自动控制原理第二部分控制系统的数学模型

1、自动控制原理自动控制原理第二部分控制第二部分控制系统的数学模型系统的数学模型 前言前言 元件和系统微分方程的建立元件和系统微分方程的建立 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 拉普拉斯变换法求解微分方程拉普拉斯变换法求解微分方程 传递函数的概念传递函数的概念 结构图、信号流图及梅森增益公式结构图、信号流图及梅森增益公式 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数小结小结前言前言 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。数学模型是描述系统内部物理量的数学模型。数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。描述变量各（或变量）之间

2、关系的数学表达式。描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并对系统解，就可以得到系统输出量的表达式，并对系统进行性能分析。进行性能分析。 建立数学模型方法有建立数学模型方法有分析法分析法和和实验法实验法。分析法。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学规律分别列写相应的运动方程。依据的物理或化学规律分别列写相应的运动方程。实验法是给系统施加某种测试信号，记

3、录其输出响实验法是给系统施加某种测试信号，记录其输出响 应，并用适当的数学模型去逼近。本部分应，并用适当的数学模型去逼近。本部分重点研究分析法。重点研究分析法。自控理论数学模型有多种形式。时域中有自控理论数学模型有多种形式。时域中有微分方程微分方程、差分方程和状态方程；复数域、差分方程和状态方程；复数域中有中有传递函数、结构图传递函数、结构图；频域中有频率特；频域中有频率特性等。性等。2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1 1 线性元件的微分方程线性元件的微分方程解解: 设回路电流为设回路电流为 i(t) , 由基尔霍夫定律可写出回路方程为由基尔霍夫定律可写出回路方程为)()(

4、1)()(tudttiCtRidttdiLidttiCtuo)(1)(ui(t)uo o(t)CRLi(t) 例例2-1 图为由电阻图为由电阻R、电电感感L电容电容C组成的无源网络组成的无源网络,试试列写以列写以 ui(t) 为输入量为输入量,以以uo(t)为输出量的网络微分方程为输出量的网络微分方程.图图2-1 RLC无源网络无源网络消去中间变量消去中间变量i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为便得到描述网络输入输出关系的微分方程为)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo(2-1)(2-1)假定假定R、L、C都是常数，这是一个二阶常系数线性微分方程都是常数，

5、这是一个二阶常系数线性微分方程,也就是上图无源网络的时域数学模型。也就是上图无源网络的时域数学模型。 例例2-2 试列图试列图2.2所示电枢控制直所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢流电动机的微分方程，要求取电枢电压电压 ua(t)为输入量，电动机转速为输入量，电动机转速m(t)为输出量。图中为输出量。图中Ra，La分别是分别是电枢电路的电阻和电感；电枢电路的电阻和电感；Mc是折合是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。磁通设为常值。 电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程式中式中 Ea(V) 是电枢反电势是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的电

6、势它是当电枢旋转时产生的电势,其大其大小与激磁磁通及转速成正比小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压方向与电枢电压 ua(t) 相反相反,即即 是反电势系数是反电势系数.)/(, )(sradVCtCEemeaaaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(2-2)(2-2) 电磁转矩方程电磁转矩方程式中式中 是电动机转矩系数是电动机转矩系数 , 是电枢电流是电枢电流产生的电磁转矩产生的电磁转矩.)/(AmNCm)(MNtMm)()(tiCtMamm(2-3)(2-3) 电动机轴上的转矩平衡方程电动机轴上的转矩平衡方程)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm(2-4)(2-4)式中

7、式中, 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数性摩擦系数; 是电动机和负载折合到电动机轴上是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量的转动惯量.)/(sradmNfm)(2smkgJm 由式由式(2-2)式式(2-4）消去中间变量）消去中间变量 ia(t) , Ea 及及 Mm(t) , 便可便可得到以得到以 m(t) 为输出量为输出量,以以ua(t)为输入量的直流电机微分方程为为输入量的直流电机微分方程为)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma(2-5)(2-

8、5)工程中电枢电路电感工程中电枢电路电感 La 较小较小, 常忽略不计常忽略不计,因而上式可简化为因而上式可简化为)()()()(21tMKtuKtdttdTcammm(2-6)(2-6)式中式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是电动机机电时间常数是电动机机电时间常数(s);K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Rafm+CmCe)是电动机传递系数是电动机传递系数.如果如果 Ra 和和 Jm 都很小而忽略不计时都很小而忽略不计时,式式(2-6)还可进一步简化为还可进一步简化为这时这时, m(t)与与ua(t)成正比成正比,于是于是,电动机可作为测速发电机使用电动机可作

