24第2课时等比数列的性质

1、第2课时 等比数列的性质1.1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用；理解并掌握等比数列的性质及其初步应用；( (重点、难点）重点、难点）2.2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力 定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做比数列，这个常数叫做等比数列的公比，等比数列的公比，公比通常用字公比通常用字母

2、母q q表示表示(q0).(q0).）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann如果一个数列如果一个数列是等比数列，它的公比是是等比数列，它的公比是q q，那么，那么,1a,2a,3a,na，21aa q由此可知，等比数列由此可知，等比数列 的通项公式为的通项公式为 na2321aaqa q3431aa qa q4541aaqa qn 1n1aa qaq0（ ，）(1) 1，2，4，8，16，观察数列观察数列111( 2 )8 , 4 , 2 ,1,248(3) 4，4，4，4，4，4，4，(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2公比公比 q=12公比公比 q=1公比公比 q

3、=-1等比数列的图象等比数列的图象1 1数列：数列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820O递增数列递增数列通过图象观察性质通过图象观察性质等比数列的图象等比数列的图象2 212345678910O数列：数列：,81,41,21, 1 ,2,4, 812345678910递减数列递减数列等比数列的图象等比数列的图象3 3123456789102468101214161820O数列：数列：4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，常数列常数列等比数列的图象等比数列的图象4 412345678910O12345678910数列：数列：1，-1，1

4、，-1，1，-1，1，摆动数列摆动数列- -1 类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？an-an-1=d （n2） 等差数列等差数列等比数列等比数列 常数常数减减除除加加乘乘dnaan) 1(1) 0(111qaqaann加加- -乘乘乘乘乘方乘方 迭加法迭加法迭乘法迭乘法等比数列用等比数列用“比比”代替了等差数列中的代替了等差数列中的“差差”定义定义数学表数学表达式达式通项公通项公式证明式证明通项通项 公式公式1(0n2)nnaq qa，,由等差数列的性质，猜想等比数列的性质由等差数列的性质，猜想等比数列的性质aan n 是公差为是公差为d d的

5、等差数列的等差数列 b bn n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列性质性质1 1： a an n= =a am m+(n-m)d+(n-m)d性质性质2 2：若：若a an-n-k k,a,an n,a,an+kn+k是是aan n 中的三项中的三项 ， 则则2a2an n= =a an+kn+k+ a+ an-kn-k 猜想猜想2 2：性质性质3 3： 若若n+mn+m= =p+qp+q, ,则则a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q猜想猜想1 1：nmnmb b q 若若b bn-kn-k,b,bn n,b,bn+kn+k 是是 b bn n 中的三项中的三项

6、, ,则则猜想猜想3 3：若：若n+mn+m= =p+qp+q，则，则b bn nbbm m= =b bp pbbq q2nn kn kbbb性质性质4 4：从原数列中取出偶数：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为项组成的新数列公差为2d.2d.( (可推广可推广) )性质性质5: 5: 若若 c cn n 是公差为是公差为dd的等差数列，则数列的等差数列，则数列 a an n+c+cn n 是公差为是公差为d+dd+d的等差数列的等差数列. .猜想猜想5 5：若：若 d dn n 是公比为是公比为qq的等比数列的等比数列, ,则数列则数列 b bn nddn n 是公比为是公比为qqqq的

7、等比数的等比数列列. .猜想猜想4 4：从原数列中取出：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公偶数项，组成的新数列公比为比为 ( (可推广可推广) ) 2q若数列若数列aan n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列, ,则则(1)(1)当当q1,aq1,a1 100或或0q1,a0q1,a1 101, aq1, a1 100或或0q1,a0q00时时, a, an n 是递减数列是递减数列; ; 当当q=1q=1时时, a, an n 是常数列是常数列; ; 当当q0q0.0.(3)a(3)an n= =a am mq qn-mn-m(n,mN(n,mN* *).).(4)(4)当当n+

