第3章 静态电磁场及其边值问题的解090216

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学2本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场静电场、恒定电场和和恒定磁场恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构

2、成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学33.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学42. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlE

3、SDCSq积分形式：积分形式：n12n12()0()0eeDDEE02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学5介质介质2介质介质121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0nnEDeeS0tnEDS或或 场矢量的折射关系场矢

4、量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学60E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示。静电场可以用一个标量函数的梯度来表示。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数在线形、各向同性的均匀介质中，有在线形、各向同性的均匀介质中，有2 . 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0D202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程标量电位或标量电位或简称电位简称电位E E 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学73. 电位差电位差E上式两边从点上式两边从点 P

5、 到点到点 Q 沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。dd( )()QQPPElPQ P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功ddEll ddll dle

6、l 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学8 静电位不惟一，即静电位不惟一，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点

7、作为参为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学95. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷对于连续的体分布电荷面电荷的电位：面电荷的电位： 点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCR31()( )d4VrRE rVR3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：()1( )d4SSrrSCR11

8、()()d4VrVR 11()()d4VrVR 1()( )d4VrrVCRE第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学106. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l 0时时0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1Pnn1122常数，常数，SnSnn112221 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件： 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0S第

9、3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学11小结小结常数，常数，SnSnn112221E2( )dQPPEl0211( )d ()4qrq rR方程：方程：定义：定义：计算式：计算式：边界条件：边界条件：21nn1122（导体表面）（导体表面）（一般形式）（一般形式）（电介质分界面）（电介质分界面）第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学12 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(222rddrrcos22drr由于由于r d,cos21drr

10、302020444cos)(rrrrqdrrpep 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rPcos)2/(221rddrr第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学13ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶

11、极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学14000( )( )ddPPoOPOElErEr若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即( )0O000( )coszPErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE zree z 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均匀

12、电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为 ，则，则r0( )PEr 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学15xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz( , , )

13、Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学162222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是

14、分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。L 若选择若选择= a 的点为电位参考点，则有的点为电位参考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar在上式中加上一个任意常数在上式中加上一个任意常数002( )ln2lLrC第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学17 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电

15、场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学180110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa

16、010020()( ),(0)( )(),()SSa bxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，所以所以0220( )( )SxbE xxea第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学19 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的

17、物理量。定义：定义：qC 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体构成电容器，其电容为导体构成电容器，其电容为12qqCU 特点特点：电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电 介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq孤立导体所带的电量孤立导体所带的电量孤立导体的电位孤立导体的电位 电容器的电容电容器的电容 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学20 计算电容的方法

18、计算电容的方法方法二方法二：E02U1qq方法一方法一：UqC qE21dlEUnESE SSSqdUqC U第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学21 解：解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高，则由高斯定理可求得内外导体间的电场斯定理可求得内外导体间的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压同心导体间的电压04Ca当当 时，时，b 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球

19、形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo04abqCUba第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学22 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且 D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 。由于。由于D a ，故可，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，的表面上。应用高斯定理和叠加原

20、理，可得到两导线之间的平面上任一点可得到两导线之间的平面上任一点P 的的电场强度电场强度011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差21011d()d2DalaUElxxDx001(F/m)ln()ln ()lCUDaaD axyzxDaP0lnlDaa第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学23 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导

21、体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学24 静电场能量来源于建立电荷系统静电场能量来源于建立电荷系统 的过程中的过程中外源外源提供的能量。提供的能量。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 分析方法分析方法 连续

22、充电模型法连续充电模型法静电场对电荷有作用力，这表明静电场对电荷有作用力，这表明 静电场具有静电场具有能量能量。1. 静电场的能量静电场的能量讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关 设系统从零开始充电，最终的电荷分布为设系统从零开始充电，最终的电荷分布为、电位为、电位为 充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子(01)( )r( )r第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学25当当 增加为增加为(d)ddV 体积元体积元 dV 中中增加的电荷为增加的电荷为在某一在某一 时刻：电荷分

