高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题

1、解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1直角三角形中各兀素间的关系：在厶 ABC中，C= 90 °, AB= c, AC= b, BC= a。1三边之间的关系：a2+ b2 = c2。勾股定理2锐角之间的关系：A+ B= 90°3边角之间的关系：锐角三角函数定义sin A= cos B= a , cosA= sin B= , tan A= 。ccb2 斜三角形中各兀素间的关系：在厶ABC中, A B C为其内角，a、 c分别表示A、B、C的对边。1三角形内角和：A+ B+ C= n。2正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等-abc R为外接圆半径s

2、in A sinB sinC3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍O2 2 2 2 2 2 2 2 2a = b + c 2bccosA;b = c + a 2cacosBc = a + b 2abcosC。3 三角形的面积公式：1 1 11S = aha= bhb= chc ha、hb、he分别表示 a、b、c 上的咼；2 2 21 1 12S = absin C= bcsin A= acsin B；2 2 24解三角形：由三角形的六个兀素即三条边和三个内角中的三个兀素其中至少有一个是边求其他未知兀素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的兀素

3、还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：1两类正弦定理解三角形的问题：第1两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、两角和其中一边的对角，求其他边角2两类余弦定理解三角形的问题：第1三边求三角第2、两边和他们的夹角，求第三边和其他两角5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。1角的变换因为在 ABC 中，A+B+Cn，所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。.A B C A B . Csincos，cossin ；2 2 2 22判定三角

4、形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6.求解三角形应用题的一般步骤：1分析：分析题意，弄清和所求；2建模：将实际问题转化为数学问题，写出与所求，并画出示意图；3求解：正确运用正、余弦定理求解；4检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例 1. 1在 ABC 中， A 32.00, B 81.8°, a 42.9cm,解三角形；2在 ABC中，a 20cm, b 28 cm, a 40°，解三角形角度精确到1°，边长精确到1cm。解：1根据三角形内角和定理，C 180° (A B) 180°

5、 (32.0° 81.8°) 66.2° ；0根据正弦定理，b至晋 丝疇色8°.1(cm)；sin Asin32.0°asi nC 42.9si n66.2°根据正弦疋理， c °74.1(cm).si nA si n32.02根据正弦定理,sin Bbsin A 28sin40°a 2°0.8999.因为 0° v B v 180°，所以 B 64°，或 B 116°.当 B 64° 时，C 180° (A B) 180° (40&#

6、176; 64°) 76°,as inCsin A20s in76°sin 40°30(cm).当B 116°时，ooooo asinC 20s in 24°C 180 (A B) 180(40116 ) 24 , c013(cm).sinA si n40点评：应用正弦定理时1应注意两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；2对于解三角形中的复杂运算可使用计算器3，求tan A的值和 ABC的面积。2解法一：先解三角方程，求出角A的值osi nA cos Ai 2 cos(A45 )2J2cos(A 45 )12.又0 A 1

7、80：A 4560 , A105.tan A tan(45160 )-231.3题型2:三角形面积例 2 在 ABC 中，sin A cosA , AC 2 , ABsinA sin105 sing560) sin45 co$60 cos45 sin60SABC2 AC ABsinA 2 2 3后)。解法二：由sinA cos A计算它的对偶关系式 si nA cos A的值。sinA cos A2 1(si nA cos A)12sin Acos A一2叮 0 A 180 , si nA 0,cos A 0.1另解(si n2A2)2(si nA cos A) 1 2si nAcosAsin

8、 A cos A+得si nA从而tan A一得cos Asin A cosA、2644, 2 . 6以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等根本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的根底试题。两种解法比拟起来，你认为哪一种解法比拟简单呢？题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3 在 ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B/ C的对边长， a、b、c成等比数列，且 a2bsin Bc2=ac be,求/ A的大小及的值。c分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ 代 需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理。2 bK o j n 口的值。由b2=ac可变形为

9、=a，再用正弦定理可求c解法一： a、b、c成等比数列， b2=ac。2 2 2 2 2又 a c =ac bc,. b +c a =bc。在厶ABC中，由余弦定理得:cosA=b2c2 a2 _ be _ i2bc 2bc 2在厶ABC中，由正弦定理得sinB=bsin A2/ b =ac,/ A=602bsinB b sin 60=si n60cac解法二：在 ABC中,由面积公式得 1 bcsin A=1 acsin B。2 22 2/ b =ac,Z A=60 °,. bcsin A=b sin B。/. bsin B =sin A=仝。c评述：解三角形时，找三边一角之间的关

