07210第四章--多自由度系统振动(讲1)(2)

1、第3次作业题:1、如图所示起重机小车，其质量为m】=2220kg,在质心A处用绳悬挂一重物B, 其质量为m2=2040kg。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m。 设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B以匀速vo=lm/s碰上缓冲器后，求 小车和重物的运动。2、两个质量块g和nr用一弹簧k相连，g的上端用绳子拴住，放在一个与水 平面成a角的光滑斜面上，如习题下图所示。若仁0时突然割断绳子，两质量块 将沿斜面下滑。试求瞬时t两质量块的位置。答案:r 欣 r 欣 cosfiM,. = |=f 一一=-esina&(叫 + 八)2&r 加 t2 欣COS

2、L .X)=|=+ + =-gsmak(m + m2) 2 k。 + m2)3.如图，已知m2=2Xmi=m, k3=2ki=2k?=2k, xio=1.2,X2o=ilo = x20 =0,试求系统的固有频率，主振型以及相应。kik2 k3 、，/V/ mi m22 答案：利用程序，易得固有频率：C0i)=3. 162277rad/s,】2=5 rad/s主振型：主振型图示系统相应：X1 = 04 cos 3 1622777t +0.8 cos 5f x2 = 0.4cos3.1622777t -0.4 cos 5/4.已知:? =9 00 11，© 二1-0.1，网=110 -5

3、0-50 90,/«）=< L,激振力频率2s=3rad/s,试求系统的稳态响应。答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。第四章多自由度系统振动§4-1多自由度系统运动方程的建立（引言：问题的提出。）工程中的机械振动问题，有一些可以简化 成一个或两个自由度系统的振动问题，因此可以用前面几章中介绍的 方法进行分析计算。但是也有很多问题不能采用这种过于简化的力学 模型来进行分析。一般来说，各种机器及其零部件的质量和刚度都具 有分布的性质，因此理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但 由于机器的结构比较复杂，若都按无限多自由度来处理，在数学上有 很大的，甚

4、至目前还无法解决的困难。因此，只好将系统的结构用一 些离散的结构来理想化。这样就把弹性体变成数目有限个的离散单元 组成的有限多自由度系统。如前所述,振动系统有多少个自由度就有多少个固有频率和主振 型，也就有多少阶主振动，因此弹性体就有无穷多阶主振动。但有意义的只有前几阶，因为低阶主振动的节点少，比高阶主振动危险。因 此把机器结构看成有限多自由度，并只研究其前几阶主振动一般己经 足够了。建立和求解多自由度系统振动的运动微分方程式，常常应用分析 力学的方法，即根据拉格朗日方程式来建立系统的振动方程式，并应 用矩阵（matrix）这一数学工具来进行分析计算。一、拉格朗日法公式的推导见分析力学采用拉格

5、朗日方程式来建立系统的振动方程式，这种方法比较规 格化，不易出错。按拉格朗日方法，系统的振动方程式可通过动能T、位能U、能 量散失函数D来表示。即d（ dT ST SU SD 八 z. 1O 、(4.1)+ + =Q：=以的J 8q.t 8q.t瓯"式中：%分别为广义坐标和广义速度；T、U分别为系统的动能和位能（或势能）;能:1=1散失函数;Q广义干扰力。或者图4.1所示为三自由度的弹簧质量系统，Pl、P2、P3为分别作用于各质量上的干扰力。XA/KAA/ %-AAA/ r?<2WI3p, ev» p J*Bar KQTP一人P,图4.1三自由度弹簧一质量系统取各质量

6、偏离其平衡位置的位移X卜X2, X3为广义坐标，则广义速度为X、北2、尤3。系统的动能即为质量mi、m2、m3为的动能之和，即：7二不伍M +加2芯+加3君)(4.2 )乙系统的势能即为弹簧1、2、3的变形势能之和。而弹簧的势能可 通过计算弹簧力所作之功来求得。有质量从平街住五移动x距喜后， 弹签的尊性恢复力kx对质量所作的功为：Ak = £ kxdx= ； kx1所以系统的势能为:U =;1内2 + 左 2(项)2 +6(/ 9厂(4.3)系统的能量散失函数即为余统在振动过程中的克服的尼G、C2,C3所作的功。因为阻尼力ex与振动速度无成线性关系，所以在振动速度从0到工的整个过程中