9、为测速发电机使用.)()(tutCame(2-7)(2-7) 例例2-3 图图2-32-3a) )所示为弹簧、所示为弹簧、质量、阻尼系统。当受外力质量、阻尼系统。当受外力F( (t) )作用时，要求写出系统作用时，要求写出系统的微分方程。的微分方程。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)图图2-3 2-3 机械位移系统机械位移系统b)F(t)x(t)mKfa)质量质量 m 上受力情况如图示。上受力情况如图示。根据牛顿第二运动定律有：根据牛顿第二运动定律有：2221)()()()(dttxdmtFtFtF（2-82-8）式中式中:)(1tF阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向阻尼器阻力。其大

10、小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为与运动方向相反，阻尼系数为f，即：，即：dttdxftF)()(1)(2tF弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：)()(2tKxtFK弹簧刚度弹簧刚度联立以上三式并整理得：联立以上三式并整理得：)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm（2-92-9）假定假定m、k、f均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程。均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程。 从以上分析可以发现从以上分析可以发现, ,物理结构不同的元件或系统物理结构不同的元件或系统, ,可可以具有相同形式的数学模型以具有相同形式的

11、数学模型, ,例如，前述的例如，前述的RLC无源网络和无源网络和弹簧弹簧-质量质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称之为我们称之为相似系统相似系统. .相似系统揭示了不同物理现象间的本相似系统揭示了不同物理现象间的本质相似关系，利用它可以质相似关系，利用它可以(1) (1) 用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统; ;(2) (2) 为控制系统的计算机数字仿真提供了基础为控制系统的计算机数字仿真提供了基础. . (3) (3) 二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统二阶系统是一个十分典型的、有代表

12、性的系统. .综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相应的微分方程；应的微分方程；消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分方分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右程写为标准形式，即与输入量有

13、关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。量的导数项均按降幂排列。2 2 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 建立系统微分方程时，先由系统原理线路图或方块图，建立系统微分方程时，先由系统原理线路图或方块图，分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。 解解 系统被控对象是电动机系统被控对象是电动机（带负载），系统的输出量是（带负载），系统的

14、输出量是转速转速，参据量是参据量是ui。系统由系统由给定电位器、运算放大器给定电位器、运算放大器I I、运算放大器运算放大器、功率放大器、功率放大器、测速发电机、减速器等组成。测速发电机、减速器等组成。分别列写各元部件微分方程：分别列写各元部件微分方程：例例2-42-4 试列写图试列写图2-42-4所示速度控制系统的微分方程。所示速度控制系统的微分方程。图2-4R2运算放大器运算放大器I I 给定电压给定电压ui与速度反馈电压与速度反馈电压ut合成，产生偏差电压并放大合成，产生偏差电压并放大运算放大器运算放大器 u2与与u1之间的微分方程为之间的微分方程为功率放大器功率放大器 采用晶闸管整流装

15、置采用晶闸管整流装置,k3为比例系数为比例系数直流电动机直流电动机 直接引用例直接引用例2-22-2所求得的直流电动机微分方程式所求得的直流电动机微分方程式(2-6)(2-6)齿轮系齿轮系 设速比为设速比为i，电机转速电机转速m经齿轮系减速后变为经齿轮系减速后变为有有测速发电机测速发电机 其输出电压其输出电压ut与转速与转速成正比成正比Kt为比例系数为比例系数（2-10）3 3 线性系统的基本特性线性系统的基本特性 叠加原理叠加原理 两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时

16、，其独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此对线性系统进行分析和设计时，输出亦相应增大同样的倍数。因此对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可将它们分别处理，依次求出如果有几个外作用同时加于系统，则可将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。

17、线性可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、定常微分方程的求解方法有经典法、拉氏变换法拉氏变换法和数值计算方法。和数值计算方法。 用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时, ,可以得到控可以得到控制系统在复数域的数学模型制系统在复数域的数学模型传递函数传递函数. .传递函数不仅可以传递函数不仅可以表征系统的动态性能表征系统的动态性能, ,而且可以用来研究系统的结构或参数而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响变化对系统性能的影响. .拉普拉斯变换方法求解的拉普拉斯变换方法求解的优点优点： 拉普拉斯变

