第二类曲线积分地计算

1、WORD格式第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要： 本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词 ： 第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。1.2 第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算

2、法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。2.1 第二类曲线积分的物理学背景力场 F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线 L 从点 A 到点B 所作的功一质点受变力Fx,y 的作用沿平面曲线L 运动, 当质点从 L 之一端点 A 移动到另一端 B 时 ,求力 Fx,y 所做功 W.大家知道 , 如果质点受常力F 的作用从 A 沿直线运动到 B, 那末这个常力F 所做功为W=FAB现.在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲. 怎么办呢 ?为此 , 我们对有向曲线L 作分割 TA0,A1,.,An1,A n ,即在 AB内插入 n1个分点M1

3、 ,M2,.,Mn1,与 A= M0 ,BMn 一起把曲线分成 n 个有向小曲线段i1记M M(i1 , 2,n),i小曲线段 i1iM M的弧长为 S . 则分割iT 的细度为 TmaxS.A 0,A1 ,.,An1,A ni1in设力 Fx,y 在 x 轴和 y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)专业资料整理WORD格式与 Q(x,y),那么 Fx,y=P(x,y),Q(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j由于Mi(x 1,y 1),M( x ,y), 则有向小曲线段M Mi(i1 ,2,n) 在 x 轴和 y 轴方向1iiiiii1上的投影分别为xi xx 与 yyy. 记L iM=(x

4、,)从而力 Fx,y 在ii1iii1M 1iiy=Pi , i x i +Qi , i yii小曲线段i1 iii)LM M 上所作的功WF(,iMiM1其中 ( i,) 为小曲线段 M M 上任一点 , 于是力 Fx,y沿L所作的功可近似等于i1ijnnnW=WP(S i ,)xQ(s,)y当 T0时 , 右端积分和式的极限就是所iiiiiiii1i1i1求的功 . 这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.2.2 第二型曲线积分的定义设 P(x,y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线L 上的函数 , 对 L AB任一AB分割T, 它把 LAB分成 n 个小弧段 M

5、 M(i1,2,n)；其中A=M, BM. 记各个小i1 i0n弧段i1i, 分 割 T 的 细 度 为 TmaxS,又 设T的分点的坐标为M M弧长 为 sii1inMi(x i ,y i ) , 并记 xi x i xi1 ,y i yi y i1 ,(i1,2,n).在每个小弧段Mi1 M上任取一点i , i , 若极限innlimT存在且与分割 T 与点i , 的取法无关, 则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段iP(,)xl imQ( ,i ) y0 i1iiiT0iii1L 上的第二类曲线积分, 记为ABP(x,y)dxQ(x,y)dy或 P(x,y)dxQ(x,y)

6、dyLAB也可记作P(x,y)dxQ(x,y)dy或 P(x,y)dxQ(x,y)dyLLABAB注： (1) 若记 Fx,y=P(x,y),Q(x,y),dsdx,dy则 上 述记号可写成向量形Fds. 式 :L专业资料整理WORD格式(2) 倘若 L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线 ,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在 L 上的函数 , 则可按上述办法定义沿空间有向曲线 L 的第二类曲线积分 , 并记为P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzL按照这一定义 , 有力场 F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线 L 从点 A 到点 B

7、 所作的功为 WPdxQdy.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 对二型曲线积分AB有, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例. 可类似地考ABBA虑空间力场 F(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线 L AB所作的功. 为空间曲线 L AB上的第二型曲线积分P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.AB2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x ， y) 上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点M(X,Y)(i0,1,2n)将曲线 L 从起点 A 到 B 分为 n 个有向小弧的长度 (

8、i , i )l iiii，nnP(,)X(XX)maxllimP()XI作和式iiiii1iii。记1iiin，若极限 1i存在，且对曲线L 的分点及点的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y) 按从 A 到B 的方向沿曲线L 对坐标 x 的曲线积分，记作的曲线积分记作( i , i )nP(x,y)dxlimP()XLP(x,y)dxiiii1，其中 P（ x ， y ）称为被积函数，L 称为被积路径，对L坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。类似的，设函数 Q（ x ， y）在 xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线 L（ AB）上有定义且有界。若对于 L 的任意分法和 (,)ii

9、的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值nlimQ()Yiii为函数 Q（ x ， y ）按从 A 到 B 的方向沿曲线L 对坐标 Y 的曲线积分，i1专业资料整理WORD格式Q(x,y)dy记作L专业资料整理WORD格式2.2 第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是n2l f(x,y)dslim(,)siii0i1第二类曲线积分就是nl P(x,y)dxQ(x,y)dylimP(,)xQ(,)yiiiiii（ 1）0i1这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的si ，si 是一小段弧的弧长， si 总是正值；而第二类曲线积分