7、，阻尼力对振动质量所作的功为rx1 9A. = cxdx-cxc Jo2所以系统的能量散失函数为:C2ct2 % )2 +%(比3 一比2)1广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用我各质量上的干扰力Pl、P2> P30d故 It95*片+"商+吗4=叫无dT d 1zz黔:加也IF二(h +k9)x k2x2dD d ir-2=cx +阴 Sx, 2L。2（北2-工1）2+，3优一用（。1 +。2）%。2比2将上列各式代入（4.1）式，即可求得mi的振动方程为:(4.5)叫 X + (q + °2兑 + c2x2 + k + 女 2)% - k2x2 = Pd

8、又济dt dx1 24Q74%： + m2xf + m3x1 ) = m2x9至二。dx2dU个5 Z/； + k2 (x2 - X) + %3 (当x2)2=k2xx + (k2 + k3 )x2 k3x3-2=cx + dx2 dx2 2C2G2 xj +C3G3 12)=-C）X +（C）+ C3 C3X3将上列各式代入（4.1）式，即可求得012的振动方程为: m2X2 - C2x1 + .2 + C-。3夕3 一 &+ （匕 + 人卜2 一 人占二 H(4.6)d_ 又dt笠二。片 +m2+ m3%3 )=m3x3+ A2(X)玉 J + "3 (“3 X J _

9、k ?x、-k %x）乎+ c2（x2 -xj2 +。3第 一*2）2 ox3 ox3 2=c3x3 c3x2将上列各式代入（4.1）式，即可求得m3的振动方程为：m3x3 -c3x2 + c3x3 -k3x2 + k.x. - P. (47)综合以上的计算结果，将（4.5）、（4.6）及（4.7）式组成下列微 分方程组，即得图4所示系统的运动微分方程式:mxA + (fj + c2 )x2 - c2x2 + 也 + k. - k2x2 - R< m2x2 -qij + (c2 + c3)i2 -c3i3 -k2x1 + (k2 + 人卜? 一k3M = H /n3x3 - c3x2 +

10、 c3x3 - k3x2 + k3x3 - P3(4.8)上式可用矩阵形式表达为：mM+HW+HW=归（4.9）其中各列阵及系数矩阵分别为：X位移列阵工二卜2；速度列阵"加速度列阵"=右；干扰列阵俨二,巴R.质量矩阵mx/? = 000000?3阻尼矩阵刚度矩阵Cj + c? c?0卜=一。2 C2 +C3-。30-qqkx + kj k> 0 *Jk=k、 k, + k3 k%0 _仆 %（4.8）式及（4.9）式都是系统的有阻尼受迫振动方程式。若在上述系统中忽略阻尼，又无干扰力的作用，则系统的无阻尼自由振动方程式可用矩阵直接写出：同出+同%=。(4.10)其中，零

11、列阵(null column matrix)为：、0o=o >0若系统的自由度数为n,则位移列阵上、速度列阵*、加 速度列阵%,以及干扰力列阵2均为n阶列阵。而质量矩阵M、 阻尼矩阵c,以及刚度矩阵k则为n阶对称的方阵。二、影响系数法如前所述，多自由度系统振动方程的矩阵表达式为：陶+卜+kW=p因此，若能设法求出系统的质量矩阵m,阻尼矩阵©和刚度矩 阵k,就可以直接按上式写出系统的运动微分方程式。m、©、k的一般形式为:"%叫2r W21机22网 1 ;(4.11)mn "?“2 %(4.12)勺 k2n(4.13)上列矩阵中的任一无米nv 5、k

12、ij分别代袅第i出标和第j出标之间的惯性、的后和时度的粕互影响，故分别称之为惯性影响系数(inertia influence coefficient)> 阻尼影响系数(damping influence coefficient)和刚度影响系数(stiffness influence coefficient)0惯性影响系数、阻尼影响系数和刚度影响系数的定义分别为:mu使系统的第j坐标产生单位加速度，而其它坐标的加速度为零时，在第i坐标上所需加的作用力大小。Cij使系统的第j坐标产生单位速度，而其它坐标的速度为 零时，在第i坐标上所需加的作用力大小。kij使系统的第j坐标产生单位位移,而其它