18、换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求解过程；解过程； 可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量； 可以求得微分方程的全解。可以求得微分方程的全解。1 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)变换（参见附录变换（参见附录A） 定义：定义：设函数设函数f( (t) )当当t 00时时, ,f( (t) )有定义，且积分有定义，且积分 在在s s的某一域内收敛的某一域内收敛, ,则称则称F(s)为为f( (t) ) 的的拉氏变换拉氏变换，记，记作作F(s)=Lf(t) , F(s)又称为又称为象函数象函数， f(

19、(t) )称为称为原函数原函数。0)()(dtetfsFst (2-11)( (s s是一个复参量是一个复参量) ) 若若F(s)是是f( (t) ) 的拉氏变换，称的拉氏变换，称f( (t) )为为F(s)的的拉氏逆变拉氏逆变换换，记作，记作f(t) =L-1F(s). F(s)和和f( (t) )为为 一个拉氏变换对。一个拉氏变换对。 拉氏变换表拉氏变换表表表2 21 1 拉氏变换表拉氏变换表( (参见教材表参见教材表A-3) )f(t)F(s) (t)11(t)1 / st1 1 / s2 2tn-1/(n-1)!1 /sne-at1 1/(s+a)sin t /(s2+ 2)cos t

20、s/(s2+ 2) 1ba(e-ate-bt)1 1/(s+a)(s+b) 位移定理：位移定理：)()(sFetfLs)()(asFtfeLat 基本定理基本定理设设F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F2(s)=Lf2(t),为常数为常数 线性定理：线性定理：)()()()(2121sFsFtftfL)()()()(21211sfsftFtFL 相似定理：相似定理：)()(sFtfL为实常数为实常数 微分定理：微分定理：)0()()(fssFdttdfL)0()0()0()0()()()1()2(21 nnnnnnnfsffsfssFsdttfdL当当f(t)及其各阶导数的

21、初始值都为零时：及其各阶导数的初始值都为零时：)()(sFsdttfdLnn 积分定理：积分定理： sfssFdttfL)0()()(1式中：式中： 为在为在 处的值处的值dttff)()0(10tL LL L 终值定理：终值定理：)(lim)(lim)(0sFstffst 拉氏反变换拉氏反变换定义：定义：)0,()(21)(tjsdsesFjtfjjst拉氏反演积分拉氏反演积分求拉氏逆变换的方法求拉氏逆变换的方法 在实际使用时，采用部分分式展开法，即将复杂函在实际使用时，采用部分分式展开法，即将复杂函数展开成简单函数的和数展开成简单函数的和当：当： 时时)()()()(21sFsFsFsFn

22、 初值定理：初值定理：)()()()()()()(21121111tftftfsFLsFLsFLsFLnn 其中：其中： 可查表。可查表。 )()(1sFLtfiini,2 ,1 一般地，象函数一般地，象函数F(s)F(s)是复变数是复变数s s的有理代数分式的有理代数分式例例2-5解解(1) A(s)=0无重根时，可有无重根时，可有或或(2-12)根据拉氏变换的线性性质有根据拉氏变换的线性性质有(2-13)则有则有根据式根据式(2-12)(2-12)根据式根据式(2-13),(2-13),得原函数得原函数(2) (2) A(s)=0有重根时有重根时重根项的待定系数重根项的待定系数(2-14)

23、(2-14)故有原函数故有原函数(2-15)(2-15)例例2-62-6根据式根据式(2-14)(2-14)根据式根据式(2-12)(2-12)根据式根据式(2-15)(2-15)2 2 拉氏变换发求解微分方程算例拉氏变换发求解微分方程算例 例例2-7 在例在例2-1中，若已知中，若已知L1H，CIF，Rl，且电容上初始且电容上初始电压电压uo(0)=0.1V，初始电流初始电流i(0)=0.1A，电源电压电源电压ui(t)= 1V。试求电路试求电路突然接通电源时，电容电压突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。的变化规律。ui(t)uo o(t)CRLi(t)解解 在例在例2-12-1中

24、得网络微分方程为中得网络微分方程为对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有 在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应零初始条件响应；后一项则；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应零输入响应，它们统称为网络的，它们统称为网络的单位阶跃响应单位阶跃响应。 用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下

25、：程可归结如下：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量拉氏变换，将微分方程转换为变量s s的代数方程；的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。时域表达式，即为所求微分方程的解。非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化实际上所有现实中的系统都不实际上所有现实中的系统都不是线性的，为了便于分析和求解，是线性的，为了便于分析和求解，通常要对系统进行通