10、和积分和中是乘的一段弧的x,y 坐标的增量xxx 1 ,yyy 1， x i 与y 是可正可负的。当积分的路径反向时，si 不变，iiiiiii而 xi ，y i 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线 l 的参数方程为xx(t),tyy(t),则第一类曲线积分的计算公式为2222''dsdxdyx(t)dty(t)dt'2'2x(t)dt(t)dtdt这里要注意，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有dt0 ，也就有d

11、tdt ，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l 上的点由A 变到 B，即 t 的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A， t 的上限对应终点B。在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为专业资料整理WORD格式xa(tsint),0t2ya(tcost),有些较简单的曲线可取x 或 y yaxb，为参数，即可由直角坐标方程。例如，直线取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角yaxb ，取 x 为参数，参数方程即为xx,xyaxb,又如，抛物线yx ，取 y 为参数，参数方程为xy 2,0y2,yy,例 1 设 l 为以

12、 O(0,0),A(1,0),B(0,0)为顶点的三角形边界，计算22（ 1） l (xy)ds2222，沿逆时针方()()（ 2）向。l xydxxydy解：（1）这是第一类曲线积分。22l ( x y)ds222222( x y)ds(x y)ds(xy)dsOAABOB线段 OA的参数方程为xx,0x1y0,11222OA( x y)dsxdx30线段 AB的参数方程为xx,0x1专业资料整理WORD格式y1x,专业资料整理WORD格式1222222AB( x y)ds( x (1x)2dx3 .0线段 OB的参数方程为x0,0y1yy,22211OBxydsydy3i02212212(

13、12)所以 L(xy)ds3333（ 2）这是第二类曲线积分。22l ( x y)dx( x 2)dy2222( x y)dx(x 2)dy(xy)dx(x2)dyOABO111222xdxx(1x)dx(x 2)d(1x)2dy0001112(13x2x)dx2360在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性问题。2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分设 D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域，函数P(x,y)， Q(x,y)在其上有一阶连续偏导数，则有格林公式QPl P(x,y)dxQ(x,y)dy()dxdyxyD其中 l 取正向。专业资料整

14、理WORD格式格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中，在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个专业资料整理WORD格式计算曲线积分的例子。例 2. 用格林公式计算例 1 中（ 2）的第二类曲线积分。解：显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式，22()(2)l xydxxdy11y(12y)dxdydy(12y)dxD00110(12y)(12y)dy6这比例 1 中的解法简单一些。例 3.计算第二类曲线积分22l (yx)dx( x

15、y)dy,2其中 l 为从 A（ -2,0 ）到 B（ 2,0 ）沿椭圆xy 214的上半部分的曲线。解： l 不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x 轴的线段 BA而成为封闭曲线。2222(yx)dx(xy)dy(yx)dx(xy)dylBA(11d)xdy224D22l ( y x)dx(x y)dy224(yx)dx(xy)dyAB224(yx)dx(xy)dyBA22164xdx432此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。专业资料整理WORD格式2.4 利用对称性计算第二类曲线积分定理 1 设 L 为 xoy

16、平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为 yy(x),(axb)。记分别为 L 位于 x 轴的上半部分与下半部分， L ,L2分1L1,L 2别在上的投影方向相反，函数P(x,y)在 L 上连续，那么1）当 P(x,y)关于 y 为偶函数时，则P(x,y)dx0L2）当 P(x,y)关于为奇函数时，则P(x,y)dx2P(x,y)dxLL1证明：依定理条件不妨设L1:yy(x)从点 a 变到点 bL2:yy(x)从点 b 变到点 a于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有P(x,y)dxP(x,y)dxP(x,y)dxLLL12bbPx,y(x)dxPx,y(x)dxa

17、abaPx,y(x)Px,y(x)dxba Px,y(x)Px,y(x)dx故 1）当 P(x,y) 关于为偶函数时，有bbP(x,y)dxPx,y(x)Px,y(x)dx0dx0Laa2）当 P(x,y)位于为奇函数时，有专业资料整理WORD格式bP(x,yd)xPx y,x() Pxyx,d(x)Lab2Px,y( )dx2Px(y,dx)aLQ(x,y)dy注 1 对于有定理 1 的结论L注 2 定理 1 可用两句口诀来简言之，即“反对偶零”“与反对奇倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反对奇倍

