工程电磁场 第5章 平面电磁波

1、第第5章章 平面电磁波平面电磁波5.1 理想介质中平面波理想介质中平面波5.1.1 平面波的电磁场平面波的电磁场 假设电磁波在无界空间充满线性、均匀、各向同性理想介质的无源区域中传播，则电场强度和磁场强度满足的齐次矢量波动方程为2220EE t(5-1a)2220HH t (5-1b) 对时谐电磁场而言，电场强度和磁场强度复矢量满足以下的齐次矢量亥姆霍兹方程 式中 。为简单起见，选择电场强度沿直角坐标系的 轴方向，即 。于是，式(5-8a)化为以下齐次标量亥姆霍兹方程： 220 xxkEE22k xxxEa E222200Ek E Hk H (5-8a) (5-8b) 设 仅与坐标 有关，而与

2、 无关，则上式简化为 此方程是二阶线性齐次常微分方程，其解为 (5-9a) 0dd222xxEkzE 00 xxjkzjkzxEEeEeEExEz, x y对应的瞬时值表达式为 )()() cos() cos()(00tEtEkztEkztEtExxx (5-9b) 式（ 5-9b ）中第一项的相位随的增加而逐渐滞后，代表向正方向传播的行波，如图5-2所示。同样地，式（ 5-9b ）中的第二项的相位随的增加而逐渐超前，代表向负方向传播的行波。若波源发出的波沿正方向传播，则正向行波又称为入射波，而反向行波则称为反射波。在无界空间中传播的波，只有入射波而没有反射波。 zzzz 图5-2 沿正方向传

3、播的行波z 为了定义电磁波的传播参数，设电磁波是无界媒质中传播的入射波，此时电场强度复振幅和瞬时值分别为 (5-10) 式中，上标“”已略去； 是 0处电场强度的振幅； 称为行波因子，它代表了向正方向传播的电磁波的性质； 称为电磁波的时间相位；而 称为电磁波的空间相位。 jkzxeEE0 ) cos()( 0kztEtEx00(0)E E zjkzetkz 通常将电磁波的空间相位相同的场点所组成的曲面称为电磁波的等相位面（或称波前、波面），等相位面的法线方向指向电磁波的传播方向 。前面讨论的电磁波的等相位面是 的平面，因此称这种电磁波为平面电磁波（简称平面波）。又因为与无关，即在 的等相位面上

4、各点场强相等，因此这种等相位面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波（有时也简称为平面波）。例如，在距离坐标原点处小尺寸的线形发射天线很远的地方，此发射天线辐射的球面波在面积较小的球面上即可近似看成是均匀平面波。 az（ ）.constzxEyx，.constz 电磁波的空间相位 变化 所经过的距离称为电磁波的波长，用 表示。由 ，得 (5-12)而 (5-13)称为电磁波的波数，它代表 长度上出现的全波数目。在理想（电）介质中，电磁波的波长为 2kz2km2 k2=k rad m2002 r 式中，0为真空中电磁波的波长，也称为工作波长。（5-14） 电磁波的时间相位变化 所经历的时间称为电

5、磁波的周期，用表示；而将一秒钟内电磁波的时间相位变化 的次数称为电磁波的频率，用 表示。由于 ，因此 式中， 为角频率，单位为 ，而 的单位为 。 2T2f2T1s2fTHzfrad s (5-15) 等相位面的运动速度称为相速，记为 ，相速为 (5-16) 这表明理想媒质中等相位面的传播速度等于媒质中的光速。pv 1ddvktzvp sm 这样，电磁波的波数、相速与波长间的关系为 (5-17)即电磁波的相速等于其波长与频率的乘积。 2fkfkvp 这样，电磁波的波数、相速与波长间的关系为 (5-17) 即电磁波的相速等于其波长与频率的乘积。2 m spfvfkk 平面波的磁场强度复振幅可由复

