静电场中导体与电介质2

1、5/9/20221理学院 大学物理教学中心College of Science第六章第六章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 6-3 6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/20222 电荷与极化电荷都会激发电场，在电介质中应用电荷与极化电荷都会激发电场，在电介质中应用高斯定理高斯定理 PfoSqqSdE 1 由于电极化强度矢量在闭合面上的积分等于闭合由于电极化强度矢量在闭合面上的积分等于闭合面所围曲面内的极化电荷，代入上式可得面所围曲面内的极化电荷，代入上式可得 SfoSSdPqSdE 16-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/2022

2、3 SfoSSdPqSdE 1移项得：移项得： QSdPESo引入引入电位移矢量电位移矢量(electric displacement)PEDo fSqSdD 通过任意曲面的电位移通量等于该曲面所包围通过任意曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。这就是的自由电荷的代数和。这就是介质中的高斯定理介质中的高斯定理。6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/20224 1. 1.闭合曲面电位移的通量积分仅仅与闭合曲面所包闭合曲面电位移的通量积分仅仅与闭合曲面所包围的自由电荷有关，闭合曲面外的自由电荷以及闭合围的自由电荷有关，闭合曲面外的自由电荷以及闭合面内的极化电荷

3、对电位移的通量贡献为零。面内的极化电荷对电位移的通量贡献为零。 D E 讨论讨论6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202252.2.尽管电位移矢量在闭合曲面上的通量积分仅仅与曲尽管电位移矢量在闭合曲面上的通量积分仅仅与曲面所包围的自由电荷有关，但决不意味着电位移矢量面所包围的自由电荷有关，但决不意味着电位移矢量仅仅与自由电荷有关，极化电荷会改变自由电荷的分仅仅与自由电荷有关，极化电荷会改变自由电荷的分布，因此极化电荷也会影响电位移矢量。布，因此极化电荷也会影响电位移矢量。 E 1E2E 6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202263.3.

4、对于各向同性的电介质，在线性范围内对于各向同性的电介质，在线性范围内PEDo 将电极化强度与电场强度矢量的关系代入得将电极化强度与电场强度矢量的关系代入得EPo EEEDooo )1(4.4.依照定义，有依照定义，有EDo )1(Eor 我们将我们将 = r o o称作电介质的称作电介质的电容率电容率( (permittivity) ) EEDor 应该注意应该注意: : 和和 o 有相同的单位，有相同的单位， r 是个无单位是个无单位量纲的纯数。量纲的纯数。6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202274. 4. 当当均匀电介质充满整个电场时，自由电荷的分布均匀电介

5、质充满整个电场时，自由电荷的分布不发生变化，有不发生变化，有 fSqSdDEDo )1(将将代入上式得代入上式得 foSqSdE 1)(1假设此时没有电介质，并且空间自由电荷的分布保持假设此时没有电介质，并且空间自由电荷的分布保持不变，则由真空中的高斯定理得不变，则由真空中的高斯定理得 foSfqSdE 16-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/20228 foSqSdE 1)(1 foSfqSdE 1定义：定义：r 1rfEE 均匀电介质充满整个电场，因此对任意一个闭合面均匀电介质充满整个电场，因此对任意一个闭合面S上述关系都成立，比较上述两式可得上述关系都成立，比较上

6、述两式可得)(1 fEE 由此可以看出，电介质内的电场强度降为原来电由此可以看出，电介质内的电场强度降为原来电场的场的1/ r 仅仅是均匀电介质充满整个电场时的特例，仅仅是均匀电介质充满整个电场时的特例，并不是普遍适用的规律。并不是普遍适用的规律。6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/20229 均匀电介质被极化后，在介质内部均匀电介质被极化后，在介质内部EPor )1(极化强度极化强度EPEDo 电位移电位移 QSdDSneP 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 均匀电介质表面极化电荷面密度均匀电介质表面极化电荷面密度( (取外法线方向为正方向取外法线方向为正方向) )

7、6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202210例题例题1 1：在两块电荷面密度为等量异号的无限大带电：在两块电荷面密度为等量异号的无限大带电平板间充入两种介质，如图，求充入介质后两块导体平板间充入两种介质，如图，求充入介质后两块导体板间的电势差和介质表面板间的电势差和介质表面解：解：(1) (1) 在两块无限大带在两块无限大带电平板间，由于充入介质电平板间，由于充入介质后并没有破坏原来的对称后并没有破坏原来的对称性，导体板上的电荷分布性，导体板上的电荷分布保持不变，自由电荷面密度也同样保持不变。保持不变，自由电荷面密度也同样保持不变。 在两种不同的介质界面出现极化电

