311方程的根与函数的零点课件（人教A版必修1）

1、3.1函数与方程函数与方程31.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1.对函数图象与x轴交点与方程根的关系，简单的了解即可2对函数零点的概念要理解，函数零点的求法一定要掌握3零点存在性及函数零点个数的判定是本节重点，在高者中经常出现，应引起高度重视.研研 习习 新新 知知 新 知 视 界 1方程的根与函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫函数yf(x)的零点函数的零点是一个实数 (2)方程的根与函数零点的关系 求函数yf(x)的零点，就是求方程f(x)0的实数根方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 2函数零

2、点的判断 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 思考感悟 1函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？ 提示：函数的零点不是点，而是对应方程的根；并不是任何函数都有零点，如函数yx2x1就没有零点 2如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，在区间(a，b)上就没有零点吗？ 提示：当f(a)f(b)0时，在(a，b)上就没有零点，当f(a)f(b)0时，(a，b)上亦可能有零点并且当f(a)

3、f(b)0时，(a，b)上也不一定只有一个零点，若另有f(x)在(a，b)上单调，可说明f(x)在(a，b)上有一个零点答案：答案：B 2函数yx23x1的零点个数是() A0 B1 C2 D不确定 答案：C 3已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上() A至少有三个零点 B可能有两个零点 C没有零点 D必有唯一的零点 答案：D 4若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是() Aa1 Ca1 Da1 解析：函数f(x)x22xa没有零点，就是方程x22xa0没有实数根，故判别式44a1. 答案：B 5已知函数f(x)为偶函数，其

4、图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为_ 解析：f(x)为偶函数， f(x)的图象关于y轴对称， f(x)的零点也关于y轴对称， 即零点之和为0. 答案：0互互 动动 课课 堂堂 典 例 导 悟 类型一函数零点的概念及求法 例1求函数yx22x3的零点，并指出y0，y0时，x的取值范围 解如图1所示，解二次方程 x22x30，得x13，x21， 函数yx22x3的零点为3,1. yx22x3(x1)24，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当3x0；当x1时，y0时，x的取值范围是(3,1)； 当y0(0)的解集，体现了数形结合的思想方法 变式体验1(1)若函数f(x)x2axb的零点是

5、2和4，求a、b的值 (2)若f(x)axb(b0)有一个零点3，则函数g(x)bx23ax的零点是_ 类型二函数零点的判断 例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点 (1)f(x)x23x18，x1,8； (2)f(x)x3x1，x1,2； (3)f(x)log2(x2)x，x1,3 分析零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断 解(1)法1：f(1)200. f(1)f(8)0，f(x)在1,8内存在零点 法2：令x23x180，得x6或x3.又61,8 函数f(x)在1,8内存在零点 (2)f(1)10， f(1)f(2)0， 函数f(x)在1,2内存在零点 变

6、式体验2求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数 解：解法1：f(0)10210， f(x)在(0,2)上必定存在实根， 又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数， 故f(x)有且只有一个实根 解法2：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的叠合图 由图象知ylg(x1)和y22x有且只有一个交点， 即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点 点评：判断函数零点个数的方法主要有： 用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)g(x)h(x)的图象，由图象、函数的单调性及零点的判断方法作出判定，如本例法一； 由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐

7、标系下作出y1g(x)和y2h(x)的叠合图，利用图象判定方程根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二 类型三函数零点的应用 例3函数yx22px1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围 分析二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究 解解法1：记f(x)x22px1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方， 必有f(1)0，即122p10. p1. p的取值范围为(，1) 变式体验3已知关于x的二次方程x22mx2m10. 若方程有两根

8、，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的值 分析：设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数的性质加以限制，通过解不等式组来解决 思 悟 升 华 1对于函数零点的概念，应注意以下几点问题： (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零 (2)函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标 2对函数零点的判定定理的理解 (1)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数yf(x)在区间a，b上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一个，即方程f(x)0在(a，b)上至少有一个根例如，如图4(1)所示，f(x)x33x22x，有f(1)6