6、数形式的麦克斯韦方程 (2-144a) 导出，即 ()00 xyzxxyyzzxaaaEja Ha Ha HxyzE 展开得 式中 (5-19)00jkzjkzyxEkHEHee k 称为媒质的本征阻抗。在真空中， 用 表示，即 。可见，在理想介质中， 为一实数，因此 与 同相。于是，可得平面波的磁场的瞬时表达式为 0377120000yHxE00( )a Reeacos()acos()j tyyyyEH tHtkzHtkz 5.1.2 平面波的传播特性平面波的传播特性 理想介质中平面波于某时刻的 与 沿轴的变化 曲线，如图5-3(a)所示。 随的分布图如图5-3(b)所示。yHxEyxHE

7、和zz (a) (b)图5-3 理想媒质中平面波的场量沿z轴的变化曲线 4.1.3 沿任意方向传播的平面波沿任意方向传播的平面波 对沿正向传播的平面波，其电场强度复矢量可表示为 式中 是垂直于轴的常矢量，波的等相位面是 的平面，垂直于轴，如图4.3(a)所示。设 等 相 位 面 上 任 意 点 的 位 置 矢量 ，则任意点p处的电场强度复矢量又可表示为0E( , , )p x y zaaaxyzrxyz 0zjkarEE e zconst.zzz0jkzEE e （5-24） （5-25） 即p点的场矢量仅决定于通过该点，且垂直于z轴的平面与坐标原点间的距离。对沿任意矢量 方向传播的平面波，如

8、图5-4(b)所示，此平面波在p点的电场强度复矢量可表示为 (5-26) 式中 ，称为传播矢量或波矢量。an00njkarjk rEE eE e ankk (a) 沿Z向传播的平面波（b）沿任意方向传播的平面波 图5-4 沿向和沿任意方向传播的平面波的坐标关系 设平面波传播方向上的单位矢量 与 轴的夹角分别为 , 和 ，则 可用其方向余弦表示，即anzyx， anaa cosa cosa cos xyzn n 设平面波传播方向上的单位矢量 与 轴的夹角分别为 和 ，则 可用其方向余弦表示，即 于是，波矢量可表示为 (5-28) 式中 ， ， 分别为 向的波数。显然aaaaacosacosaco

9、s nxxyyzzxyzkkkkkkkk xkykzkzyx，2222zyxkkkkanzyx，, anaa cosa cosa cosnxyz (5-27) 这表明 ， ， 中只有两个是独立的。这样，沿矢量 方向传播的平面波的电场强度复矢量可表示为 (5-29)xkykzkan0exyzj k x k y k zEE（） 沿矢量 方向传播的平面波的磁场强度复矢量可利用无源区域的复数形式麦克斯韦方程组(2-144)导出，此时麦克斯韦方程组可用波矢量表示为 (5-30) kan1aa 0a00a0nHEjkEjHjkHjEEHjkEEjkHH 或n nn nn n- - 于是，磁场强度复矢量为

10、(4.20) 这样，沿任意方向传播的平面波的平均功率流密度为 (4.21) a011a(a)ejkrnnkEHEE n n201Reaa22avnnavESEHS 可见，矢量 的方向即为功率流的传播方向。 例4.1 一均匀平面波在空气中传播，其磁场强度为 求： 常数A； 该平面波的频率、传播方向上的单位矢量； 电场强度的复数表达式。 an3aaasin2 3xyzHtAxz（） （）mA 解 ： 因 ， 故 ，又因 ，有 于是， 。 因 ，所以 j 232j3 aaaezxxyzH （）（）aa 2 3xzkA 0kHa2 3a3aaa0 xzxyzA（）（）2A43222222）（）（zxk

11、kk22k88c3 101.91 102f（）mHz 又因为 ，则 由 ，得 ank k2a2 3a13aaa422xznxz anEH （）j 2 32213377aa3aaae22zxxzxyzE （）（）（）j 2 322188.53a4aaezxxyz （）（）mV 5.2 导电媒质中的平面波导电媒质中的平面波 5.2.1 导电媒质的分类导电媒质的分类 导电媒质又称为有（损）耗媒质，是指 的简单媒质。当时谐电磁波在无源的导电媒质中传播时，因媒质中出现传导电流 ，此时复矢量 和 满足的亥姆霍兹方程（2-146）变成为0cJEEH (5-33a) (5-33b) 式中 ，称为导电媒质的等效