8、荷，两种介在两种不同的介质界面出现极化电荷，两种介质内的电场强度不同，但是电位移矢量相等。质内的电场强度不同，但是电位移矢量相等。的极化面电荷密度。的极化面电荷密度。 2r 2d1r 1d6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202211 作扁平圆柱面作扁平圆柱面 S 为高斯面，由于电场分布呈面对为高斯面，由于电场分布呈面对称，根据介质中的高斯定理有称，根据介质中的高斯定理有SDSdDS oD 11roDE 22roDE 2r 2d1r 1dSo 两导体间的电势差两导体间的电势差2211dEdEU So ;1roo ；2roo 2211rooroodd 6-3 电位移电

9、位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202212（2 2）介质表面的极化电荷等于介质表面的极化强度，）介质表面的极化电荷等于介质表面的极化强度，根据定义根据定义EEPoro )1(1111)1(EPor 2222)1(EPor or 111or 211 2r 2d1r 1d在相对电容率不等的两层介在相对电容率不等的两层介质的分界面存在极化电荷。质的分界面存在极化电荷。6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202213例题例题2 2：同轴电缆内外导体之间充满了相对电容率为：同轴电缆内外导体之间充满了相对电容率为 r 均匀介质，内外导体单位长度带等量异号电荷均匀介

10、质，内外导体单位长度带等量异号电荷 求极化强度、电场强度、极化电荷和电势差。求极化强度、电场强度、极化电荷和电势差。Sl解：解：（1）圆柱导体之间充满了均匀介质，导体上的）圆柱导体之间充满了均匀介质，导体上的自由电荷分布没有变化。在介质内作同轴柱面自由电荷分布没有变化。在介质内作同轴柱面 S 为为高斯面，电场呈高斯面，电场呈轴对称。由介质轴对称。由介质中的高斯定理得：中的高斯定理得：lrlDSdDoS 26-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202214解得：解得：rlDSdDS 2rDo 212RrR 介质中的电场强度介质中的电场强度roDE 介质中的电极化强度介质中

11、的电极化强度EPor )1(12RrR 6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理lo rroo 212RrR rror 2)1(5/9/202215)(11RPn )(22RPn 12)1(Rror 22)1(Rror （2 2）介质表面的极化电荷面密度等于介质表面的极化）介质表面的极化电荷面密度等于介质表面的极化强度，根据定义强度，根据定义neP 尽管介质的内外表面尽管介质的内外表面电荷面密度不同，但极化电荷面密度不同，但极化电荷还是等量异号。电荷还是等量异号。221122 lRlRorrlq 11R2RP6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/20221

12、6（3 3）内外导体的电势差）内外导体的电势差 21RRl dEU在相同条件下，充满电介在相同条件下，充满电介质的同轴电缆内外导体间质的同轴电缆内外导体间的电势差降低了。的电势差降低了。1R2RP6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理12ln2RRroo 5/9/202217例题例题3 3：将电容器保持与电源相接：将电容器保持与电源相接, ,再插入电介质再插入电介质( (如如图图), (1), (1)求电介质中的电场强度求电介质中的电场强度; (2); (2)电介质界面电介质界面的极化电荷面密度；（的极化电荷面密度；（3 3）导体间的电势差。）导体间的电势差。解：解：在本题中，

13、电容器与电源相接，在插入电介质在本题中，电容器与电源相接，在插入电介质后，由于电介质表面出现极化电荷，后，由于电介质表面出现极化电荷，导体需从电源导体需从电源获得电荷，使得与电源获得电荷，使得与电源相连接的导体间电势差相连接的导体间电势差保持不变。保持不变。 2r 2d1r 1dUS6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202218(1)(1)假设插入介质后，导体上的自由电荷面密度为假设插入介质后，导体上的自由电荷面密度为 o，电场为面对称分布，作高斯面电场为面对称分布，作高斯面S，利用高斯定理可求，利用高斯定理可求得介质中的电场分布得介质中的电场分布SDSdDS oD

