1.2空间曲面及其方程ppt课件

1、Mar. 8 Wed. Mar. 8 Wed. 6 6 曲面及其方程曲面及其方程n曲面方程的概念曲面方程的概念n几种常见曲面：柱面，旋转曲面几种常见曲面：柱面，旋转曲面n二次曲面二次曲面一一 曲面方程的概念曲面方程的概念水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：曲面的实例：曲面方程的定义：曲面方程的定义：(1) (1) 曲面曲面S S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；(2) (2) 不在曲面不在曲面S S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；曲面上的点曲面上的点

2、(x,y,z)(x,y,z)的坐标可以表示为两个的坐标可以表示为两个变量变量u,vu,v的函数，即的函数，即 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx也是曲面的方程，称为曲面的参数方程，其也是曲面的方程，称为曲面的参数方程，其中中u,vu,v为参数。为参数。解解RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 面方程为为参数，则球和若取 cossinsincossinRzRyRx0 xz M(R,)R Nyxz.解解222222czbyax 22222coss

3、insincossin 1 一般方程；一般方程；的的求曲面求曲面例例 200.cos,sinsin,cossin:2 czbyax cos,cossin,cossin czbyax1222222 czbyax即即例例 3 3 求求与与原原点点O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程. . 解解,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为zxyo1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z)1(1)2()1(22 ccyx图

4、形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2已知坐标间的关系式，研究曲面形状已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程xyz二二 几种常见曲面几种常见曲面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 . .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx 解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示

5、圆表示圆C, 222Ryx 222Ryx 沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间故在空间222Ryx 过此点作过此点作柱面柱面. .对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示圆柱面表示圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程, ,l1 1 柱面柱面平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做柱面的轨迹叫做柱面.CC 叫做准线叫做准线, l 叫做母线叫做母线.xzy

6、0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N N满足方程，故点满足方程，故点MM满足方程满足方程一般柱面一般柱面 F(x,y)=0F(x,y)=0母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0一般柱面一般柱面 F(y, z)=0F(y, z)=0柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面12222 byaxabzxyo 椭圆柱面zxy = 0y12222 bzaxo 双曲柱

7、面双曲柱面pxy22 zxyo 抛物柱面抛物柱面从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 axby双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y定义定义 以一条平面曲线绕其平面上的以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴2 2 旋转面旋转面曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴 旋转面的方程旋转面的方程曲线曲线 C 00),(xzyfxCy z

8、o绕绕 z轴轴. 旋转面的方程旋转面的方程曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转曲面旋转一周得旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)x S0),( 22 zyxfS： 旋转面的方程旋转面的方程xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程

9、 . 0,22 zxyf。轴旋转的旋转曲面方程轴旋转的旋转曲面方程及绕及绕轴旋转的曲面方程轴旋转的曲面方程绕绕面上的曲线面上的曲线写出写出例例zyczbyxoy12222 轴轴的的曲曲面面方方程程为为：绕绕 y122222 czxby轴的曲面方程为：轴的曲面方程为：绕绕 z122222 czbyx3 3 锥面锥面以直线通过一定点，以直线通过一定点，一条固定曲线移动所一条固定曲线移动所产生的曲面成为锥面。产生的曲面成为锥面。准线准线顶点顶点x0z y动直线动直线母线母线定点定点顶点顶点固定线固定线准线准线准线为圆周的锥面称为圆锥面。准线为圆周的锥面称为圆锥面。顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。顶点

10、在原点的圆锥面称为正圆锥面。xozy解解 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 的的圆圆锥锥面面方方程程。为为轴轴，半半顶顶角角，旋旋转转轴轴为为试试建建立立顶顶点点在在坐坐标标原原点点 z正圆锥面：正圆锥面：222zyx 椭圆锥面：椭圆锥面：222222czbyax 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, , 旋转轴为旋转轴为z z 轴轴, , 半顶角为半顶角为 的圆锥面方程的圆锥面方程. . 解解: : 在在yozyoz面上直线面上直线L L 的方程的方程为为 cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程

11、为 cot22yxz )(2222yxaz cot a令令xyz两边平方两边平方L), 0(zyM正圆锥面：正圆锥面：222zyx 椭圆锥面：椭圆锥面：222222czbyax 三三 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍 .其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx 2220 JIzHyGx(二次项系数不全为二次项系数不全为 0

12、 )用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即截痕的形状，然后加以综考察其交线即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌合，从而了解曲面的全貌研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 1. 1. 球面球面的球面方程为：的球面方程为：，半径为，半径为球心为球心为RzyxM),(00002202020)()()(Rzzyyxx 过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面成为切平面，该点称为切点。成为切平面，该点称为切点。程程。个个坐坐标标面面相相切切的的球球面面方方且且与与求求过过点

