椭圆的简单几何性质课时教学用学习教案

1、会计学1椭圆椭圆(tuyun)的简单几何性质课时教学用的简单几何性质课时教学用第一页，共58页。22221(0)，xyabab在中令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆？，说明椭圆(tuyun)与与 y轴的交点轴的交点（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 说明椭圆说明椭圆(tuyun)与与 x轴的交点轴的交点（ ）。）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点个交点(jiodin)，叫做椭圆的顶，叫做椭圆的顶点。点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和分别叫做椭

2、圆的长轴和短轴。短轴。a、b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长半轴长长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上!第2页/共58页第二页，共58页。YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y） 把把(X)换成换成(-X),方程方程(fngchng)不变不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(Y)换成换成(-Y),方程方程(fngchng)不变不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(X)换成换成(-X), (Y)换成换成(-Y),方程方程(fngchng)还是不变还是不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )对称；对称；Y X

3、 原点原点 所以所以(suy)，坐标，坐标轴是椭圆的对轴是椭圆的对称轴，原点是称轴，原点是椭圆的对称中椭圆的对称中心。心。第3页/共58页第三页，共58页。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x练习：根据练习：根据(gnj)前面所学有关知识画出下列图形前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 第4页/共58页第四页，共58页。ace 离心率：椭圆离心率：椭圆(tuyun)的焦距与长轴的焦距与长轴长的比：长的比：叫做椭圆叫做

4、椭圆(tuyun)的离的离心率。心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁因为因为 a c 0，所以，所以0e b)(ab)cea知识知识(zh shi)归纳归纳a2=b2+c2 ) 0( ba，第6页/共58页第六页，共58页。标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(guny)(guny)原点

5、成中心对称原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(guny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴长短半轴长为为b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0( ba

6、a2=b2+c2) 0( ba第7页/共58页第七页，共58页。)5,0(),5,0(21FF例题例题(lt)1: (lt)1: 求椭圆求椭圆 9 x2 + 4y2 =36 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心离心 率、焦点和顶点坐标。率、焦点和顶点坐标。椭圆椭圆(tuyun)的的长轴长是长轴长是:离心率离心率(xn l):焦点坐标是焦点坐标是:四个顶点坐标是四个顶点坐标是:)3 , 0(),3, 0(),0 , 2(),0 , 2(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆

7、方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程19422yx四、例题讲解：四、例题讲解：549,2,3cba第8页/共58页第八页，共58页。练习练习:求椭圆求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点焦点和顶点(dngdin)坐标。坐标。解：把已知方程化成解：把已知方程化成(hu chn)标准方程标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆椭圆(tuyun)的长的长轴长是轴长是:离心率离心率:6.053ace焦点坐标是焦点坐标是:

8、)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是:)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=102b=8第9页/共58页第九页，共58页。例例2: 求适合下列求适合下列(xili)条件的椭圆的标准方条件的椭圆的标准方程：程：（1）经过点（）经过点（-3，0）、（）、（0，-2）；）；22194xy22194xy解：解： 方法方法(fngf)一：设椭圆方程为一：设椭圆方程为mx2ny21（m0，n0，mn），将点的坐标代入方程，求出），将点的坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。所以。所以椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为

9、方法方法(fngf)二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且轴上，且点点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 （2）离心率为）离心率为 ，经过点（，经过点（2,0）23第10页/共58页第十页，共58页。练习：练习： 椭圆的一个顶点为椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准倍，求椭圆的标准(biozhn)方程方程02，A分析：题目没

10、有指出焦点分析：题目没有指出焦点(jiodin)的位置，要考虑的位置，要考虑两种位置两种位置 椭圆的标准方程为： ；11422yx椭圆的标准方程为： ；116422yx解：解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 2a1b02，A（2）当 为短轴端点时， , ， 2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是 或 11422yx116422yx第11页/共58页第十一页，共58页。练习练习(linx)：书本：书本48页第页第1、2、3、4、5题题第12页/共58页第十二页，共58页。第13页/共58页第十三页，共58页。第14页/共58页第十四页，共58页。标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标

11、顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(guny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(g

12、uny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0( baa2=b2+c2) 0( ba第15页/共58页第十五页，共58页。例1第16页/共58页第十六页，共58页。例2第17页/共58页第十七页，共58页。分析分析关键是找到关键是找到a，c所满足所满足(mnz)的方程，根据点的方程，根据点M在椭圆上解决在椭圆上解决第18页/共58页第十八页，共58页。第19页/共58页第十九页，共58页。1.椭圆椭圆(tuyun)以坐标轴为对称

13、轴，离心率以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6，则椭圆则椭圆(tuyun)的方程的方程 为（为（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或C练习练习(linx)1：2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率差数列，则其离心率e=_第20页/共58页第二十页，共58页。已知椭圆 的离心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 82 ka92b12 kcx 当椭圆的

14、焦点在 轴上时， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 满足条件的 或 4k45k练习(linx)2：已知椭圆 的离心率 ，求 的值 ）（111522kkykx21ek第21页/共58页第二十一页，共58页。练习(linx)3：第22页/共58页第二十二页，共58页。例例4：点：点M(x,y)与定点与定点F(4,0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线(zhxin)l:x = 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M的轨迹。的轨迹。42554xyoFMlF1l( (椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的第二定义的第二定义) )准线准线(zhn xin

15、)(zhn xin)方程：方程：cxa2第23页/共58页第二十三页，共58页。 解：如图，设解：如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，的距离，根据题意，所求轨迹所求轨迹(guj)的集合是：的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 这是一个椭圆这是一个椭圆(tuyun)的标准方程，所以点的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆的椭圆(tuyun)。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比