14、 11roDE 22roDE 2r 2d1r 1dUSS6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理So ;1roo 2roo 5/9/2022192211dEdEU 122121ddUrrrroo 导体与电源保持连接，电势差不变。导体与电源保持连接，电势差不变。11rooE 22rooE 2r 2d1r 1dUS6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理2211rooroodd ;12212ddUrrr ;12211ddUrrr 5/9/202220(3)(3)极化电荷面密度极化电荷面密度111)1(EPor 2r 2d1r 1dUS222)1(EPor ;)1(122

15、11222ddUPrrror ;)1(122112ddUrrror ;)1(12212111ddUPrrror ;)1(122121ddUrrror 6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/202221 从本题可以看出，插入电介质后，介质表面极化从本题可以看出，插入电介质后，介质表面极化电荷欲使导体板间的电势差降低。由于导体极板与电电荷欲使导体板间的电势差降低。由于导体极板与电源连接，电势差保持不变，因此极板上的电荷增加。源连接，电势差保持不变，因此极板上的电荷增加。此时此时rfEE 在电介质未充满整个电在电介质未充满整个电场，或充入电介质后电场，或充入电介质后电荷分布发

16、生了变化时，荷分布发生了变化时，介质中的电场强度不再介质中的电场强度不再等于原有电场的等于原有电场的1/1/ r 。 2r 2d1r 1dUS6-3 电位移电位移 有介质的高斯定理有介质的高斯定理5/9/2022221.1.复习电介质的极化、电介质中的高斯定理；复习电介质的极化、电介质中的高斯定理；2.2.复习电介质中电场的计算；复习电介质中电场的计算；3.3.讨论问题讨论问题: 6.7 6.14: 6.7 6.144.4.习题习题: 6.18 6.19 6.21 6.22 : 6.18 6.19 6.21 6.22 作业作业: :6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202223理学院 大学

17、物理教学中心College of Science第六章第六章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 6-4 6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202224一一. .孤立导体的电容孤立导体的电容 6-4 电容电容 电容器电容器 孤立导体的电荷分布在导体的外表面，电荷面密孤立导体的电荷分布在导体的外表面，电荷面密度与导体表面的几何形状有关，因而孤立导体的电势度与导体表面的几何形状有关，因而孤立导体的电势除了与导体所带电荷除了与导体所带电荷Q成正比外，还与导体的几何形成正比外，还与导体的几何形状有关。状有关。5/9/202225 无限大介质中半径为无限大介质中半径为R，带电量为，带电量为

18、Q的孤立导体的孤立导体球电势为球电势为RQVro 41 导体的电势与导体所带电量成正比，但是导体的电势与导体所带电量成正比，但是Q/V 为为常量。定义孤立导体所带的电荷常量。定义孤立导体所带的电荷Q与其电势与其电势V之比称之比称作作孤立导体的电容孤立导体的电容( (capacity of an isolated conductor) )。VQC 无限大介质中孤立导体球无限大介质中孤立导体球RVQCro 4 电容的单位为法拉电容的单位为法拉( (F F ) )，在实际应用中，法拉太，在实际应用中，法拉太大，通常用微法大，通常用微法( ( F F ) )、皮法、皮法( (pF ) )作单位。作单位

19、。6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202226二二. .电容器电容器 当真空中由多个导体时，导体的电势不仅仅与导当真空中由多个导体时，导体的电势不仅仅与导体所带的电量、导体的几何形状等相关，还和周围其体所带的电量、导体的几何形状等相关，还和周围其它带电体相关。它带电体相关。 如果两个导体分别带等量如果两个导体分别带等量异号电量，其中一个导体发出异号电量，其中一个导体发出的电场线几乎全部终止于另一的电场线几乎全部终止于另一个导体，这两个导体间的电势个导体，这两个导体间的电势差与导体所带电量成正比。我差与导体所带电量成正比。我们将这一对导体所组成的系统们将这一对导体所组成的系统称作称作电容器

20、（电容器（capacitor）。AVBVQ Q 6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202227 电容器两个导体间的电势差电容器两个导体间的电势差VAB与导体所带电量与导体所带电量Q成正比，成正比，定义电容器的电容定义电容器的电容ABUQC QQ 6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202228 在不同形状的导体间维持相同的电势差，所需的在不同形状的导体间维持相同的电势差，所需的电荷不同。就象在不同形状的容器内保持相同的液面电荷不同。就象在不同形状的容器内保持相同的液面高度所需的液体不同。高度所需的液体不同。h 电容器是现代电电容器是现代电子技术中的重要元器子技术中的重要元器件，小到超大规