23、布为时刻：电荷分布为 、电位分布为、电位分布为( )r( )r101ddd2SVVWVV 外电源所做的功转换为电场能量外电源所做的功转换为电场能量We ，即，即1d2eSVWWV外电源所做的总功外电源所做的总功外电源做功为外电源做功为:()ddV 面分布电荷的面分布电荷的电场能量为电场能量为SSSWd21e第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学26 带电体的固有能量与相互作用能量带电体的固有能量与相互作用能量1( )r122( )r1211211211121111( )( )()d( )()d( )( )4VVrrVrVrrRR1221212221222111( )( )

24、()d( )()d( )( )4VVrrVrVrrRR总的电场能量总的电场能量12112211dd22eVVWVV 12111212122211()d()d22VVVV 11221111212122221111dddd2222VVVVVVVV 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学27 iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21ee12iiiWq 带电导体系统的电场能量带电导体系统的电场能量 点电荷系统的电场能量点电荷系统的电场能量除第除第 i 个点电荷外的其余点电荷产生的电位个点电荷外的其余点电荷产生的电位第第 i 个点电荷的电量个点电荷的电量第第 i 个导

25、体所带的电荷个导体所带的电荷第第 i 个导体的电位个导体的电位 电容器中储存的电场能量电容器中储存的电场能量22e111222WqUCUqC第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学28关于静电场能量表达式的说明关于静电场能量表达式的说明 讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间积分为零，所以积分也可以为整个空间12 能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电能量

26、是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电 荷分布的区域，所以荷分布的区域，所以被积函数被积函数 不表示能量密度不表示能量密度第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学292. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。e11dd22VVWVDV1()d2VDDVVDESDVSd21d21由于体积由于体积V 外的电荷密度外的电荷密度= 0，将，将上式中的积分区域扩大到整个场空上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。间，结果仍然成立。R0SD ()DDD SVSDVDdd

27、)(E 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学30只要电荷分布在有限区域内，当闭合只要电荷分布在有限区域内，当闭合面面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、故故R0S0)1O()d11O(d2RSRRSDSS积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间EDw21e电场能量密度：电场能量密度：2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则对于线性、各向同性介质，则2e111222wD EE EE e1d2VWE D V 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学31静电场能量小结静

28、电场能量小结2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 2e111222wD EE EE 1d2eVWVe12iiiWqe12iiiWq 点电荷系统的电场能量点电荷系统的电场能量 电容器中储存的电场能量电容器中储存的电场能量22e111222WqUCUqC 静电场能量静电场能量 电场能量密度电场能量密度 带电导体系统的电场能量带电导体系统的电场能量第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学32 例例 3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的的电荷，试求静电场能量。电荷，试求静电场能量。52024206220

29、20220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学33112ddaraErEr 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 故故e11d2VWV220() ()23rara3200dd33arararrr250415a2222001()4d2 23ararr第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科

30、技大学电子科技大学34 例例3.1.8 原子核是一个带电为原子核是一个带电为q q 的点电荷，周围均匀分布有带的点电荷，周围均匀分布有带负电的球形电子云。电子云的半径为负电的球形电子云。电子云的半径为r0 0，其总电量为，其总电量为q q。求原子。求原子模型的结合能。模型的结合能。 解解：结合能结合能 = 电子云自能电子云自能 + 云与核的相互作用能。云与核的相互作用能。030 0()4rqrEerrr 201dd22VVWE D VEV自0022222003200 000 03() 4 d() 4 d242420rrqrqqrrrrrrr由高斯定理得电子云产生的电场由高斯定理得电子云产生的电

31、场020()4rqEerrr q-qr0第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学350023220 000 00ddd(3)448rrrrqrqqrErrrrrrr 022232000 000 0133d(3)4 d24820rVqqrqWVrrrrrr自0032000 000 03(0)ddd448rrqrqqErrrrrr =20 03(0)8qWqr 互2220 00 00 033320840qqqWWWrrr 合互自1d2VWV自也可以由也可以由 计算计算W自自第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学363.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中