13、坐标的位移为零 时，在第i坐标上所需加的作用力大小。现以图4所示的三自由度系统为例，来说明确定影响系数和系 数矩阵的方法。图4.1三自由度弹簧一旗或系统1 .确定峋及k设玉=1,=/=。即使mi产生单位位移，而m2、m3不动。则在mi需要加大小等于匕+后的力,以克服弹簧要和网的弹性阻 力。由于g的位移为正方向，所以弹簧乙和22的弹性阻力的方向为 负。因此在im上所需加的作用力的方向为正。故附=匕+&。图4.1三自由度弹簧一质IS系统为了在xi=l时，使X2=0,即mi产生单位位移时，m2不动，则需 要在m2上加大小等于k2的力，以克服弹簧k2对m2作用的弹性力k2o 由于im的位移方向

14、为正，所以弹簧k2被压缩，其对m2作用的弹性 力方向为正。因此在上所需加的作用力的方向应为负，故 k?i =一勺 °当X1=1时，要使X3=0o mi产生单位位移时，H13不动。由于m3 和g之间没有直接的联系，而且n产生单位位移时，m?又不动， 所以弹簧k3没有变形，m3没有受到弹性力的作用。因此要使X3=0, 并不需耍在m3上加力，故攵31二°。设工2 = 1,X=七=°。即使m2产生单位位移，而mi、m3不动。 要使m2产生单位位移，必须克服弹簧网及网的弹性阻力- （& +心）。 故m2上所需加的作用力攵2+七，即氏22=%2+自。图4J三自由度强繁

15、一质景系统为了在X2=l时，使X1=o,则必须克服弹簧k2作用于m的弹性力k2。故在m上所需加的作用力一女2 ,即12 = %2。为了在X2=l时，要使X3=0。则必须克服弹簧k3作用于m3的弹 性力k3。故在m3上所需加的作用力为一女3，即攵32=一左3。图4.T三自由度腐簧一质盘系统再设当=1,X=。即使H13产生单位位移，而H11、1112不 动。要使m3产生单位位移，必须克服弹簧心的弹性阻力-攵3,故 在m3上所需加的作用力3,即03二七。图4.1三自由度强赞一责最系统为了在X3=l时，X2=0,则必须克服弹簧k3作用于m2的弹性力k3o故在m2上所需的作用力-3，即%23=一3。4凡

16、 P? P、图4J 三自由度弼簧一质量系统当X3=l时，要使xi=Oo由于m3与mi没有直接的联系，故勺3 = 0。图43三自由度弹簧一质量系统将以上求得的全部刚度影响系数按下角标写成矩阵形式，就得到系统的刚度矩阵:跖k k=攵21 %22 k1323k2 +3_女30-砥砥2 .确定Cij及C设X=1,=13 =。即使产生单位速度，而m2及013速度 为零。为了使n产生单位速度，则必须克服阻尼器C和C2的阻尼 力-（G +。2）由=-（G + G）。因此在mI上所需加的作用力为C +。2， 故 c” =C +G。图4.1三自由度弹簧一质量系统为了在为二1时,工2 =。即使mi产生单位速度时，

17、m2的速度仍 为零，则必须克服阻尼器C2作用于012的阻尼力C2,因此在m2上所 需加的作用力为一02,故。21二一。2。图4.T三自由度弹簧一质检系统当=10寸，要使也=0°即使n产生单位速度时，m3的速度仍为零，由于m3与im没有直接的联系，因此不需在m3上加力，故C31=O。图4.1三自由度弼簧一质量系统同理，当设=1，%=*3 二°时，可以求出:又设七=1，=%二°时，可以求出。33 = G ； 。23 = 一G ； 。13 =。图4.1三自由度弹簧一技量系统将以上求得的全部阻尼影响系数按下标写成矩阵形式，就得到系 统的阻尼矩阵:G1 C12 C13 。=

18、。21。22。23 =G1 032 。33G + C-y 0_ C、 C、+。3 。30 -cC3 .确定mij及m设工=1，元2 =元3 = °。即使mi产生单位加速度，而012及m3加速度为零。要使明产生单位加速度，则必须克服im施加作用力mix二町,故"I” =m o图4.T三自由度弹簧一质检系统当吊=1时,要使% =无3 = °。则对口12和013都不能施加作用力，故加21 =°，加31 =°o图4.1三自由度叁簧一质检系统同理，设无2 =1，K =无3 =。时，可以求m22 = m2; ml2 = 0;= 0又设元3 = LX =无2