26、常要对系统进行“理想化理想化”和和“线性化线性化”处理；处理；手段手段: :a. .忽略非线性忽略非线性; ;b. .小偏差小偏差线性化法线性化法, ,取某平衡状态点取某平衡状态点A,泰勒泰勒级数展开级数展开,小范围内以直代曲小范围内以直代曲. . 一般地一般地, ,自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，而其被控量的偏差一般不会很大，只是态，而其被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差小偏差”。在建立控。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究

27、小偏差的运动情况，因而这种小偏差线性化方法对于控制仅仅研究小偏差的运动情况，因而这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。系统大多数工作状态是可行的。2-2 2-2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型- -传递函数传递函数 拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模型制系统在复数域中的数学模型传递函数。传递传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，且可用来研究函数不仅可表征系统的动态性能，且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制论中广泛应用的控制论

28、中广泛应用的频率法和根轨迹法频率法和根轨迹法，就是以，就是以传递函数为基础的，传递函数为基础的，传递函数是经典控制理论中传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念最基本和最重要的概念。1 1 传递函数的传递函数的定义和性质定义和性质 定义定义 线性定常系统的传递函数线性定常系统的传递函数, ,定义为初始条件为零时定义为初始条件为零时, ,输出输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比, ,记为记为G( (S),),即即: :)()()(sRsCsG（2-16）设线性定常系统的设线性定常系统的n阶线性常微分方程为阶线性常微分方程为)()()()()()()()(1

29、111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn设设 r(t) 和和 c(t) 及其各阶导数在及其各阶导数在 t=0 时的值均为零时的值均为零,即零初始条件即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换对上式中各项分别求拉氏变换,令令C(s)=Lc(t), R(s)=Lr(t)可可得得 s 的代数方程为的代数方程为)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn式中式中mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(于是于是,由定义得系统的传递函数为由定义得系

30、统的传递函数为)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm (2-17)ui(t)uo o(t)CRLi(t)例例2-8 试求例试求例2-1 RLC无源网络的传递函数无源网络的传递函数解解: 该网络微分方程已求出该网络微分方程已求出,如式如式(2-1)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo 在零初始条件下在零初始条件下,对上式进行拉氏变换对上式进行拉氏变换,令令Uo(s)=Luo(t), Ui(s)=Lui(t)得得)()() 1(2sUsURCsLCsio(2-18)由传递函数定义得网络传递函数为由传递函数定义得

31、网络传递函数为11)()()(2RCsLCssUsUsGio(2-19) 性质性质 传递函数是复变量传递函数是复变量 s 的有理真分式函数的有理真分式函数,具有复变函数具有复变函数的所有性质的所有性质. 有有mn且所有系数均为实数且所有系数均为实数. 传递函数是一种传递函数是一种用系统参数表示用系统参数表示输出量与输入量之间关系输出量与输入量之间关系的表达式的表达式,它只它只取决于系统或元件的结构和参数取决于系统或元件的结构和参数,而与输而与输入量的形式无关入量的形式无关,也不反映系统内部的任也不反映系统内部的任何信息何信息.因此因此,可以用图可以用图2-5的方块图表示的方块图表示一个具有传递

32、函数一个具有传递函数G(s)的线性系统的线性系统.图图2-2-5 5 传递函数的图示传递函数的图示G(s)R(s)C(s) 传递函数与微分方程有传递函数与微分方程有相通性相通性.在零初始条件下，若将在零初始条件下，若将微分方程的算符微分方程的算符d/dt 用复数用复数 s 置换便得到传递函数置换便得到传递函数;反之亦可反之亦可. 传递函数传递函数 G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应 g(t) . 脉冲响应脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲是系统在单位脉冲 输入时的输出响应输入时的输出响应,此时此时, )(t)()(tLsR.)()()()()(,1111sGLsGsRLsCL

33、tg故有故有 传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始控制系统的零初始条件有两方面的含义条件有两方面的含义:一是指输入量是在一是指输入量是在t0时才作用于系统时才作用于系统,因此在因此在t=0- -时输入量及其各阶导数均为零时输入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于二是指输入量加于系统之前系统之前,系统处于稳定的工作状态系统处于稳定的工作状态,即即输出量及其各阶导数输出量及其各阶导数在在t=0- -时的值也为零时的值也为零.现实的工程控制系统多属此类情况现实的工程控制系统多属此类情况. 物理意义物理意义例例2-9 试求例试求例2-2电枢控制直流电机的传递