8、mn+m= =p+q(n,m,p,qNp+q(n,m,p,qN* *) )时时, ,有有a an na am m= =a ap pa aq q. .(5)(5)当当aan n 是有穷数列时是有穷数列时, ,与首末两项等距离的两项的积与首末两项等距离的两项的积都相等都相等, ,且等于首末两项的积且等于首末两项的积. .(7)(7)若若 b bn n 是公比为是公比为qq的等比数列的等比数列, ,则数列则数列aan n b bn n 是是公比为公比为qqqq的等比数列的等比数列. .(6)(6)数列数列 aan n(为不等于零的常数为不等于零的常数) )仍是公比为仍是公比为q q的的等比数列等比数

9、列. .(9)(9)在在aan n 中中, ,每隔每隔k(kNk(kN* *) )项取出一项项取出一项, ,按原来顺序排按原来顺序排列列, ,所得的新数列仍为等比数列所得的新数列仍为等比数列, ,且公比为且公比为q qk+1k+1. .(10)(10)当当m m，n n，p(mp(m，n n，pNpN* *) )成等差数列时，成等差数列时，a am m , , a an n , , a ap p 成等比数列成等比数列. .(8)(8)数列数列是公比为是公比为的等比数列的等比数列. .q1na1例例 已知已知 an n bn n 是项数相同的等比数列，求证是项数相同的等比数列，求证 an n b

10、n n 是等比数列是等比数列. . 12nnnnabpaqbpqpdqd . 当当数数列列、是是项项数数相相同同的的等等差差数数列列时时，数数列列其其中中 、 是是常常数数 也也是是等等差差数数列列吗吗？是是分分的的，公公差差为为可可析析：以以类类比比证证明明. .证明：证明：设数列设数列aan n 的首项是的首项是a a1 1，公比为，公比为q q1 1; ; b bn n 的首项为的首项为b b1 1，公比为，公比为q q2 2，那么数列，那么数列 a an nb bn n 的第的第n n项与第项与第n+1n+1项分别为：项分别为：n 1n 1nn11121112aqbqaqbq,与n 1

11、n11121112a b (q q )a b (q q ) .即与.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以无关的常数，所以 a an n b bn n 是一个以是一个以q q1 1q q2 2为为公比的等比数列公比的等比数列. . nnacc a特特别别地地，如如果果是是等等比比数数列列， 是是不不等等于于0 0的的常常数数，那那么么数数列列也也是是技技巧巧方方法法：等等比比数数列列. . 在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a2 2=-2,a=-2,a5 5=54=54，a a8 8= = . .在等比数列

12、在等比数列aan n 中，中，a an n0 0，a a2 2 a a4 4+2a+2a3 3a a5 5+a+a4 4a a6 6=36,=36,那么那么a a3 3+a+a5 5= _= _ . .在等比数列在等比数列aan n 中，中， a a1515 =10, a=10, a4545=90,=90,则则 a a3030 =_. =_. 在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120, =120, 则则a a5 5+a+a6 6=_.=_.-1 458-1 4586 63030480480或或-30-305.3

13、2323232与的等比中项是的等比中项是_.6.如果三角形的三边成等比数列，则公比如果三角形的三边成等比数列，则公比 q 的取值范的取值范围是围是_.7.已知正数等比数列已知正数等比数列na中，中，12nnnaaana8.设数列设数列是等比数列，且是等比数列，且5681,aa则则3132310loglog+log_.aaa15 15 122q对所有的自然数对所有的自然数 n 都成立，则公比都成立，则公比 q =_.5 1220证明或判断一个数列为等比数列的方法证明或判断一个数列为等比数列的方法: :1.1. =q (n=q (n 2 2 且且q0q0) )aan n 为等比数列为等比数列. .

14、( (适用于选择题、填空题和解答题适用于选择题、填空题和解答题) )2.a2.an n= =cqcqn n (c,q0)(c,q0)aan n 为等比数列为等比数列. .( (适用于选择题、填空题适用于选择题、填空题) )3.a3.a2 2n+1n+1=a=an na an+2n+2aan n 为等比数列为等比数列. .( (适用于选择题、填空题适用于选择题、填空题) )nn 1aa等比数列的性质等比数列的性质: :1.a1.an n= =a am mq qn-mn-m（n,mNn,mN* *）2.2.若若m+nm+n= =p+qp+q，则，则a am ma an n= = a ap pa aq q（m,n,p,qNm,n,p,qN* *）3.3.等比数列中，每隔等比数列中