21、模集件，小到超大规模集成电路中的微型电容成电路中的微型电容器，大到电力电容器器，大到电力电容器等等。电容器可以用等等。电容器可以用来储存能量、耦合交来储存能量、耦合交流信号，隔离直流信流信号，隔离直流信号。号。6-4 电容电容 电容器电容器5/9/2022291.1.平板电容器平板电容器 忽略边缘效应，导体板间的电场是均匀场，由忽略边缘效应，导体板间的电场是均匀场，由高斯定理可得导体板之间的电场强度高斯定理可得导体板之间的电场强度roE 导体板间的电场是均导体板间的电场是均匀场，电势差为匀场，电势差为EdUAB QQ SQro dSQro 6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202230 可

22、变电容器就通过可变电容器就通过改变导体板的面积或导改变导体板的面积或导体板间的间距，来改变体板间的间距，来改变电容量的大小。电容量的大小。ABUQC 根据电容器的定义，平板电容器的电容根据电容器的定义，平板电容器的电容 两个相互靠得很近的导体平板可近似忽略边缘效两个相互靠得很近的导体平板可近似忽略边缘效应，当作理想的平板电应，当作理想的平板电容器。容器。6-4 电容电容 电容器电容器dSro 5/9/202231例题例题1：估算真空中（：估算真空中（C=0.10 F、d=1.0mm）的平板）的平板电容器导体板的大小。电容器导体板的大小。解解: : 由平板电容器公式得由平板电容器公式得dldSC

23、oo2 mCdlo36. 3 如此大的表面积是没有实用价值的，通常将这种如此大的表面积是没有实用价值的，通常将这种电容器卷成圆柱状，以减小所占据的空间。电容器卷成圆柱状，以减小所占据的空间。6-4 电容电容 电容器电容器5/9/2022322.2.圆柱形电容器圆柱形电容器 柱型电容器内电场柱型电容器内电场为轴对称，由高斯定理为轴对称，由高斯定理可得内外圆柱面之间的可得内外圆柱面之间的电场强度电场强度rEro 2内外圆柱面之间的电势差为内外圆柱面之间的电势差为 BARRABl dEUAR2BR2 ABroRRLQln2 BARRrodrr26-4 电容电容 电容器电容器5/9/202233 同轴

24、电缆就相同轴电缆就相当于一个圆柱形电当于一个圆柱形电容器，它的电容是容器，它的电容是电缆传输特性中一电缆传输特性中一个非常重要的参数。个非常重要的参数。 ABroABRRLUQC/ln2 根据电容器的定义，圆柱形电容器的电容根据电容器的定义，圆柱形电容器的电容圆柱越长，圆柱面间的间隙越小，电容器的电容量越圆柱越长，圆柱面间的间隙越小，电容器的电容量越大。大。6-4 电容电容 电容器电容器5/9/2022343.3.球形电容器球形电容器 球形电容器是一个理想的电容器，由于静电屏球形电容器是一个理想的电容器，由于静电屏蔽，电容器内的电场完全不受外界其它带电体的影蔽，电容器内的电场完全不受外界其它带

25、电体的影响。由高斯定理可得内外球面之间的电场强度响。由高斯定理可得内外球面之间的电场强度24rQEro 内外球面之间的电势差为内外球面之间的电势差为 BARRABl dEU ARBRBAABroRRRRQ 4 BARRrodrrQ246-4 电容电容 电容器电容器5/9/202235ABBAroABRRRRUQC 4根据电容器的定义，球形电容器的电容根据电容器的定义，球形电容器的电容 由上式可见，球面间的间隙越小，电容器的电容由上式可见，球面间的间隙越小，电容器的电容量越大。量越大。 孤立球形导体的电容相当于导体球与无穷远处导孤立球形导体的电容相当于导体球与无穷远处导体球面所构成电容器的电容体

