北方民族大学数学与应用数学复变函数试题及答案

北方民族大学大学考试题

成绩

课程复变函数（A）

系别考试日期2（X）7年7月5日

专业班号_____________________

姓名学号期中|期末||

填空（每题3分，共30分）

1.=

2.=0是函数的

（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）

3.,则=

..4.

5.函数在处的转动角为

6.癌级数的收敛半径为=

7

8.设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则

9.函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为

10.

八(Z2+1)(Z2+4)

­.判断题（每题3分，共30分）

1.在解析.【J

2.在点可微，则在解析。【】

3.是周期函数。【】

4.每一个系函数在它的收敛圆周上处处收敛.【1

5.设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1

6.能在圆环域展开成洛朗级数。【】

7.为大于1的正整数，成立。[]

8.如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】

9.如果是内的调和函数，则是内的解析函数。1】10.o[]

三.（8分）为调和函数，求的值，并求出解析困数。

四.（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。

五.（8分）计算枳分。

六.（8分）设，其中C为圆周的正向，求。

七.（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换（A）的参考答案与评分标准（2007.7.5）

一.填空（各3分）

I..2.三级极.：3..：4..；5..；6..：7..：8.0；

9..；10.。

二.判断1.错:2.错;3.正确4.；5.正.：6.错.7..；8..；9.正.；10..。

三（8分）解：1）在1V|n|V2

f（z）=z（3-占=z（一短步若今）=冬后+少一分

2）在1Vz-2|v8

111I]/I

/（z）--（l+——）-—（14------------j—+/六k”分

z-2z-2+1z-2（z-2）（l+——）z-2„=0（2-2）

z-2

四.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有

一个一级极点-2+i,故

e=2力Re<-2+/]——3分

J-sx~+4x+5z~+4z+5

=2用lim(z-(-2+/))-..------=—(cos2-/sin2)------6分

z+2+iz-+4z+5e

故2cosx公=2Re——dx=—cos2......8分

j-sx-+叔+5Jrx-+4工+5e

五.(8分)解：，⑶=13/+7彳+1"3分

c(J-Z)

由于1+i在|z|=3所围的圆域内,故

ra=2双3r+iyu+f-=2》《+13。----8分

c—\*••//

六.(8分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射，可以得到

T(映射不唯一，写出任何一个都算对)

七.(8分)解:对方程两端做拉氏变换：

srY(s)-sy(0)-/(0)+(sY(s)-)，(0))-3Hs)=々

5+1

代入初始条件，得Y(s)=一.....4分

+2s—3

-----------------1-----------

（s+lXs+3）（s-l）（s+3Xs-l）

4SI

故，+]/+；e-3,-----8分（用留数做也可以）

复变函数（A）的参考答案与评分标准（2007.7.5）

一.填空（各3分）1..：2.三级极.：3..4..：5..；6..：7..：8..：9...10.0o

二判断I.错：2.错：3.正.：4..：5.正.：6..：7..；8..：9.正.：10..0

三.（8分）解:因为v="'siny是调和函数厕有

£+==0,即sin>-e"'siny=（/?-l）e,Msiny=0故〃=±1-----2分

dxdy

1）当〃=1时，v=^rsiny,由C-R方程，

号=*=excosy,则〃（x,y）=excosy+g（y）,又由

exdy

，故，所以»

则f（z）=e:+c.....-3分

2）当〃二-1时，v=^Jsin）1,由C-R方程，

—=-^=-e~xcosy,则“（x,y）=-excosy+g（y）,又由

oxdy

，故，所以.

则/。）=一"'+。

四（8分）解：1）在1v|N|v2

XE产

/（Z）=Z（-1--1）=z（-iIS»（豆-）”工1之（~I）n）=一£（会1r+力1-7分

z—2Z-I2n=（）2Zn=nZn=o2Z

2)在1<|z-21<8

/⑶士+』)士+1

(z-2)(l+-

5-4分

19I

「+工（7）“昌产

2—2,|=0（Z-Z）

五.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有

一个一级极点-2+i,故

dx=2mRcs[-^-----2+/]-----3分

x2+4x+5------------Z2+4Z+5

，二n

=2mlim(z-(-2+/))—-------=—(cos2-/sin2).....6分

z~+4z+5e

故2cosx公=2Rc「、-----dx=—cos2.....8分

j-8V+4x4-5jx~+4,v+5e

六.(8分)解：/'(z)=f望二空也心分

c(J-Z)

由于1+i在