第二节求导法则

1、第二节求导法则第1页，共61页。第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第2页

2、，共61页。第二节 求导法则一.基本初等函数的导数导数的四则运算法则三.反函数的导数四.复合函数的导数隐函数的求导法则六.参数方程求导法则七.取对数求导法第3页，共61页。一.基本初等函数的导数 推 导 一 些 基本公式啊 ！第4页，共61页。1. y = C x R ( C为常数 )Qxyx0limxCCx0lim00lim0 x 0)( C 通常说成：常数的导数为零.第5页，共61页。2. 幂函数 xxxxx0limxxxxx)(lim0Q）（Rxy xyx0limxxxxx11lim0110limxxx )( 1xx等价无穷小替代第6页，共61页。. 11)(011xxx 自变量对其本身

3、的导数为 1 )(1dd1xxx211) 1(xx,12x.3)(23xx)()(21xx211212121xx,21x例例1第7页，共61页。3. 指数函数 xaaxyxxxxx00limlimQxaxaxxlnlim0)0( aayxxaaxxx1lim0aaxln ln)( aaaxx )( xxee第8页，共61页。 )4(x )(xbabxbaaln)(abaxbln4ln4x)(xba) 0 (为常数、ba 例例2第9页，共61页。4. 对数函数xxxxxln)ln(lim0Qxxxxx1lim0)0( lnxxyxyx0limxxxx1lnlim0 1)(ln xx等价无穷小替代

4、第10页，共61页。xyalog, )0,0(xa求y .Qaxxyalnlnlogxxxxaaxlog)(loglim 0 ln1)(log axxaxxxax1lnlimln10axln1等价无穷小替代故解解例例3第11页，共61页。5ln1)(log5xx21ln1)(log21xx2ln1x 1)(lnxx ln1)(logaxxaea例例4第12页，共61页。或重要极限5. 三角函数(1)xxxxxyxxsin)sin(limlim00Qxxxxx 2sin2cos2lim02coslim0 xxxxysin cos)(sin xx xcos和差化积等价无穷小第13页，共61页。(2

5、) 其它三角函数的导数xxxx222tan1seccos1)tan()cot1 (cscsin1)(cot 222xxxxxxsin)cos(这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.（仿照正弦函数的推导方法）第14页，共61页。 导数的四则运算法则若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则)()()()() )()( )2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()( )3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv(1) ( ( )( )( )( ),u xv xu xv x第15页，共61页。nininiixuxuxuxuxu1211)()()()()(nininiixuxxux

6、uxuxux1211)(d)(d)( )()(dd)()()()(211xuxuxuxunnii推广至有限个可导函数的情形:11( )( ),nniiiiu xu x11d( )d( ).ddnniiiiu xu xxx第16页，共61页。在证明这些公式时, 用到下列表达式：)()(xuxxuuuxuxxu)()(第17页，共61页。1. 证明)()() )()(xvxuxvxuxxvxuxxvxxuxvxux)()()()(lim ) )()( 0 xx lim0 xxuxxux)()(lim0)()(xvxuxxvxxvx)()(lim0)()(xuxxu)()(xvxxv第18页，共61

7、页。解0)sin(cos2xxxxxxsincos2。求 , 1cossin2yxxxy)(2xy)(sinx)(cosx ) 1 ( 例例5第19页，共61页。，设nnnnnaxaxaxaxay121110 )()()()()(122110nnnnnaxaxaxaxay10nxna。求 y解由和的求导公式21) 1(nxnaxan221na 通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次数降低一次, 系数相应改变.例例6第20页，共61页。2. 证明证证)()()()() )()(xvxuxvxuxvxuxxvxuxxvxxuxvxux)()()()(lim) )()(0 xxvxuvxvuxux

8、)()()()()(lim0 xvuuxvvxux)()(lim0 xvxux)(lim0)()()()(xvxuxvxu 因为可导必连续, 所以。时，0 0vxxuxvx)(lim0vxux0lim第21页，共61页。设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则 通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面) )()()() )(xvCxvCxvC) )(xvC例例7第22页，共61页。设bxay)( bxay则 直线上任意一点处的切线就是它本身.)()(bxaaxa)( 线性函数的导数为一个常数.例例8第23页，共61页。)(logxya。求 , logyxya解axlnln

9、)(lnln1xaaxln1 ln1)(log axxa例例9第24页，共61页。 已知)3( )2)(1()3)(2( ) 1(xxxxxxy)2)(1()3)(1()3)(2(xxxxxx2)23)(13()33)(13()33)(23(| 3xy故。求 , )3)(2)(1(3xyxxxy解解)3)(2)(1(xxx例例10第25页，共61页。3. 证明故)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv,)()()( xvxux 令)()()()()(xvxxvxxu)()()()()(xvxvxxux )0)( xv, )( 可导则x),()()( xvxxu且)

10、()()()()(2xvxvxuxvxu 用乘法公式证明除法公式第26页，共61页。)(cotxyxxx222sincossin解解xxsincos x2sin1x2csc)cot1 (2x。求 yxy , cotxx sin)(cos)(sincosxxx2sinxx2sin1)(cotx2csc)cot1 (2x例例11第27页，共61页。设函数 v(x) 可导, 且 v(x) 0, 证明令 u(x) =1, )()()(1 2xvxvxv证证由商的导数公式, 得)()(1)() 1 ()(12xvxvxvxv)()(2xvxv例例12第28页，共61页。)(xeyxxee2解解. , y

