(整理)多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

1、第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数z = f （x, y）在点（x。, yo）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（X0，y0）的点，如果都适合不等式f （x, y） < f （X0, yo）则称函数f（X，y）在点（X0，y0）有极大值f（X0，y0） o如果都适合不等式f （X, y） > f （Xo, yo）则称

2、函数f（X，y）在点（X0,y。）有极小值f（X0,yo）.极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。-2,2例1函数z=3X +4y在点（0, 0）处有极小值。因为对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为正，而在点（0, 0）处的函数值为零。从22几何上看这是显然的，因为点（0, 0, 0）是开口朝上的椭圆抛物面z = 3X +4y的顶点。22例2函数z=rx +y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函 数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负， 点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z = rx2

3、+y2的顶点。例3 函数z=xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在 点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正 的点，也有使函数值为负的点。定理1 （必要条件）设函数z= f（x，y）在点（X0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y。）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx（x°, y°） = 0, fy（x0,y0） =0证 不妨设z=f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。依极大值的定义，在点（x0,y°）的某邻域内异于（刈，y°）的点都适合不等式f （x, y）:二 f （x0，y0）特殊

4、地，在该邻域内取丫 =",而*¥0的点，也应适合不等式f （x, y°）：二 f（x0，y0）这表明一元函数f （x，y0）在x=X0处取得极大值，因此必有fx（x°, y°） =0类似地可证fy(x0, y0) =0从几何上看，这时如果曲面z= f (x，y)在点(x0,y0,)处有切平面，则切平 面z Zo = fx(Xo,yo)(x Xo) fy(Xo, yo)(y yo)成为平行于xOy坐标面的平面z-zo = °。仿照一元函数，凡是能使fx(x，y)=o，fy(x，y) = o同时成立的点(xo,yo)称为 函数z = f

5、(x，y)的驻点，从定理i可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(o, o)是函数z = xy的驻点，但是 函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2 (充分条件)设函数z= f(x, y)在点(xo,yo)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(xo,yo)=o, fy(xo,yo)=o,令fxx(xo, yo) - A, fxy(xo, yo) =B, fyy(x°,yo) = C则f (x，y)在(xo，yo)处是否取得极值的条件如下：2(1) AC -B A0时具有极值，且当Ac时有极

6、大值，当AA0时有极小值;2(2) AC - B 。时没有极值；_ 2(3) AC -B =。时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2,我们把具有二阶连续偏导数的函数z= f(x,y)的极值的求法叙述如下:第一步解方程组fx(x, y) -0, fy(x, y) - 0求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步 对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值 A, B和C。第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y。)是否是极值、 是极大值还是极小值。33 八 2-2 八例1求函数f(x,y)=x -y +3x +3y -9x的极值。解先

7、解方程组_2fx(x,y)=3x 6x-9=。,2fy(x,y) =-3y 6y =0,求得驻点为(1,。)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。再求出二阶偏导数fxx(x,y) =6x 6, fxy(x, y) = 0, fyy(x, y) =-6y 6在点(1,0)处，AC -B2 =12 6>0又A >0，所以函数在(1，0)处有极小值 f(1,0) = 5；2在点(1,2)处，AC-B =12(-6) <0，所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC - B2 = -12 6M0，所以 f (-3,0)不是极值;2在点(-3,2)处，AC-B =-12。又

8、a<0所以函数在(-3,2)处有极大值 f (-3,2)=31 。例2某厂要用铁板作成一个体积为2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。2m解设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为xy ,此水箱所用材料的面积22A = 2(xy y x ) xyxy ,2 2A =2(xy )即x y (xf y >0)可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(x，y)。Ax =2(y -马)=0令x ,Ay =2(x - -22) =0 y解这方程组，得：x = V2 , y =%2从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立

9、方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数z = f(x，y)在附加条件*(x，y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F(x, y) = f(x, y) (x, y)其中九为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联 立fx(x, y) +/ x(x,y) = 0,fy(x, y) ' y(x,y) =0,(x，y) = 0.(1)由这方程组解出x, y及九，则其中x, y就是函数f(x，y)在附加条件下(x，y)=0的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数u = f (x, y,

10、z,t)在附加条件(x,y,z,t) = 0 甲(x, y,z,t) =0(2)下的极值，可以先构成辅助函数F(x, y,z,t) = f(x,y,z,t) 1 (x,y,z,t) - J (x,y,z,t)其中兀，九2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与 (2)中的两个方程 联立起来求解，这样得出的x、V、z、t就是函数f(x,y,z,t)在附加条件(2)下的 可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。, 一 -2例3求表面积为a而体积为取大的长方体的体积。解 设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是在条件中(x, y, z, t

11、) =2xy+2yz + 2xz a2 =0(:下，求函数V = xyz (x 0, y 0, z 0)的最大值。构成辅助函数2、F (x, y, z); xyz ' (2xy 2 yz 2 xz - a )求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到yz + 2(y + z) = 0 xz 2(x z) = 0 Ixy+2(y + z) = 0(4)再与(10)联立求解。因y、z都不等于零，所以由(11)可得X x zy x yy = y +z,z = x +z .由以上两式解得x = y = z将此代入式(10),使得6ax = y = z= 6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在， 所以最大值就在 这个可能的极值点处取得。也就是说，