13、点例例3)5 , 2 , 1(解：解： 显然整个球面在同一卦限，显然整个球面在同一卦限，又由于又由于(1,2,5)(1,2,5)在第一卦限，故该球面在在第一卦限，故该球面在第一卦限。第一卦限。wvuwvuwvu 由条件知由条件知为为个坐标面的距离个坐标面的距离，则球面到，则球面到设球心为设球心为.,3),(球球面面方方程程为为故故，半半径径也也为为所所以以球球心心设设为为,ttztytx 2222)()()(ttztytx 2222)5()2()1()5 , 2 , 1(tttt 过过球球面面，. 5, 321 tt222222225)5()5()5(3)3()3()3( zyxzyx从从而而

14、球球面面方方程程为为ozyx2 2 椭球面椭球面1222222 czbyax椭球面与三椭球面与三个坐标面的个坐标面的交线：交线：,012222 yczax 0, 12222xczby,012222 zbyax1). 1). 对称性：关于对称性：关于3 3个坐标面、原点、轴对称；个坐标面、原点、轴对称；2). 2). 有界性：有界性：czcbybaxaczbyax , 1, 1, 1222222即即3).3).曲面截痕：曲面截痕：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. .椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz .11的的交交线线也也是是椭椭圆

15、圆和和同同理理与与平平面面yyxx 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1几种特殊情况：几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面.12222轴轴旋旋转转而而成成绕绕由由椭椭圆圆zczax 旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为 3 3 抛物面抛物面z

16、qypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1 1用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的顶点原点也叫椭圆抛物面的顶点. .与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆. .1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上. .1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交. .1zz )0(1 z（2 2用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得

17、抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线. .1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3 3用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线. .同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论. .0, 0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx

18、22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的中心都在的中心都在 轴上轴上. .1zzzqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面马鞍面）双曲抛物面马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo过原点，对称于过原点，对称于yoz yoz 面和面和 xoz xoz 面面. .zoxy（1与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1zz （2与平面与平面 的交线为开口向下的抛物线的交线为开口向下的抛物线.1yy （3与平面与平面 的交线为开口向上的抛物线的交线为开口向上的

19、抛物线.1xx 0 z实轴为实轴为y轴轴0 z实轴为实轴为x轴轴0 z为两条相交直线为两条相交直线zqypx 22224 4 双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上上的的截截痕痕为为平平面面1zz 椭圆椭圆.时时, 截痕为截痕为22122221byczax ( (实轴平行于实轴平行于x x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z z 轴）轴）1yy zxy),(1222222为正数为正数cbaczbyax 1yy 平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线: 虚轴平行于虚轴平行于x x 轴）轴）by 1)2时时, 截痕为截痕为0 czax)(bby 或或by 1)3时时, 截痕为截

20、痕为22122221byczax ( (实轴平行于实轴平行于z z 轴轴; ;1yy zxyzxy相交直线相交直线: 双曲线双曲线: 0(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为为正正数数cbaczbyax 上上的的截截痕痕为为平平面面1yy 双曲线双曲线上上的的截截痕痕为为平平面面1xx 上上的的截截痕痕为为平平面面)(11czzz 椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线双曲线zxyo 222222czbyax单叶双曲面单叶双曲面11双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是两对相交直线的截痕是两对相交直线

21、. .ax 双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyoz绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆.内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),( zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线 00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22 zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),( yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的

22、柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程),(同同号号qp 椭球面椭球面1222222 czbyax 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面2222byax 22cz 1 双叶双曲面双叶双曲面2222byax 22cz 1 椭圆锥面椭圆锥面: 22222zbyax 小结小结3. 3. 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法椭球面、抛物面、双曲面、截痕法. .（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）Hw ：

23、p318 1,6,7,8,11。1. 1. 曲面方程的概念曲面方程的概念2. 2. 几种常见曲面：柱面，旋转曲面几种常见曲面：柱面，旋转曲面三三 曲线方程曲线方程空间曲线可以看成两个曲面的交线。设两个曲面空间曲线可以看成两个曲面的交线。设两个曲面方程为：方程为： 0),(0),(zyxGzyxF称为曲线的一般方程。若曲线上的点称为曲线的一般方程。若曲线上的点(x,y,z)的的3个个坐标都可以表示成变量坐标都可以表示成变量t的函数，即：的函数，即： )()()(tzztyytxx其中其中t t为参数，称为曲线的参数方程。为参数，称为曲线的参数方程。例例1 1 方程组方程组 表示怎样的线？表示怎样的线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆. .例例 曲线曲线C C为一园，圆心在为一园，圆心在(0,0,1)(0,0,1)，半径是，半径是1 1，C C与与z z轴垂直，求它的一般方程。轴垂直，求它的一般方程。园的一般方程有许多种形式，只给出其中的两个园的一般方程有许多种形式，只给出其中的两个解：解： 12222zzyx一个球面与一个平面的交线一个球面