11、eyx求xe12)()(1) 1 (xxxeee xxee1例例13第29页，共61页。)(secxyxx2cossin. , secyxy求解解xcos1xx2cos)(cosxxsectan sectan)(sec xxx例例14第30页，共61页。点 (x, y) 处的切线相同.yTA(x,y)xxOy若 y = (x) 的反函数 x = f (y) 存在, 则 x = f (y) 与 y = (x) 的图形相同, 故 x = f (y) 与 y = (x) 在 是 y = (x)的图形与x 轴正向的夹角. 是 x = f (y)的图形与x 轴正向的夹角. )( tan yf 2 三.反

12、函数的导数第31页，共61页。)2tan(tan)(yf) 0)( x 反函数的导数是其直接函数导数的倒数.)(1tan1cotx第32页，共61页。)(1)(yxf定理设单调函数 x = (y) 在区间 I 内可导,(x) 0 ,某区间 J 内单调、可导, 且 该定理说明：一个函数单调、连续、可导, 则它的反函数存在, 且单调、连续、可导.则它的反函数 y = f (x) 在相应的 ( 该定理的证明较简单, 由学生自己阅读.) 这里仍指严格单调第33页，共61页。它是 x = sin y的反函数 22)(y且导数不为0,上单调、连续、可导,又yxxyxydd1dd)(arcsin故。求 yx

13、xy , ) 11( arcsin解解sin 在yx= 2 ,2)(yycos1)(sin1 你觉得做完了吗？例例15第34页，共61页。而于是221sin1cosxyy211cos1)(arcsinxyxy)11(x 1)1( 11)(arcsin 2xxx第35页，共61页。求 ),11( ,arccosyxxy它是 x = cos y , , ), 0(的反函数y0sin)(cosddyyyx解解例例16 cos (0, ) , xy又在内单调、连续、可导且第36页，共61页。故)(cos1dd1dd)(arccosyyxxyxy ) 11( 11)(arccos 2xxx2211cos

14、11sin1xyy)11(x第37页，共61页。 ,2,2 , tan )(的反函数它是yy x又0tan1)(tan2yy故)(tan1)(arctanyxy),(x解解。求yxxy ),( ,arctany2tan11211x例例17 tan ,xy且满足定理的条件第38页，共61页。 ),( 11)(arctan 2xxx类似可得 ),( 11)arccot( 2xxx第39页，共61页。四.复合函数的导数且)()()(xxfxfxuuyxydddddd或定理设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应 点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y =

15、f ( (x)在 U(x) 内有定义, 则 y = f ( (x) 在点 x 处可导,第40页，共61页。Q y = f (u) 在相应点 u 处可导, uuufuuufy)()o()( 当 u 0, 0 )以 x 除上式, 得xuxuufxy)(证证给 x 以增量 x, 相应地 u = (x) 有增量 u,对于u, y = f (u) 有增量 y.对上式两边取 x 0 的极限,第41页，共61页。由 u = (x) 在点 x 处可导, 得)()(limlimlim)(lim0000 xufxuxuufxyxxxx即)()()()()(xxfxufxf或xuuyxydddddd第42页，共61

16、页。例如,，)()( :)( xhvvuuyxhfy则在各函数可导且 f (h(x) 在 U(x) 有定义时,)()()()( (xhvufxhfy或xvvuuyxydddddddd)()()( xhxhxhf 该定理可推广到任意有限次复合的情形.有第43页，共61页。)()(sin)(sinaxuaxyuau cos解解. , sinyaxy求Qaxuuy , sinaxacos)(sin axy 一般按 “由外向里层层求导” 法求导 cosax )( ax cosaxa例例18第44页，共61页。)(5 xey解解. ,5yeyx求)5(5xexxe55例例19第45页，共61页。)0(

17、, 1) |ln( xxx证明：证证0 , )ln(0 , ln|lnxxxxxyxxxx1)(ln) |ln ( , 0 时当xxxxxx1)(1) )(ln() |ln ( , 0 时当综上所述,. )0( , 1) |ln( xxx例例20第46页，共61页。. , )ln(22yaxxy求)(ln(22axxy)1 (12222axxaxx)(12222axxaxx221ax 解解 1) )ln( 2222axaxx例例21第47页，共61页。. ,22sinyyx求2sin2xy)(sin2ln22sin2xx)(cos2ln222sin2xxxxxx2cos2ln22sin2解解

18、)0 ( ln)( aaaaxx例例22第48页，共61页。 1arctan)(xy.112x)1(1222xxx) () ( 1 1112xx解解例例231arctan, yyx求第49页，共61页。. ,2cotyxy求)(2)2csc(2cot21)2(cot2cot212xxxxxy21)2csc(2cot212xx2tan2csc412xx解解例例24第50页，共61页。按复合函数求导法则) 1ln (2xy) 1| ( 12xxx12212xx)( ) 1( ln21 2x解解注意利用函数 的性质例例252 ln1 , | 1 , yxxy设求第51页，共61页。xxxxy11ln

19、cos11lncos2xxxxxx11ln11lnsin11lncos2)1ln()1(ln(11ln2sinxxxx解解例例2621 cosln , ( 1, 1) , .1xyxyx 设求第52页，共61页。xxxx111111ln2sinxxx11ln2sin122并不难第53页，共61页。设 y = f (x) 可导, 则 ) )(sinxf)()(cosxfxf ) )(sin(xfxxfcos)(sin ) )(lnxf)()(xfxf )0)(xf ) )(ln(xfxxf1)(ln )()(xfe)()(xfexf ) )(xefxxeef)(例例27第54页，共61页。证明：在(a, a)内可导的奇函数的导数是偶函数； 偶函数的导数是奇函数。设 f (x) 为( a, a) 内的偶函数, 则 f (x) = f (x).)()()() )( xfxxfxfQ)()( xfxf即偶函数的导数是奇函