第二轮复习方法专题七：递推法解题doc

1、方法专题八：递推法解题一方法简介递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法，即当问题中涉及相互联系的物体或过程较多，相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时，应根据题目特点应用归纳的数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。二典例分析例 1小球从高 h0180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小 1 (n2) ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（ g 取 10m/s2）n

2、例 2如图所示，质量 M 10kg、上表面光滑的足够长的木板的在F50N的水平拉力作用下，以初速度 v0=5m/s 沿水平地面向右匀速运动现有足够多的小铁块，它们的质量均为 m=1kg ，将一铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了 L 1m 时，又无初速地在木板的最右端放上第 2 块铁块，只要木板运动了 L 就在木板的最右端无初速放一铁块试问（取g 10m/s2）(1）第 1 块铁块放上后，木板运动了L 时，木板的速度多大？(2）最终木板上放有多少块铁块？(3 ）最后一块铁块与木板右端距离多远？例 3如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上有两个质量均为m、相距为L 的小球A和 B 均处于静止

3、，小球A 带 +q 的电量，小球B 不带电。若沿水平向右的方向加一大小为E 的匀强电场， A 球将受力而运动，并与 B 球发生完全弹性碰撞（碰撞时间极短） ，碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求：（ 1）A 与 B 第一次碰后瞬时 B 球的速率？（ 2）从 A 开始运动到两球第二次相碰经历多长时间？（ 3）两球从第 n 次碰撞到第 n+1 次碰撞时间内 A 球所通过的路程？例 4如图所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，在 x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E. 一质量为 m，电量为 q 的粒子从坐标原点O沿着 y 轴方向射出 . 射出之后，第

4、三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L. 求此粒子射出时的速度 v 和每次到达x 轴时运动的总路程s.（重力不计）例 5 10 个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图6 9 所示，每个木块的质量m0.40kg , 长度l 0.45m ，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为2 0.10.原来木块处于静止状态 . 左方第一个木块的左端上方放一个质量为 M=1.0kg 的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为1 0.20.现突然给铅块一向右的初速度v0 4.3m / s ，使其在大木块上滑行 .试确定铅块最后的位置在何处 （落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度 g取 1

5、0(m / s) 2，设铅块的长度与木块相比可以忽略.例 6如图所示，A 为位于一定高度处的质量为m、带电荷量为+q 的小球， B 为位于水平地面上的质量为M 的用特殊材料制成的长方形空心盒子，且 M=2 m，盒子与地面间的动摩擦因数=0.2，盒内存在着竖直向上的匀强电场，场强大小E=2mg，盒外没有电场盒子的q上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触当小球A 以1m/s 的速度从孔1 进入盒子的瞬间，盒子B 恰以 v1=6 m/s的速度向右滑行已知盒子通过电场对小球施加的作用力与小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等方向相反设盒子足够长

6、，取重力加速度g=10m/s2，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子试求：(1）小球 A 从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；(2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；(3)从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程三强化训练（） 1一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时 1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1 秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时 1 秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟 . 在此 1 分钟内A 物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东B物体时而向东运动，时而向西运动

7、，在1分钟末静止于初始位置C物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动D物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东2如图所示，一固定的斜面，倾角45，斜面长 L=2.00 米 . 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板 . 一质量为m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零 . 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞（无动能损失） . 已知质点与斜面间的动摩擦因数0.20 ，试求此质点从开始到发生第11 次碰撞的过程中运动的总路程.3有 n 块质量均为 m，厚度为 d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图所示，人至少做多少功？4如图所示， R1=R

8、3 =R5= =R99=5，R2=R4=R6=R 98=10 ，R100=5 ，=10V 。求：（ 1） RAB=？（ 2）电阻 R2 消耗的电功率应等于多少？（ 3） Ri (i1,2,3,99) 消耗的电功率；（ 4）电路上的总功率.5如图所示，有两本完全相同的书A 、 B，书重均为5N，若将两本书等分成若干份后，交叉地叠放在一起，置于光滑的桌面上，并将书A 通过一轻质弹簧秤与墙壁相连，用水平向右的力F 把书 B 抽出。现测得一组数据如下表：实验次数1234n将书分成的份数24816逐页交叉弹簧秤的示数（ N）4.510.522.546.5190.5根据以上数据，试求：（ 1）若将书分成