34、函数电枢控制直流电机的传递函数解解: 在例在例2-2中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程为中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程为)()()()(21tMKtuKtdttdTcammm(2-(2-20)20)根据线性系统叠加原理根据线性系统叠加原理,可分别求出可分别求出ua(t)到到 m(t)和和Mc(t)到到 m(t)的传递函数的传递函数.先求先求 ,为此令为此令Mc(t)=0 , 则有则有)(/ )(sUsam)()()(1tuKtdttdTammm在零初始条件下在零初始条件下,对上式各项求拉氏变换对上式各项求拉氏变换,则得则得)()() 1(1sUKssTamm(2-(2-21)2

35、1)由传递函数定义由传递函数定义,于是有于是有1)()()(1sTKsUssGmam(2-(2-22)22)同理同理,令令 ua(t)=0 ,可求得可求得1)()()(2sTKsMssGmcmm(2-(2-23)23)式中式中, -称为传递函数的称为传递函数的零点零点;),2,1(mizi-称为传递函数的称为传递函数的极点极点.),2,1(njpj2 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,可写可写为如下形式为如下形式njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()

36、()()()()(2-24) 传递函数的零点和极点可以是实数传递函数的零点和极点可以是实数,也可是复数也可是复数,系数系数K*=b0/ /a0称为传递系数或称为传递系数或根轨迹增益根轨迹增益.这种用零点和极点表示这种用零点和极点表示传递函数的方法传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多在根轨迹法中使用较多. 在复数平面上表示传递函数的零点和极点时在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函称为传递函数的零极点分布图数的零极点分布图.在图中一般用在图中一般用 表示零点表示零点,用用 表示极点表示极点. 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,也

37、可也可以写为如下因子连乘积的形式以写为如下因子连乘积的形式) 1() 12)(1() 1() 12)(1()(2222122221sTsTsTsTassssbsGjnim(2-25)式中式中,一次因子对应于实数零极点一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于复数零极点二次因子对应于复数零极点. 称为时间常数称为时间常数, 称为传称为传递系数或增益递系数或增益.传递函数的这种表示形式在频率法在使用较多传递函数的这种表示形式在频率法在使用较多.jiT,njjmiinmpzKabK11*)()(显然，显然，传递函数的极点就是微分方程的特征根传递函数的极点就是微分方程的特征根。典型元部件的传递函数典型元

38、部件的传递函数 为建立系统的数学模型，必须首先了解各种元部件的数学为建立系统的数学模型，必须首先了解各种元部件的数学模型及其特性。模型及其特性。 电位器电位器 电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置.在在控制系统中控制系统中,单个电位器用作为单个电位器用作为信号变换装置信号变换装置,如图如图2-6(a)所示所示; 一对电位器可组成误差检测器一对电位器可组成误差检测器,如图如图2-6(b)所示所示.图图2-6 电位器及其特性电位器及其特性 空载时空载时,单个电位器的电刷角位移单个电位器的电刷角位移(t)与输出电压与输出电压u(t)的关的关系曲

39、线如图系曲线如图2-6(c)所示所示.图中的阶梯形状是由绕线线径产生的图中的阶梯形状是由绕线线径产生的误差误差,理论分析时可用理论分析时可用直线近似直线近似.由图可得输出电压为由图可得输出电压为)()(1tKtu式中式中, 是电刷单位角位移对应的输出电压是电刷单位角位移对应的输出电压,称电位称电位器传递系数器传递系数(V/rad),其中其中 E 是电位器电源电压是电位器电源电压(V), 是电位是电位器最大工作角器最大工作角(rad).max1EK max对上式求拉氏变换对上式求拉氏变换,可得电位器的传递函数为可得电位器的传递函数为1)()()(KssUsG上式表明上式表明,电位器的传递函数是一

40、个常值电位器的传递函数是一个常值,故称故称比例元件比例元件,可用图可用图2-6(d)所示的方块图来表示所示的方块图来表示.用一对用一对相同相同的电位器组成误差检测器时的电位器组成误差检测器时,其输出电压为其输出电压为)()()()()()(121121tKttKtututu式中式中 K1 是单个电位器的传递系数是单个电位器的传递系数, 是两个电位器电刷角是两个电位器电刷角位移之差位移之差,称称误差角误差角.因此以误差角为输入时因此以误差角为输入时,误差检测器的传递误差检测器的传递函数与单个电位器的传递函数相同函数与单个电位器的传递函数相同,即为即为)(t在使用电位器时要注意在使用电位器时要注意