18、”涵义类似解释。P(x,y)dxL分还有另一个对称性的结论是关于曲线积定理 2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为yyxaxa ，记 L1,L 2 分别 L 为位于 y 轴的右半部分，L1 ,L 2 分别在 x 轴上的投(),()影方向相同，函数P(x,y)在 L 上连续，那么1）当 P(x,y)关于 x 为奇函数时，则P(x,y)dx0L2）当 P(x,y)关于 x 为偶函数时，则P(x,y)dx2P(x,y)dxLL1证明：依定理条件不妨设L1:yy(x)从点 0 变到 aL2:yy(x)从点 a 变到 0(a0).于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有P(x,y)dxP(

19、x,y)dxP(x,y)dxLLL12a00 Px,y(x)dxPx,y(x)dx a对右端第 2 个积分，令xt ，有专业资料整理WORD格式0P(x,y)(x)dxaaaP(t,y(t)dtPx,y(x)dx00因此有P(x,y)dxaaLPx,y(x)dxPx,y(x)dx00a0 Px,y(x)Px,y(x)dx故 1）当 P(x,y) 在 L 上关于 x 为奇函数时，有L P(x,y)dxaPx,y(x)Px,y(x)dxa00dx002）当 P(x,y)在 L 上关于 x 为偶函数时，有aLP(x,y)dxPx,y(x)Px,y(x)dx0a2Px,y(x)dx2Px,y(x)dx

20、0L1Q(x,y)dy注 1 对于有类似2 的结论。L注 2 定理 1 与定理 2 虽然都是对坐标x 的曲线积分，但定理1 中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x 轴而言的，而定理2 积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y 轴和 x 轴而言的。另外，被积函数P(x,y)的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的，故定理2 的结论恰好与定理1 相反，定理2 用口诀简言之是：“同对奇零倍”。其中“同”指L1 ,L 2 分别在 x 轴的投影方向相同，“对”指L 关于 y 轴对称“奇”指被积函数P(x,y)关于 x 为奇函数，“零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”的涵义类似解释。Ixydx2到 B(1,1)

21、上的一段弧。. 其中 L 为抛物线yx 从点 A(1,1)例4计算 L解：以题设条件知，该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论，故有14I2xydx2xxdxL05，其中， L1:yx ， x 从点 0 变到 1.专业资料整理WORD格式2222按逆时针方例5计算I( x y)dx(xysiny)dy其 L 为22 (0)xyaa向L从点 A(a,0)到点 B(a,0)的上半圆周。解可将原式改写为3 个曲线积分的代数和，即2222，I( x y)dx2xydx(x ysiny)dyLLL依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2 中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1

22、 的注 1 中“反对偶乘零“的结论，故有22I( x y)dxL22022232(xy)dx2(xax)dx2aL1a22其中，Lyax ，x 从点 a 变到 0.1:2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分斯托克斯（ Stokes ）公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系。在介绍下述定理之前，先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定：设有人站在 S 上指定的一侧，若沿L 行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L 正向；若沿 L 行走，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L 的负向，这个规定方法也称为右手法则，如下图所示。定理 3 设光

23、滑曲面S 的边界 L 是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R 在 S（连同 L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则RRPRQP()dydz()dzdx()dxdySyzzyxyPdxQdyRdzL（ 2）其中 S 的侧面与L 的方向按右手法则确定。专业资料整理WORD格式公式（ 2）称之此公式为斯托克斯公式。PP（ 3）证明：先证SdzdxdxdyPdx,zyL其中曲面 S 由方程 zz(x,y)确定，它的正侧法线方向数为 ,1，方向余弦为zzZcosZcosxycos,cos,cos,，所以xcosycos若 S 在 xy 平面上投影区为D， L 在 xy 平面上的投影曲线记为，现由第二类曲线

24、积xy分定义及格林公式有L P(x,y,z)dxP(x,y,z(x)dxP(x,y,z(x,y)dxdyPPzP(x,y,z(x,y),因为yyzyDxyPPzP(x,y,z(x,y)dxdy()dxdy所以yyzyDDxyxyzcos,由于y 从而cosPPzPPcos原式=()dxdy()dxdyyzyyzcosSSPPdxdy(coscos)SyzcosPPcoscos)dSSyzPPdzdxdxdySzy综合上述结果，便得所要证明的（3）式。专业资料整理WORD格式同样对于曲面S 表示 xx(y,x)和 yy(z,x)时，可得QQ（ ）4SxzdxdydydzQdyL和QR（ 5）SdydzdydzRdsxzL将（ 3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。如果曲线 S 不能以 zz(x,y)的形式给出，则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzSLPQR( y