9、32 份，弹簧秤的示数为多大？（ 2）该书由多少张与首页大小相同的纸组成？（3）如果两本书任意两张纸之间的动摩擦因数都相等，则 为多大？6.有一带 负电的小球，其带电量q= - 210 3 C。如图所示，开始时静止在场强E=200N/C的匀强电场中的 P 点，靠近电场极板 B 有一挡板要 S，小球与挡板S 的距离 h=5cm，与 A 板距离 H =45cm，重力作用不计。在电场力作用下小球向左运动，与挡板S 相碰后电量减少到碰前的 k 倍，已知 k= 5 ，而碰后小球的速度大小不变。6（ 1）设匀强电场中挡板 S 所在位置的电势为零，则电场中P 点的电势为多少？小球在P 点时的电势能为多少？（

10、电势能用E 来表示）+-（ 2）小球从 P 点出发第一次回到最右端的过程中电场力对小SBA球做了多少功？（3）小球经过多少次碰撞后，才能抵达 A 板？（取Plg 1.20.08)hH例题解析：例 1解析 小球从 h0 高处落地时，速率 v02gh060m/ s第一次跳起时和又落地时的速率v1v0 / 2第二次跳起时和又落地时的速率v2v0 / 22第 m 次跳起时和又落地时的速率vmv0 / 2m每次跳起的高度依次h1v12h0, h2v222gn22g通过的总路程sh02h12h22hmh02h0(111n2n2n4h02h0n21n 21h021n经过的总时间为tt0t1t 2t mv02

11、v12vmgggv0 12 12 ( 1 ) mgnnv0n1g()n1h0，n 41n2 m2 )5 h03 0 m033v0g18s例 2（ 1）木板最初做匀速运动，由 g 解得，第 l块铁块放上后，木板做匀减速运动，加速度大小为a1, 即有：代人数据解得：（ 2）设最终有n 块铁块能静止在木板上则木板运动的加速度大小为：第 1块铁块放上后：2a1 Lv02v12第 2块铁抉放上后：2a2 Lv12v22第 n 块铁块放上后：2an Lvn21vn2由上可得： (123n)2 mg L v02vn2M木板停下时，vn0 ，得n即最终有 7 块铁块放在木板上=6.6（ 3）从放上第1 块铁块

12、至刚放上第7 块铁块的过程中，由（2）中表达式可得：从放上第7 块铁块至木板停止运动的过程中，设木板发生的位移为d ，则：联立解得： d4 m7例 3（ 1）对 A 由动能定理： qEL1 mvA21（ 1）2解得 vA12qEL / m ； A 与 B 相碰后速度交换。故第一次相碰后， A 速度为零； B 速度为 vB2qEL / m （2）（ 2）从 A 开始运动到碰第一次历时t 1=v A12mLqE / mqE设第二次碰前A 速为 v A2 ，从第一次碰后到第二次碰前历时t 2对 A、由动能定理：qEvA1t21mvA2 2（ 3）2vA2qE t2（ 4）（ 2 分）由（ 3）、（

13、4）两式得： t 22 2mLmqE故两球第二次碰时经历的时间为：t t1t2 3 2mL / qE（ 5）（ 3）由（ 3）（ 4）两式解得： v A222qEL / m此时 B 的速度为 vB2qEL / m第二次碰后速度再交换。由速度图像也可得到第三次碰前A 速度vA 33 2qEL / m（6）vv此时 B 的速度为 vB2 2qEL / m （ 7）依此类推第 n 次碰前A 速度为：ABvAn2qEL（ 8）nmot故第 n 次与第 n+1 次碰撞经历时间为：tnvn 1 vn122mL（ 9）qE / mqE第 n 次碰后 B 以速度 vA n 匀速运动，故该时间内 A 通过的路程