10、系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例4 .在 ABC中，假设2cosBsin A= sinC，那么 ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin C =sin A+ B=sinAcosB+cosAsinBsin A B= 0 ,二 A= B另解：角化边点评：此题考查了三角形的根本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5:三角形中求值问题B c例5. ABC的三个内角为 A、B、C，求当A为何值时，cosA 2cos取得最大值，并求出这个最

11、大值。B+C n AB+C A解析：由 A+B+Cn，得-=2 2，所以有 cos =sin 2。B+CA2AAA 1 2 3cosA+2cos' =cosA+2si n ' =1 2si n ' + 2si n = 2(sin ) + ;2 2 2 2 ' 2 2， 2'AA口亠QQ当sin 2 = 2，即卩人=3 时，cosA+2cos 三-取得最大值为 ？。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的 性质求得结果。题型6:正余弦定理的实际应用75°,然后求例6.2021辽宁卷文，理如图， A,B,

12、C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60° ,AC=0.1km。试探究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，B, D的距离计算结果精确到0.01km,21.414 ,2.449解：在厶ABC中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又Z BCD=180 60°- 60° =60°,故CB> CAD底边AD的中垂线，所以 BD=BAABACACs in603返J6因此，BD

13、= 200.33km。在厶ABC中,20sinBCA_ siABC'即 AB= sin 15故B, D的距离约为 0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握根本知识、概念，深刻理解其中 根本的数量关系即可过关。三、思维总结1 解斜三角形的常规思维方法是:12两角和一边如 A、B C，由A+B+C= n求C由正弦定理求 a、b;两边和夹角如a、b、c，应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= n,求另一角;3两边和其中一边的对角如a

14、、b、A应用正弦定理求B,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况;4三边 a、b、c,应余弦定理求 A B,再由A+BC = n ,求角C。2.三角学中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A，3.两内角与其正弦值：在厶 abc中，A B sin A sin B，4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解。三、课后跟踪训练1. 2021上海文数18.丨假设 ABC的三个内角满足sin A:sin B :sinC 5:11:13，那么 ABC A一定是锐角三角形.C一定是钝角三角形.

15、(D)解析：由 sin A:sin B :sin C5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:132 2由余弦定理得 cosc 2 5 1113'0,所以角C为钝角2. 2021天津理数 7在厶ABC中，内角 A,B,C的对边分别是a,b,c，假设a2 3bC ,sin C 2；3sin B，贝y a=(A30°B600C1200D1500B一定是直角三角形.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】A【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的根本应用，属于中等题。由正弦定理得2R2 疏 c 2 ,b , 2R所以2 2 2b +c -acosA=2bc尿c I旦，

16、所以a=3002bc22bc【温馨提示】解三角形的根本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。，贝U cosB =3. 2021 湖北理数3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60【答案】D【解析】根据正弦定理sin Ab15sin B 可得 sin6010 3而解得sinB 3,又因为b a，那么B A，故B为锐角，所以cosB V1 sin2B ，故D正确. 34. 2021广东理数11.a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C所对的边，假设a=1,b=3 , A+C=2B,sinC=解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°.由正

17、弦定理知， ，即si nA - 由si nA sin 602b 知，A B 60，那么 A 30 ,180 A B 180" 30 6090，sinC sin90 1AC5 2021湖南卷文在锐角 ABC中，BC 1,B 2A,那么的值等于，AC的取值范cos A围为解析设 A，B2 .由正弦定理得ACBCAC1AC2sin 2sin2cos1cos2.由锐角ABC 得 029045 ,又0180 3903060 ,故30452cos.322AC2cos(2, 3).6. 2021全国卷I理在 ABC中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、C ,a c 2b,且 sin AcosC

18、3cos Asin C,求 b22分析：此题事实上比拟简单，但考生反响不知从何入手.对条件1a c 2b左侧是二 次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理 ，而对条件2sin AcosC 3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分.解法：在 ABC中那么二'sin AcosC 3cos Asin C，由正弦定理及余弦定理2ac,2,2 2 ,2 22bc亠 a b c 3 c 有：a32ab角化边化简并整理得:2(a22 2 2 2 2c) b .又由a c 2b 4b b .解得b 4或b 0舍.7 .