12、复介电常数，为频率的函数。2222()(1)EjkEjEE e ec c2222()(1)HjkHjHH e ec c(1)j（）ecec。 通常将复矢量 和 的方程（5-33）写成以下形式： (5-34a) (5-34b) 式中 ，称为等效复波数，而 定义为传播常数，一般是复数。 22220cEk EEE22220cHk HHHceck ck j EH 式中 ，。这样，它代表了导电媒质中传导电流密度模值与位移电流密度模值之比，也是导电媒质中位移电流密度与总电流密度间夹角的正切，即(5-35) 是工程中用于衡量介质材料损耗特性的一个常量。 cc cc EjEdJ()tcdJJJctanctan

13、c有时还将 写成以下表达形式：ececccj 应指出，上述引出的导电媒质的复介电常数 仅考虑电导率 的影响。事实上，在时变电磁场情况下，即使是非导电的理想媒质，由于介质极化阻尼力的作用产生的极化滞后同样会引起电磁场的功率损耗，因此同样会使非导电媒质的介电常数为复数而不是实数。为此，记介电常数为 ，即 ，其中 对应于介质的极化程度，而 则对应于介质极化滞后引起的功率损耗。于是，根据麦克斯韦方程(2-141b)可知，对导电媒质而言，有ecddddj()dd11tandedddddjjj (5-36) 式中， 为损耗角正切的一般形式。通常记 ，称为媒质的等效电导率。由于一般情况下特别在微波波段的低频

14、端， 比 小得多，此时可以将 近似表示为 是工程中用于衡量介质材料损耗特性的一个参量。 这样，导电媒质可按 比值的量级分为三类 : (1) ，一般取 ，为良介质； (2) ， 为半导体（或不良导体）； (3) ，一般取 ，为良导体。 应指出，媒质属于良介质还是良导体与频率有关，且媒质的参数也随频率变化。1 01. 011100tan() ()dddddtantantanctanc 5.2.2 平面波在导电媒质中的传播特性平面波在导电媒质中的传播特性 引入等效复介电常数 后，平面波在导电媒质中场的表达式和传播特性参数可仿照理想介质情况得到。在无源区域，仍假设沿正z方向传播的时谐电磁场的电场强度复

15、矢量 只有x向分量 ，且 与 无关，则式(5-34a)简化为以下的二阶线性常微分方程： ecExExEyx，0dd222xxEzE(5-37)此方程的解写为 ，于是zeE00azxEE e(5-38) 而磁场强度复矢量为 式中， 而传播常数 因为是复数量，因此可用实部和虚部表示，即 式中： 称为衰减常数； 称为相位（或相移）常数。将上式两端取平方，再将上式两端的实、虚部分开并联立求解，有(j)cec cjkjjecec01aazzyccEHEe (5-39) (5-40) (5-41a) (5-41b) 这样，将式（5-40）代入式（5-38），得 (5-42)2sin(sec 1)(122c

16、c)2cos(sec 1)(122cc0azj zxEE ee 其瞬时表达式为 (5-43) 可见，导电媒质中场强的振幅随z的增加按指数规律不断衰减，衰减的大小取决于媒质的电导率。衰减量可用场强衰减值的自然对数进行计量，衰减常数 的单位是奈培每米（Np/m）。 0( )acos()zxE tE etz 若电磁波在导电媒质中传播一段距离 米后场强幅值由 衰减到 ，则 于是，有 或 1E2EleEE1212lnNpElE121lnNp mElElNp (5-44) 在工程上常用分贝（dB）作为衰减量的单位，其定义为 或根据上述关系可知，1Np=8.686dB。 112210lg20lgdBPElP

17、E1220lgdB mElE (5-45) 导电媒质中电磁波的波长为 其中 ，按式（5-41b）计算。 导电媒质中电磁波的相速为 (5-47) 这表明，导电媒质中平面波的相速比 ， 相同的理想介质中平面波的相速要慢，且 越大，频率越低，则相速越慢。这种现象称为波的色散，导电媒质称为色散媒质。 21211 1pv（）2（5-46）Im 导电媒质的本征阻抗为 (5-48) 可见， (特别地， ，对应于理想介质； ，对应于理想导体)，即本征阻抗具有感性相角。此时磁场强度复矢量为 j()jcce 40 , c04j00aazzjzyyccEEHeeee（5-49） 其瞬时表达式为 即磁场强度的相位比电