14、为：SnvA n tn4nL（ 10）例 4 解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过 x 轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加速通过 x 轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性 . 它第 3 次到达 x 轴时距 O 点的距离 L 等于圆半径的 4 倍（如图 6 13 甲所示）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为mvLR4Bq所以粒子射出时的速度B q Lv4m粒子做圆周运动的半周长为s1L4粒子以速度 v 进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y，因为 v22ay 2 Eq ym所以粒子在电场中进入一次通过的路程为s22 yB 2qL 216mE粒子第

15、1 次到达 x 轴时通过的路程为s1RL4粒子第2 次到达 x 轴时，已通过的路程为s2s1s2LB2 qL 2416mE粒子第3 次到达 x 轴时，已通过的路程为s3s1s2s1LB 2 qL2216mE粒子第4 次到达 x 轴时，已通过的路程为s42s12s2LB 2 qL228mE粒子第 ( 2n1) 次到达 x 轴时，已通过的路程为s( 2n 1)ns1 (n 1)s2n L(n 1) B 2 qL2416mE粒子第2n 次到达 x 轴时，已通过的路程为s2nn(s1s2 )n(LB 2 qL2)416mE上面 n 都取正整数 .例 5解析当铅块向右运动时， 铅块与10 个相同的扁长木

16、块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于10 个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则10 个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于10 个扁长木块与地面间的最大摩擦力，则10个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止 .铅块 M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力f11Mg2.0N设 M 可以带动木块的数目为n，则 n 满足：f12()(n1)2 mg0M m g即 2.01.4 0.4(n 1) 0上式中的 n 只能取整数，所以 n 只能取 2，也就是当 M 滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8 个

17、木块时速度为v，则1 Mv 21 Mv 021Mg8l22得： v22.49(m / s) 20由此可见木块还可以滑到第9个木块上 .M 在第 9个木块上运动如图 69 甲所示，则对M 而言有：1MgMa M得： aM2.0m / s2第 9 及第 10 个木块的动力学方程为：1 Mg2 ( Mm) g2 mg2mam ，得：am0.25/s2.m设 M 刚离开第9 个木块上时速度为v ，而第10 个木块运动的速度为V，并设木块运动的距离为 s，则 M运动的距离为 s l，有：vV2v22aM ( sl )22am svv aM tVam tv0.611m / sv0.26m / s消去 s

18、及 t 求出：或V，显然后一解不合理应舍去 .V0.212m / s0.23m / s因 vV ，故 M 将运动到第 10 个木块上 .再设 M 运动到第 10 个木块的边缘时速度为v ，这时木块的速度为V ，则：v 2v 22aM (sl )解得： v 21.634s 0 ，故 M 不能滑离第 10 个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上 .例 6（ 1）A 在盒子内运动时， qE mgma2mgEq由以上两式得a gA 在盒子内运动的时间t12vA 在盒子外运动的时间t 22v0.2s0.2sgaA 从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间Tt1t20.4s（2）小球在盒子内

19、运动时，盒子的加速度a1( MgqE)4m/s2M小球在盒子外运动时，盒子的加速度a2Mg2m/s2M小球运动一个周期盒子减少的速度为va1t1 a2t 240.220.21.2m/s从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为nv165v1.2故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1 个，即 11 个（3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为s1 v1t1 1a1t121.12m2小球第一次从盒子出来时，盒子的速度v2v1a1t15.2m/s小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为s2v2t21 a2t221m2小球第二次进入盒子时，盒子的速度v3v2

20、 a2t 2 4.8m/s小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为12s3v3t12a1t10.88m小球第二次从盒子出来时，盒子的速度v4v3a1t14m/s小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为12s4v4t22a2t20.76m分析上述各组数据可知， 盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差 d 0.12m且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后0.2s 内盒子通过的路程为 0.04m所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为n(s1 s10 )10(1.120.04)s25.8m2强化训练参考答案：1.D2 解析因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系：cos ()() sinmgs1s2mg s1s2mg cos (s2s3 )mg( s2s3 ) sins2s3sincos2即有s1s2sincos3由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比