16、是常数2:al xc(0).caca求求M点的轨迹。点的轨迹。|M FcPMda平方平方(pngfng)，化简得化简得 ：222,:acb令可化得第24页/共58页第二十四页，共58页。若点若点F F是定直线是定直线l l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离与它到直线的距离与它到直线l l的距离之比等于常数的距离之比等于常数e(0e(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹的轨迹(guj)(guj)是椭是椭圆圆. .M MF FH Hl新知新知(xn (xn zh)zh)探究探究动画动画第二第二(d r)定义定义第25页/共58页第二十五页，共58页。 直线直线(zhxin)

17、 (zhxin) 叫做椭圆叫做椭圆相应于焦点相应于焦点F2(cF2(c，0)0)的准线，相的准线，相应于焦点应于焦点F1(F1(c c，0)0)的准线方程的准线方程是是2axc=2= -axcO Ox xy yF F2 2F F1 12axc=2= -axc新知新知(xn (xn zh)zh)探究探究第26页/共58页第二十六页，共58页。离心率离心率(xn l)：椭圆椭圆(tuyun)的准线的准线 ：2axc 2222:1(0)yxabab思考又如何呢?ceaoxyMLLFF离心率的范围离心率的范围：01e相对应焦点相对应焦点F（c,0），准线是：），准线是：相对应焦点相对应焦点F（- c,

18、0），准线是：），准线是：2axc2axc第27页/共58页第二十七页，共58页。1.基本量: a、b、c、e、几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率； 相互(xingh)关系： 椭圆椭圆(tuyun)中的基本中的基本元素元素2. 2.基本点：顶点、焦点基本点：顶点、焦点(jiodin)(jiodin)、中心、中心3. 3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线），（共两条线），准线准线222bacace 焦点总在长轴上焦点总在长轴上!课堂小结课堂小结ca2ca2-准线准线第28页/共58页第二十八页，共58页。第29页/共58页第二十九页，共58页。第30页/共58页第

19、三十页，共58页。第31页/共58页第三十一页，共58页。第32页/共58页第三十二页，共58页。第33页/共58页第三十三页，共58页。第34页/共58页第三十四页，共58页。种类(zhngli):相离(没有(mi yu)交点)相切(一个交点)相交(二个交点)点和椭圆的位置关系：点和椭圆的位置关系：类比点和圆类比点和圆的位置关系的位置关系第35页/共58页第三十五页，共58页。 直线与椭圆的位置关系(gun x)的判定代数代数(dish)方法方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程组有两解两个交点相交方程组有一解一个交点相切方程组无解无交点相离

20、第36页/共58页第三十六页，共58页。1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(代数法代数法) 联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共有两个公共(gnggng)点；点； (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共有且只有一个公共(gnggng)点；点； (3)k-3366-k33当 =时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点第39页/共58页第三十九页，共58页。例例 2 2: :已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线45400 xy, ,

21、椭圆椭圆上是否存在一点上是否存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? lmm第40页/共58页第四十页，共58页。 oxyml解：设直线 平行于 ，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk则 可写成：12k25k25解得=，=-25.k 由图可知例例 2 2: :已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线45400 xy, ,椭圆椭圆上是否存在一点上是否存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? 第41

22、页/共58页第四十一页，共58页。 oxy45250mxy直线 为：22402515414145mld直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。且思考(sko)：最大的距离是多少？max22402565414145d例例 2 2: :已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线45400 xy, ,椭圆椭圆上是否存在一点上是否存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? 第42页/共58页第四十二页，共58页。设直线设直线(zhxin)与椭圆交于与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线(zhxin)P1P2的的斜率为斜率为k

23、弦长公式弦长公式(gngsh)：221|1|1|ABABABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式(gngsh)可推广到任意二次曲线第43页/共58页第四十三页，共58页。例例3：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆(tuyun) 的右的右焦点，交椭圆焦点，交椭圆(tuyun)于于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx

24、85第44页/共58页第四十四页，共58页。第45页/共58页第四十五页，共58页。第46页/共58页第四十六页，共58页。例例5 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线平分，求此弦所在直线(zhxin)的方程的方程.解：解：韦达定理韦达定理(dngl)斜率斜率韦达定理韦达定理(dngl)法：利用韦达定理法：利用韦达定理(dngl)及中点坐标公式来构造及中点坐标公式来构造知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题第47页/共58页第四十七页，共58页。例例 5已知椭圆已知椭圆(tuyun) 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这引一弦

25、，使弦在这点被点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标点差法：利用端点在曲线上，坐标(zubio)满足方程，作差构满足方程，作差构造造 出中点坐标出中点坐标(zubio)和斜率和斜率点点作差作差第48页/共58页第四十八页，共58页。知识点知识点3：中点：中点(zhn din)弦问题弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足点差法：利用端点在曲线上，坐标满足(mnz)方程，作方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212A

26、Byykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在椭圆上，第49页/共58页第四十九页，共58页。2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关(yugun)弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 第50页/共58页第五十页，共58页。例例5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分平分(pngfn)，求此弦所在直线的方程，求此弦

27、所在直线的方程.所以所以(suy) x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这一这一 条件条件，灵活运用中点坐标公式，灵活运用中点坐标公式(gngsh)及韦达定理，及韦达定理，第51页/共58页第五十一页，共58页。第52页/共58页第五十二页，共58页。例例6、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线(zhxin)x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB

28、的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 第53页/共58页第五十三页，共58页。练习：练习： 已知椭圆已知椭圆(tuyun)5x2+9y2=45，椭圆，椭圆(tuyun)的右焦点为的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆的直线被椭圆(tuyun)截得的弦截得的弦长长.(2)判断点判断点A(1,1)