41、负载效应负载效应，即指在电位器输出端接有负，即指在电位器输出端接有负载时所产生的影响。载时所产生的影响。1)()()(KssUsG 图示电位器输出端接有负载电阻图示电位器输出端接有负载电阻Rl时的电路图，设电位时的电路图，设电位器电阻是器电阻是Rp，可求得电位器输出电压为，可求得电位器输出电压为 测速发电机测速发电机 测速发电机是用于测速发电机是用于测量角速度测量角速度并将它并将它转换成电压量转换成电压量的装置的装置.在控制系统中常用的有直流和交流测速发电机在控制系统中常用的有直流和交流测速发电机,如图如图2-7所示所示.图图2-7(a)是永磁式直流测速发电机的原理线路图是永磁式直流测速发电机

42、的原理线路图,其输出电压与转子角其输出电压与转子角速度的关系为速度的关系为图图2-7 测速发电机示意图测速发电机示意图dttdKtKtutt)()()(式中式中 Kt 是测速发电机输出斜率是测速发电机输出斜率,表示单位角速度的输出电压表示单位角速度的输出电压. 在零在零初始条件下初始条件下,对上式拉氏变换可得直流测速发电机的传递函数为对上式拉氏变换可得直流测速发电机的传递函数为sKssUsGt)()()(或或tKssUsG)()()(分别用方块图表示如下分别用方块图表示如下: sKt U(s)(s Kt U(s)(s图图2-8 测速发电机的方块图测速发电机的方块图 图图2-7(b)是交流测速发

43、电机的示意图是交流测速发电机的示意图.在结构上它有两个互在结构上它有两个互相垂直放置的线圈相垂直放置的线圈,其中一个是激磁绕组其中一个是激磁绕组,接入一定频率的正弦接入一定频率的正弦额定电压额定电压;另一个是输出绕组另一个是输出绕组.当转子旋转时当转子旋转时,输出绕组产生与转输出绕组产生与转子角速度成比例的交流电压子角速度成比例的交流电压 u(t) , 其频率与激磁电压频率相同其频率与激磁电压频率相同, 其传递函数及方块图亦同直流测速发电机其传递函数及方块图亦同直流测速发电机. 电枢控制直流伺服电动机电枢控制直流伺服电动机 直流伺服电动机在控制系统中广泛用作直流伺服电动机在控制系统中广泛用作执

44、行机构执行机构,用来对用来对被控对象的机械运动实现快速控制被控对象的机械运动实现快速控制.根据例根据例2-9的式的式(2-22)和式和式(2-23)可用下列方块图表示三种情况下的直流伺服电动机可用下列方块图表示三种情况下的直流伺服电动机.两相伺服电动机两相伺服电动机 两相伺服电动机具有重量轻、惯性小、加速特性好的优两相伺服电动机具有重量轻、惯性小、加速特性好的优点点,是控制系统中广泛应用的一种小功率是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行机构交流执行机构. 两相伺服电动机由互相垂直配置的两相定子线圈和一个两相伺服电动机由互相垂直配置的两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成高电阻值的转子组成.定子

45、线圈的一相是激磁绕组定子线圈的一相是激磁绕组,另一相是控另一相是控制绕组制绕组,通常接在功率放大器的输出端通常接在功率放大器的输出端,提供数值和极性可变的提供数值和极性可变的交流控制电压交流控制电压. 两相伺服电动机的转矩两相伺服电动机的转矩-速度特性曲线有速度特性曲线有负的斜率负的斜率,且呈非且呈非线性线性.图图2-9(b)是在不同控制电压是在不同控制电压ua 时时,实验测取的一组机械特实验测取的一组机械特性曲线性曲线.图中的虚线是线性化曲线图中的虚线是线性化曲线,其线性化方程可表示为其线性化方程可表示为图图2-9 两相伺服电动机及其特性两相伺服电动机及其特性式中式中 Mm 是电动机输出转矩