32、的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学37 （2）恒定电场中有恒定电流，会产生电场能量的损耗，要）恒定电场中有恒定电流，会产生电场能量的损耗，要 维持导体中的恒定电流，必须有外加电源来不断补充维持导体中的恒定电流，必须有外加电源来不断补充 被损耗的电场能量。被损耗的电场能量。3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场恒定电场：电荷作稳定运动、但电荷分布是不

33、随时间变化电荷作稳定运动、但电荷分布是不随时间变化 时所产生的电场。时所产生的电场。恒定电场恒定电场与静电场的重要区别：与静电场的重要区别：恒定电场恒定电场和静电场具有相同的性质：和静电场具有相同的性质：有源无旋场有源无旋场。（1）恒定电场可以存在于导体内部；）恒定电场可以存在于导体内部；第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学38EJ0d0dlESJCS00EJ1. 恒定电场的恒定电场的基本基本方程方程微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：0E0 EE0 J由由0)(02若媒质是均匀的若媒质是均匀的均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷)(rJ)(rE

34、恒定电场恒定电场的基本场矢量：的基本场矢量：恒定电场恒定电场的基本方程的基本方程0)(EEJ线性各向同性导电媒质的本构关系：线性各向同性导电媒质的本构关系：恒定电场恒定电场的电位函数的电位函数第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学392. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2媒质媒质121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe2nn1JJ即即2t1tEE即即n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE场矢量的边界条件场矢量的边界条件场矢量的折射关系场矢量

35、的折射关系导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学40nn221121, 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场既有法向分量又有切向分量，电场并并不垂直不垂直于导体表面，因于导体表面，因 而导体表面而导体表面不是不是等位面等位面； 说明说明：b11、a电位的边界条件电位的边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学41媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 120

36、12Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，则则 1 0， 即电场线即电场线近似垂直于近似垂直于良导体表面。良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 1=0，则则 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学423.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC基本方程基本方程ED,EEJ0

37、202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0d, 0dlESDCS第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学43 如果两种场具有相同的场方程和相同的边界条件，则其解如果两种场具有相同的场方程和相同的边界条件，则其解也相同。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换也相同。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为

38、而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法比拟法。,D E 0U静电场静电场 电极电极1 电极电极2S1S2,J E 0U恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2S1S2第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学44 例例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12

39、121 12 212()ddU UUEdEdJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJ U111SDJ上211 22 121212112()SDDJUdd 介222SDJ下第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学45 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2 、电导率为、电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1

40、）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1J1212Iabc11、22、0U第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学46 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I ，则由则由SdJSI111()2JIEeab 介质中的电场介质中的电场222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先

41、假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，求出电流密度求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I 。J012ddbcabUEE1E2E()2IJeac第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学4712021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )2

42、2bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学4812011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1221021()ln()ln()Ubb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I122211()SbeEeE第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学49 工程上，常在电

43、容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 UIG IUGR13.2.3 漏电导漏电导,J E 0U恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2S1S2 漏电导漏电导： 绝缘电阻绝缘电阻：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学50CGCG

44、电导的计算电导的计算 方法一：方法一： 方法二：方法二：（静电比拟法）（静电比拟法） 方法三：方法三：IJEUGUEJIG,J E 0U恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2S1S2第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学51 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间，其间媒质的电导率为媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为IablGRln211ddln22baIIbUlla ElbalIJ2lIJE2)/ln(2ablU

45、IG第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学52012222000, 0U 例例3.2.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上， 由两个半径为由两个半径为 r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿所示。计算沿 方向的两电极之间的电方向的两电极之间的电阻。设导电板的电导率为阻。设导电板的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外方向的两电极之间外加电压加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且方向流动，而且电流密度是随电流密度是随 变化的，变化的，电位