18、场强度的相位滞后 ， 越大滞后就越多，其振幅也随 的增加按指数律衰减。 0( )acos()zycEH tetzz 由于导电媒质中传播的电磁波的电场和磁场方向相互垂直，并且都垂直于波的传播方向，因此传播波仍是TEM波。此时，复坡印亭矢量为 (5-51) 于是，平均功率流密度矢量 为 (5-52)2201a22zjzcESEHeeavS220Reacos2zavzcESSe 可见，平均功率流密度随z的增加按 迅速衰减。ze20aveavmww 导电媒质中传播的平面波的平均电、磁场能量密度不再相等。此时，因附加磁场，从而使。于是，引起传导电流而激发磁场能量密度为总的平均电222011 ()4zav

19、emavavwwwE e （5-53） 由式（5-52）和式（5-53），可得导电媒质中传播的平面波的能速为 21211 ()avepavSvvw（5-54） 下面讨论两种具有代表性的导电媒质。 1）良介质中的平面波 良介质是一种低损耗的媒质，此时，即位移电流密度远大于传导电流密度，例如常见的聚四氟乙烯、聚苯乙烯以及有机玻璃等材料，在高频、超高频或更高频段中均有 。 对式(5-40)的第二个等式作二项式级数展开，略去平方项以上的高阶项，可得传播常数的近似式为()12() 10jjj2121 (5-55) (5-56 a) (5-56 b) 同理，良介质的本征阻抗和波的相速可分别近似为 (5-5

20、7) (5-58)2jc1pv于是，良介质的衰减常数和相位常数分别为 以上各式表明，平面波在良介质中传播时，除了电磁波场强的幅度因介质损耗引起微弱的衰减外，其他传播特性与理想介质情况几乎相同。 2）良导体中的平面波 对良导体， ，即传导电流密度远大于位移电流密度。例如银、金、铜等金属，在整个微波波段都有 （如铜( )在频率高达 时仍为良导体）。此时，等效复介电常数可近似为 1()210() 75.8 10 S m1610 Hz (5-59) 这样，衰减常数为 (5-60) 或 (5-61)je ec cj45j j jje1j2 （）e ec cf 良导体的本征阻抗为 (5-62) 良导体中电

21、磁波的传播相速为 (5-63)41j12jcej（）e ec c2m spv 由良导体中电磁波的衰减常数的表达式(5-61)可见，高频电磁波在良导体中衰减很大，因此高频电磁场只能存在于导体表面附近的一个薄层内。这种现象称为趋肤效应。为此，定义一个新的物理量趋肤深度，它是指电磁波场强的幅度衰减至导体表面处的 或 的深度。记趋肤深度为 ，因 时场强幅度降为 ，故 m (5-64)e11e1f1136.8% 又因 ，于是 (5-65) 1m2可见，根据良导体中电磁波的波长可近似计算趋肤深度。此外，由式（5-64）可知，导体材料的导电性能越好，频率越高，则趋肤深度越小。良导体中平面波的电、磁场复矢量可

22、表示为1 j00aaazzxxxxEE eE eE 1 j1 j004aaaaeejzzxyyyyycccEEEHHe（）（）(5-66a)(5-66b) 于是，复坡印亭矢量 及平均功率流密度矢量 分别为SavS2201a1222zzESEHej220Rea22zavzESSe (5-67) (5-68) 此外，通常将导体表面（ ）处的切向电场 与切向磁场 之比定义为导体的表面阻抗，记为 ，即 (4.53) 式中 , 分别称为表面电阻和表面电抗。 xEyHsZssczyxsjXRjHEZ210sRsX0zn4.3 平面波的极化平面波的极化 按照矢量的尾端轨迹的形状通常可将平面波的极化分为三种：