26、球面所构成电容器的电容 ABBAroRRRRRCB4limAroR 46-4 电容电容 电容器电容器5/9/202236ixdxEo 21 xxd xPPEo两导线间的电势差两导线间的电势差 RdRABl dEUdxxdxRdRo 112例题例题 求一对平行传输线单位长度的电容量。求一对平行传输线单位长度的电容量。解：解：依照题意，依照题意，dR，导体上的电荷分布基本保持不，导体上的电荷分布基本保持不变，电场可以视为两个长直带电线电场的叠加。变，电场可以视为两个长直带电线电场的叠加。6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202237RRdo lnRdUoABln Rd dxxdxURdRoAB

27、 112两直导线单位长度的电容两直导线单位长度的电容RdUCoAB/ln 平行直导线之间有耦合电平行直导线之间有耦合电容，因而当信号线与强电电缆容，因而当信号线与强电电缆线平行敷设时，相互之间应该线平行敷设时，相互之间应该保持一定的间距。保持一定的间距。6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202238三三. .电容器的并联和串联电容器的并联和串联1.1.电容器的并联电容器的并联U1C2C1Q2Q 2Q1Q UCQQ 两个电容两个电容C1、 C2并联，其并联，其等效电容为等效电容为C。UCCQQQ)(2121 21CCUQC 21CCC 6-4 电容电容 电容器电容器5/9/2022392.电

28、容器的串联电容器的串联U1C2CQQ QQ 2U1UCQQ U 两个电容两个电容C1、 C2 串联，串联，其等效电容为其等效电容为C。QCCUUU 2121112121CCCCUQC 21111CCC 6-4 电容电容 电容器电容器5/9/202240理学院 大学物理教学中心College of Science第六章第六章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 6-5 6-5 静电场的能量静电场的能量 能量密度能量密度5/9/202241 对一个不带电的电容器的充电过程，可以看作持对一个不带电的电容器的充电过程，可以看作持续将电荷续将电荷dq从负极板移到正极板的过程。在此过程中，从负极

29、板移到正极板的过程。在此过程中，外力克服电场力所作的功，就等于充电电容器的能量。外力克服电场力所作的功，就等于充电电容器的能量。UdqdWe qdqC1 将一对不带电的导体将一对不带电的导体平板，充电到分别带电平板，充电到分别带电Q，克服电场力所作的功克服电场力所作的功 QoeqdqCW16-5 静电场的能量静电场的能量 能量密度能量密度 dq dABSCQ22 5/9/202242由电容与电量、电势差的关系可得由电容与电量、电势差的关系可得QU21 若用电场强度表示若用电场强度表示221QCWe SdEWe221 V=Sd 为电容器内电场所为电容器内电场所占据的体积。占据的体积。 dq dA

30、BS221QCWe 221CU 221SESd 6-5 静电场的能量静电场的能量 能量密度能量密度5/9/202243 电容器内的电能与电场强度电容器内的电能与电场强度E2、电场所占据的体、电场所占据的体积积Sd成正比，设想将真空中的平板电容器极板拉开一成正比，设想将真空中的平板电容器极板拉开一个微小的间距个微小的间距 d 由于导体极板上的电荷不变，电场强度的分布不由于导体极板上的电荷不变，电场强度的分布不变，所增加的能量变，所增加的能量dSEWoe 221电场的能量随电场占据体积电场的能量随电场占据体积的增加而增加。的增加而增加。 BSE BSEdd A6-5 静电场的能量静电场的能量 能量

31、密度能量密度5/9/202244在将导体极板拉开时，外界克服引力作功在将导体极板拉开时，外界克服引力作功dFW dSEWo 221SQEo 将导体极板拉开时外界克服引力所作的功等于电将导体极板拉开时外界克服引力所作的功等于电容器能量的增加。容器能量的增加。导体极板间的电场强度不变，电荷导体极板间的电场强度不变，电荷的分布及电量不变，外力做功增加的电场能量等于电的分布及电量不变，外力做功增加的电场能量等于电场所占据的空间增加后所增加的能量。场所占据的空间增加后所增加的能量。dSQo 22可以证明带电导体平板间可以证明带电导体平板间的相互作用力为的相互作用力为SQFo 226-5 静电场的能量静电场的能量 能量密度能量密度5/9/202245VEro 221定义单位体积电场所具有的电场能量为定义单位体积电场所具有的电场能量为电场能量密度电场能量密度。VWweVe 0lim 虽然上述结果是从平板电容器导出的，但是