46、电位 只是变只是变量量 的函数。的函数。代入边界条件代入边界条件环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J21CC10020,CUCU第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学53电流密度电流密度00UJEe两电极之间的两电极之间的电流电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学54本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程

47、和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学550HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002

48、tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学56 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 由由AA 0BBA即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 原因原因：没有规定没有规定A的散度。的散度。()AAA 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位即磁矢位不是惟一确定的，它加上任意一个标量即磁矢位不是惟一确定的，它加上任意

49、一个标量 的梯度以后，的梯度以后，仍然表示同一个磁场。仍然表示同一个磁场。 恒定磁场中，通常规定，并称为库仑规范。恒定磁场中，通常规定，并称为库仑规范。0A第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学57 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：AB0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )( )d4VJ rRB rVR 1( )()d4VJ rVR JB31()RRR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 1( )()d4VJ rVR 0A 第3章

50、 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学58 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ细线电流细线电流：CRlIrAd4)(面电流面电流：SSSRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAAVVRrJrAd)(4)(第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学59 例例 3.3.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回

51、路的半径为回路的半径为a ，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流小圆环电流aIxzyrRdlrIPO第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学60对于远

52、区，有对于远区，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yee20022( )sinsin44I aISA reerr2Sa第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学6111(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin)4rISeer 载流小圆环可看作磁偶极子，载流小圆环可看作磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩为

53、磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则mpIS0m2( )sin4pA rer或或 0m3( )4A rprr0m3( )(2cossin )4rpB reer第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学62 解解：先求长度为先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221( )d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 3.3.2 求无限长线电流求无限长线电流 I

54、 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学632. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（电流（J = 0）的空间）的空间 中，则有中，则有即在无传导电流即在无传导电流（J = 0）的空间中，可以

55、引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程00,()BBHMmH 2mm0 m0HM m0M 等效磁荷体密度等效磁荷体密度第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学64 与静电位相比较，有与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件m0 n21()SeMM 0m0BHHB 、2m0在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式01( )( )d4VrrVRmm0( )1( )d4VrrV

56、Rm1m212nn和和m1m2或或2mm10mSnn 和和m1m2式中：式中： 等效磁荷面密度等效磁荷面密度第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学65静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE mH PP m0M 2P0() 2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn静电位静电位 0 PEDP磁标位磁标位 m 0mHB0M第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学6622m00m00m,qa Mqa Mq 上下上当当r l 时，可将磁柱体等效成磁偶极

57、子，时，可将磁柱体等效成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有则利用与静电场的比较和电偶极子场，有mm33001144prp rrr 2mm00zpqlpq leaM l：其中其中0mB 解解：M0为常数，为常数， m= 0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为磁化磁荷为m00m00,MM 上下R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半径为半径为a、长为、长为l 的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。0zMe M第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子

58、科技大学电子科技大学671. 磁通与磁链磁通与磁链ii3.3.3 电感电感 与单匝线圈交链的磁链与单匝线圈交链的磁链 与多匝线圈交链的磁链与多匝线圈交链的磁链 与粗体回路交链的磁链与粗体回路交链的磁链io iCI o粗回路粗回路CI 细回路细回路第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学68 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的，所产生的磁场与回路磁场与回路 C 交链的磁链为交链的磁链为 ，则比值，则比值IL称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回

59、路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点： iCI o粗回路粗回路第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学69 解解：设同轴线中的电流为设同轴线中的电流为I ，则，则0ii22,22IIHBaa穿过单位长度的面积元穿过单位长度的面积元 dS =1d 的磁通为的磁通为0ii2ddd2IBSa (0)a 例例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体，外导体厚度可忽略不计，其半径为厚度

60、可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。与与di 交链的电流交链的电流22()IaI 相应的磁链相应的磁链30ii4ddd2IIIaab2222idaIaIIlHCadIiB第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学70内导体中总的内磁链为内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIa0ii8LI故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I则则o0oln2bLIa故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为