46、是电动机输出转矩, m 是电动机角速度是电动机角速度, C=dMm/d m是阻尼系数是阻尼系数,即机械特性线性化的直线斜率即机械特性线性化的直线斜率, Ms是堵转转矩是堵转转矩,由图由图2-9(b)可得可得Ms=CMua.smmMCM 由前面两式消去中间变量由前面两式消去中间变量Ms和和Mm ,并在零初始条件下求并在零初始条件下求拉氏变换拉氏变换,可求得两相伺服电动机的传递函数为可求得两相伺服电动机的传递函数为) 1()()()()(sTsKCfsJsCsUssGmmmmMam或或1)()()(sTKsUssGmmam式中式中 Km=CM/(fm+C) 是电动机的传递系数是电动机的传递系数 ,

47、 Tm=Jm/(fm+C) 是是电动机时间常数。可见，两相伺服电机和直流电机的传递函数电动机时间常数。可见，两相伺服电机和直流电机的传递函数在形式上在形式上完全相同完全相同。无源网络无源网络 为了改善控制系统的性能为了改善控制系统的性能,常在系统中引入无源网络作为常在系统中引入无源网络作为校正元件校正元件.无源网络通常是由电阻、电容和电感组成无源网络通常是由电阻、电容和电感组成. 求无源网络的传递函数求无源网络的传递函数,可用前述的方法可用前述的方法,即列写网络微分即列写网络微分方程，进行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函方程，进行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可

48、采用数。此外还可采用复数阻抗法复数阻抗法.用复数阻抗法表示电阻时仍为用复数阻抗法表示电阻时仍为 R , 电容的复数阻抗为电容的复数阻抗为1/Cs , 电感的复数阻抗为电感的复数阻抗为 Ls . 图图2-1的的RLC无源网络用复数无源网络用复数阻抗表示后的电路如图阻抗表示后的电路如图2-10所示所示.图中图中Z1=R+Ls, Z2=1/Cs . 由图可直由图可直接写出电路的传递函数为接写出电路的传递函数为Z1Z2uiuo图图2-10 复阻抗表示的复阻抗表示的RLC电路电路 应该注意应该注意,求取无源网络传递函数时求取无源网络传递函数时,一般假设网络输出端一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗有无穷

49、大的负载阻抗,输入内阻为零输入内阻为零,否则应考虑否则应考虑负载效应负载效应. 图图2-11中中,两个两个RC网络不相连接时网络不相连接时,可视为空载可视为空载, 传递函数分别为传递函数分别为图图2-11 负载效应示意图负载效应示意图I2I1I若将若将 G1(s) 与与 G2(s) 两方块串联连接两方块串联连接,如图如图2-11右端右端, 其传递函数为其传递函数为 但是但是,若将两个若将两个RC网络直接连接网络直接连接,则由电路微分方程可求得则由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数为连接后电路的传递函数为单容水槽、电加热炉和双容水槽的传递函数单容水槽、电加热炉和双容水槽的传递函数2-3 控制

50、系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图 控制系统的结构图和信号流图是描述系统控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元部件之各元部件之间信号传递关系间信号传递关系的的数学图形数学图形,它们表示了系统中各变量之间它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算的因果关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法复杂系统的一种简便方法. 与结构图相比与结构图相比,信号流图符号简单信号流图符号简单,更便于绘制和应用更便于绘制和应用.但是但是,信号流图只适用于信号流图只适用于线性系统线性系统,而结构图也可用于而结构图也可用于非线非线性系统性系统

51、.1 1 系统结构图的组成和绘制系统结构图的组成和绘制 控制系统的结构图是由许多对信号进行控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算单向运算的的方框方框和一些和一些信号流向线信号流向线组成组成,它包含它包含四种四种基本单元基本单元: 信号线信号线 . 带有箭头的直线带有箭头的直线,箭头表示信号的流向箭头表示信号的流向,在直线旁在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如图标记信号的时间函数或象函数，如图2-12(a); 引出点引出点(测量点测量点) . 表示信号引出或测量的位置表示信号引出或测量的位置,从同一位从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全性同，如图置引出的信号在数值和性质方面完全性同，如

52、图2-12(b); 比较点比较点(综合点综合点) . 对两个以上的信号进行加减运算对两个以上的信号进行加减运算, “+ +”号号表示相加，表示相加，“- -”号表示相减，号表示相减，“+”号可省略，如图号可省略，如图2-12(c); 方框方框(环节环节) . 对信号进行的对信号进行的数学变换数学变换, 框内为元部件或系统框内为元部件或系统的传递函数的传递函数,如图如图2-12(d).方框可视作方框可视作单向运算的算子单向运算的算子，方框的，方框的输出量等于其输入量与框内传递函数乘积输出量等于其输入量与框内传递函数乘积, C(s)=G(s)U(s)。图图2-12 结构图的基本组成单元结构图的基本

