如果对于任意如果对于任意xD，都有，都有 f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)则称函数则称函数f (x)为为奇函数奇函数. 偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关轴对称；奇函数的图像关于原点于原点O对称对称.为奇函数为偶函数)()(0)(2)()(xfxfxfxfxf则此函数为奇函数则此函数为奇函数.例例10 判断函数判断函数)1(ln)(2xxxf的奇偶性。的奇偶性。解解1ln2xx又如又如xxf)(), 0( xxxxfsin)(2),(x均为非奇非偶的函数均为非奇非偶的函数. xfxf01

15、ln 12xx 则称则称 f (x)为周期函数，为周期函数，T 称为称为 f (x)的周期，的周期，通常说周期函数的周期是指通常说周期函数的周期是指最小正周期最小正周期.4. 函数的周期性函数的周期性 设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D. 如果存在一个非零如果存在一个非零常数常数T，使得对于任意，使得对于任意 xD有（有（xT）D，且，且恒成立，恒成立， f (x+T) = f (x) 例如，函数例如，函数sinx，cosx都是以都是以2 为周期的周期为周期的周期函数；函数；函数函数tanx是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.四、四、 反函数反函数设函数设函数 ， xfy

16、Dx满足：对于值域满足：对于值域WD中必有一个确定的中必有一个确定的 x 使得使得 yxf则按此对应法则得到一个定义在则按此对应法则得到一个定义在W上的函数，上的函数，Wyyx),(中的每一个值中的每一个值 y，称这个函数为称这个函数为y=f (x)的的反函数反函数，记作，记作 若函数若函数 f (x)在某个区间上是单调函数，则它在某个区间上是单调函数，则它的的反函数存在，且也是单调函数反函数存在，且也是单调函数.定义定义)(yx)(xfy相对于反函数相对于反函数来说，原来的函数来说，原来的函数称为称为直接函数直接函数. .)(1yfx 或或的图像画在同一坐标平面上，的图像画在同一坐标平面上，

17、这两个函数的图这两个函数的图像关于直线像关于直线 y = x是对称的是对称的(如图如图). xyoyx( )yf x1( )yfx习惯上习惯上, ,反函数的常用记法反函数的常用记法)(xy)(1xfy或或表示。表示。把直接函数把直接函数 y = f (x)和它的反函数和它的反函数 )(1xfy例例1111 求函数求函数321xy中画出直接函数和反函数的图像中画出直接函数和反函数的图像. .的反函数，的反函数， 并在同一坐标系并在同一坐标系解解 由由321xy解出解出 x，得，得62 yx对换对换 x，y ，得反函数，得反函数62 xy6-36yx-3Oxy 例例12 求求y的反函数及其定的反函数及其定义域义域.解解:01x当当时时,2xy 则则1,0(,yyx10 x当当时时,xyln则则0,(,yexy21 x当当时时,12xey则则2,2(,ln12eyxy21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e反函数反函数y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定义域为定