19、在 ABC中， A BC成等差数列，求tan A tanC绍哺的值。解析：因为 A B、C成等差数列，又A+ B+ C= 180°,所以 A+ C= 120 °,从而 A C = 60°,故 tan A C2 2.A .C.3 .由两角和的正切公式，得_ an 2一 “ 2一3。4 + A* C1 tan tan2 2所以 tan A tanC 33tanAtanC,2 2 2 2AC匚丄 AC匚tan tan3 tan tan 3。22 22点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用根本公式，将未知角变换为角求解,同时结合三角变换公式的逆用。8. 2021

20、四川卷文在ABC中，A B为锐角，角A B、C所对的边分别为a、b c,且sin A ,sin B51010I求A B的值;解|.A、B为锐角,二 cos A1 sin2 A假设ab2 1,求 asin A5 ,sin B.105105,cos B1sin2 B3 1010、b、c的值。cos(AB)cos AcosBsin Asin B 空53、105. 107q105 0II丨由B 一4i C襄 sin C 2由旦sin Absin Bc得sin C5a 10b.2c,即 a 2b,c 5b又 a b 2 1a 、2,c9. 2021陕西文数17本小题总分值12分 在厶ABC中， B=45

21、° ,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.解 在厶 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos AD2 DC2 AC2 =100 36 1961cos,2AD *DC2 10 62ADC=120 , ADB=60在厶 ABD中，AD=10,B=45° , ADB=60 ,由正弦定理得ABAD ,sin ADB sin B二 AB=ADsin ADB 10sin 6010 讣=庐 上 56 sin Bsin 45屈T10. 2021辽宁文数17本小题总分值12分在 ABC中，a、b、c分别为内角 A B、C的对边，且

22、2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C1求A的大小；n假设sin B sin C 1，试判断 ABC的形状.解：I由，根据正弦定理得2a2 (2b c)b (2c b)c2 2 2即 a b c bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA故 cos A ,A 12022 2 25由I得 sin A sin B sin C sinBsinC.1又 sinB sinC 1，得 sinB sinC2因为 0 B 90 ,0 C 90 ,故B C所以ABC是等腰的钝角三角形。11. 2021辽宁理数17本小题总分值12分在厶ABC中，a, b, c 分别为内角A, B,

23、C 的对边，且2asinA (2a c)sin B (2c b)sinC.I求A的大小；n求sin B sin C的最大值.2解：I由，根据正弦定理得2a (2b c)b (2c b)c即a2 b2 c2 bc2 2 2由余弦定理得a b c 2bccosA故 cosA 1, A=120°6 分25由I得：si nB si nC sin B si n(60 B)V3icosB si nB22si n(60 B)故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。补充：海伦公式：有一个三角形，边长分别为 a、b、c,三角形的面积 S可由以下公式求得：S - y/p(p-a(p

24、-b)(p-c)而公式里的p为半周长周长的一半：根本关系转化：倒数关系：二 L ； tosusEco 二 L； Umticota 二 L商的关系：sin a亠<JS£rtann =cotd 二sin a平方关系：sin a 4-cos 二 1 ； 1 * Zn 二 sec a ； 1 +cot a - esc a和差角公式sin(d + 戸二 si n a cos + cos * sinsin(d -= sin a cos p - cos sin fco5(ft + ) = costfcos -5in«sinfcos(tr-0二 cos cos +5in asinft

25、o 口口 +tanfitan a - tan Stav(a 一苗二 -r 1 + tana tan 8icottf cottf 1rot a + | =rcot Xotorcotp -cotffsin(n-+y = sin a-cos cos y +cos a. sincosy+cos酒 cospsiny-sirid sinsiny cos(£r+p+y) = cos a cos 0 cgs y-cos 我 sin 0 sin y-sin & cos siny-sinttsm cos ya _# cos 和差化积sina + sin 0 = 2sin 兰寸-7卫盘+卩.0si

26、na- sinp 二 2cos-sin -£L“科aSa-B<05 a + COS p - ZCO5 - CO5 - r 盘 +0 . casfl-co5= -2 sin sin ?tan fl + tan 8 -cos a cossin(ff +£)口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦积化和差sin orcos = y sin (a + 0)十亍 in (a 一0) casasin= -sin(a + )-sin(a -)二 j + ) + cos(asinffsin = cos (a + p) - cos(a _0)倍角公式二倍角si

27、n2ft - 2sine cosennj_ncos2a =cas a-sin =2ccs a-l-L - 2sin a 2tanatan2tr =1- tan2 a三倍角三倍角公式推导sin 3a) 3sina -4sin3a=sin 2acosa+cos2as ina=2sina 1-sin2a)+ 1-2sin2a)sina=3si na-4si n3acos3a t 4cosA3a -3cosa=cos 2a+a)=cos2acosa-s in 2as ina=2cosA2a-1cosa-2 1-cosA2a)cosa=4cosA3a-3cosasin3a t 4si nasin 60°+a)sin 60° -a)=3si na-4si nA3a=4sina 3/4-sinA2a)=4sina V3/2 -sina V3/2 +sina=4s in a(s in60 +sin a)(s in60 °ina)=4s in a*2s in 60+a)/2cos 60 ° -a)/2*2si n 60 ° -a)/2cos 60 ° +a)/2=4sinasin