53、组成单元 绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统的结构图。结构图上可以用方框进行数学运算，得到系统的结构图。结构图上可以用方框进行数学运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用。而且，从系统结构图可以方便地求得系统的传递函作用。而且，从系统结构图可以方便地求得系统的传递

54、函数。所以数。所以系统结构图也是控制系统的一种数学模型系统结构图也是控制系统的一种数学模型。 结构图中的方框与实际系统的元部件并非是一一对应结构图中的方框与实际系统的元部件并非是一一对应的。一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示；的。一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示；而一个方框也可以代表几个元部件或是一个子系统，或而一个方框也可以代表几个元部件或是一个子系统，或是一个大的复杂系统。是一个大的复杂系统。例例2-10 绘制如图绘制如图2-13所示所示 RC 无源网络的结构图无源网络的结构图图图2-13 RC无源网络无源网络 解解 将无源网络视为一个系统，将无源网络视为一个系统，组成网

55、络的元件就对应于系统的组成网络的元件就对应于系统的元部件。设电路中各变量如图中元部件。设电路中各变量如图中所示，应用复阻抗概念，根据基所示，应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：尔霍夫定律写出以下方程： 按照这些方程可分别绘制按照这些方程可分别绘制相应元件的方框图如图相应元件的方框图如图2-14(a) - (d)所示。然后用信号线按信所示。然后用信号线按信号流向依次将各方框连接起号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构来，便得到无源网络的结构图，见图图，见图2-14(e).图图2-14 RC无源网络结构图无源网络结构图结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化 由系统结构图通

56、过等效变换由系统结构图通过等效变换( (简化简化) )可方便地求取闭环系可方便地求取闭环系统的传递函数或系统输出量响应。实际上，该过程对应于由统的传递函数或系统输出量响应。实际上，该过程对应于由元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程。元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程。 复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈串联、并联和反馈连接三种。连接三种。结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较点，进行方框运算

57、将串联、并联和反馈连接的方框合并。点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则遵循变换前后变量关系保持等效的原则，具体而言，就是变换前后前向通路中传递函数的乘积应保具体而言，就是变换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。（l）串联方框的简化（等效）串联方框的简化（等效） 传递函数分别为传递函数分别为G1(s)和和G2(s)的两个方框，若的两个方框，若G1(s)的输出的输出量作为量作为G2(s)的输入量，则的输入量，则G1(s)与与G2(s)称为串联连接。

58、称为串联连接。图图2-15 方框串联连接及其简化方框串联连接及其简化（2）并联方框的简化（等效）并联方框的简化（等效） 传递函数分别为传递函数分别为G1(s)和和G2(s)的两个方框，如果它们有相同的的两个方框，如果它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和，则输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和，则G1(s)与与G2(s)称为并联连接。称为并联连接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)(a)R(s)()(21sGsGC(s)(b)图图2-16 方框并联连接及其简化方框并联连接及其简化（3）反馈连接方框的简化（等效）反馈连接方框的简化（等效）G(s)H(s

59、)R(s)C(s)(a)E(s)B(s)图图2-17 方框的反馈连接及其简化方框的反馈连接及其简化)()(1)(sHsGsGR(s)C(s)(b) (s) 比较点和引出点的移动比较点和引出点的移动 为便于方框的简化运算，有时需移动比较点或引出点位为便于方框的简化运算，有时需移动比较点或引出点位置。这时应注意置。这时应注意移动前后必须保持信号的等效性移动前后必须保持信号的等效性，且比较点，且比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。此外，和引出点之间一般不宜交换其位置。此外，“- -”号可在信号号可在信号线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点。线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点。表表2-

60、2 结构图简化（等效变换）的基本规则结构图简化（等效变换）的基本规则例例2-11 试简化图试简化图2-18的结构图的结构图,并求系统传递函数并求系统传递函数C(s)/R(s).图图2-18 例例 2-11 系统结构图系统结构图42GH1G2G3G4G3H1H)(sR-_)(sC1G2G3G4G3H2H1H)(sR-_)(sC1G2G42GH1H)(sR_)(sC343431HGGGG1G3H)(sR_)(sC2323434321HGGHGGGGG)(sR)(sC1432123234343211HGGGGHGGHGGGGGG图图2-19 例例 2-11 系统结构图的简化系统结构图的简化)()()