23、线极化、圆极化和椭圆极化。无一定极化方式的波（如光波）通常称为随机极化波。 假设平面波沿正z向传播，则电场强度 总可分解为 和 两个分量，即复矢量 为 (5-69) ExEyEEaaxxyyEEE 若 的振幅为 ， 的振幅为 ，且 相位滞后于 相位的角度为 （若 相位超前于 ，则 ）。于是，上式可写成为 (5-70) 其瞬时表达式为 (5-71)xE000 xxEEyE000yyEEyExEyExE000aajkzjkzjxxyyEE eE ee00,acosacosxxyyE z tEt kzEt kz 这表明瞬时矢量 的两个分量分别为 (5-72) 在上两式中消去 ，可得 和 间的以下关系

24、： (5-73) 这是对任意给定z值的情况下， 的尾端在z平面内的轨迹方程。对不同的 和 的比值及 的取值，上式代表不同的几何图形，从而对应不同的极化方式。 E zt，00,cos,cosxxyyEz tEt kzEz tEt kzkzttzEx,），（tzEy2002020sincos,2,yxyxyyxxEEtzEtzEEtzEEtzE,E z t0 xE0yE5.3.1 线极化线极化 当 或 时，则方程（5-73）变为以下的方程： 0tzEEEtzExxyy,00(5-74)这是一直线方程，其中“”对应于 ；“”对应于 （或 ） 。根据式（5-72），可得 的方向与 轴正向间的夹角 为0

25、180 ,E z tx00,arctanarctan,yyxxEz tEEz tE (5-75) 这表明 的尾端轨迹是一直线，故称为线极化。图5-7(a)示出了z=0平面上在 情况下电场强度 尾端的轨迹。,E z t00,Et 图5-7（a） 线极化 4.3.2 圆极化圆极化 当 ， 时 ，由式（5-73），可得 这是半径为 的圆，图5-7（b）示出了 平面上电场强度 尾端的变化轨迹。000EEEyx902022,EtzEtzEyx0E0z0,Et (5-76) 图 5-7 (b) 圆极化 根据式（5-72）可知， 的大小不随 变化，而 的方向与x轴的夹角为 ,E z tt,E z t00co

26、s2arctancosarctantanEt kzEt kzt kzt kz (5-77) 这表明，对于给定 值的某点（如图中 情况），随 的增加，场 矢量的方向以角频率 等速旋转。 的尾端轨迹是圆，故称为圆极化。当 相位滞后于 时， 的旋向与波的传播方向 满足右手螺旋关系，称为右旋圆极化（或正圆极化）。 z0zt,E z t,Ez tyE90 xE,E z taz2即 当 相位超前 时， 的旋向与波的传播方向 满足左手螺旋关系，称为左旋圆极化（或负圆极化）。在给定时刻，右旋圆极化波的电场的尾端轨迹恰为左旋螺旋线；左旋圆极化波的电场的尾端轨迹恰为右旋螺旋线。如图5-8所示。 yE290即xE,

27、E z taz 图5-8 左旋圆极化波电场的右旋螺旋线 根据上述讨论可知，若波沿正z向传输，对左旋圆极化，因 ，故电场强度复矢量为xyEEj0ajajkzxyEE e (5-78)对右旋圆极化，因 ，故电场强度复矢量为xyEEj0ajajkzxyEE e (5-79) 可见，两个相位相差 ，振幅相等，空间上正交的线极化波可合成一个圆极化波；反之，一个圆极化波可分解为两个相位相差 ，振幅相等，空间上正交的线极化波。22 4.3.3 椭圆极化椭圆极化 最一般的情况是式（5-73）中相位差 为任意值（但 ，以及 时， ）的情况，式（ 5-73 ）是一个椭圆方程，此时矢量 的尾端在椭圆上变化，故称为椭圆极化，对应的波为椭圆极化波。 , 02 00yxEE,E z t 图5-7(c)示出了z0平面上矢量 尾端的变化轨迹。由式（4.57）可知， 与x轴正向间的夹角的正切为 (5-80)0,Et0,Et0000costancoscostansinyxyxEt kzEt kzEt kzE 图 5-7 (c) 椭圆极化 显然， 的尾端在椭圆上非匀速旋转。椭圆极化也有两种旋向，当波沿正z向传播时，若 相位滞后 ，矢量 逆时针旋转，为右旋椭圆极化；反之，当 相位超前于 时，矢量 顺时针旋转，为左旋椭圆极化。0,EtyE20 xE相位,E z