19、 = °时，可以求出33 = ?3；机13 = °；机23 =。I - X a L , - X.Jt 图4,T三自由度弹第一质量系统将以上求得的全部惯性影响系数按下标写成矩阵形式，就得到系 统的质量矩阵:叫叫2叫3叫0021622加230吗031加32叫3_00?3由此可见，应用影响系数法可以根据系统的动力学模型直接求出 各个系数矩阵，从而即能直接写出系统振动方程的矩阵表达式。J+G一仁0加00S , X34,柔度影响系数(flexibility influence coefficient)0和柔度矩阵(flexibility matrix)以上讨论的应用刚度矩阵来建立系统

20、运动的作用力方程，对许多振动系统是方便的。但是对于分定余统，有时采用东绕运动的住秒方程则更为简倭而，于求解。为此，我们引进符号5,并称之为刚度系数为k的弹簧的柔度系数。即(4.14)现在我们先用一个较为简单的三自由度无阻尼系统来说明位移方程的建立方法。图4.2三自由度无出尼系统在图4.2所示的系统中，三个弹簧的柔度系数各为：c 1c 1cl百二厂必二厂修二厂。先假设作用在各质量上的力P、P2、P3是K K,)K ?静止作用上去的，则系统各质量的位移可表示为：Xs 二用仍 + 6 + A)(4.15)X2s 二4仍 + P2 +3)+2(2 + A) ,X3s =/(4+丹 +鸟)+。(旦 +)

21、+&/式中，4、必为质量叫、加2、加3的静位移。此时可按 矩阵形式写成:上式还可简写成如下形式:6s =同尸P1P2 (4.16)(4.17)式中，引称为柔度矩阵，它的一般形式为:西苑伪3同二 J21 622邑（4.18）_31 4 %4/柔度影响系数一一在余统的第j生标上作用一单住力时, 在第i坐标上所产生的伐秒大小。直接从系统的动力学模型中求出柔度矩阵同。即对系统的每一 个坐标依次作用一单位力，计算各坐标所产生的位移，来导出全部柔 度影响系数，从而得出柔度矩阵。先在质量mi上作用一单位力，而在im，im上作用为零。此 时，各质量所产生的静位移分别为31o根据柔度影响系 数的定义，可

22、以得出=2 =&1 =6。再在质量m2上作用一单位力，而在m1、im上作用力为零。此时，mi、m2、im产生的位移分别为4, =4,6” =6 +&,e2 =伪 +心。最后在质量13上作用一单位力，而在质量皿、m?上作用力为零。此时，m2> m3产生的位移分别为济3 二乐邑+&33 =科 +62+83。将以上求得的全部柔度影响系数按下标写成矩阵形式，其形式与(4.16)中柔度矩阵完全一致。柔度影响系数5炉=5.”，这种对称性在刚度矩阵中也同样 存在。实际上，对于线性弹性系统，柔度矩阵和刚度矩阵都总是对称 的，即都是对称阵(symmetric matrix) o在方

23、程(4.16)中，假如Pi、P2、P3不是静力，而是动力作用的力，则系统的惯性力就必须计入。这时(4.16)式应改写成:或写成:P 一*P) 一"1/P、 m3x3(4.19)6+当+& A-J 上式还可以简写成:6d +26 a(4.21)上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔度矩阵与 作用力的乘积。它也可写成:lrnx+x = 3P (4.22)（4.22）式是用柔度矩阵表示的多自由度无阻尼系统的运动方程。柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系同小（4.26）互为逆矩矩阵（inverse matrix）对于梁、轴等类型的系统，其柔度影响系数可以直接应用材料力 学的公式来

24、求出它的数值。叫例图4.4所示为一简支梁，梁上等距分布有集中m1、m2、m3。在mi、m2、m3上分别作用有动力pi、P2> P3o设梁的弯曲刚度为EJ,试用柔度影响系数建立系统运动的位移方程。“4/4(a)m2 m 3J t必 Uh 必 |图44具有三个篥中质必的筒支梁解：以三个集中质量mi、m2、nh离开其静平衡位置的垂宜位移 力、丫2、丫3为系统的广义坐标。由材料力学得知，当简支梁受P力作用时，其挠度计算公式（方程） 为.y =(/2 - x2 - Z?2),(0 < X < U)6EJIy 二 ZL因)3 +(/2 _2 k“ 6EJl_b(4.27)根据柔度影响系数

25、的定义，我们首先在坐标y1处作用一单位力，则在坐标yi、y2> y3处所产生的挠度即分别为di、°2i、。再在坐标y2处作用一单位力，则在坐标山、丫2、丫3处所产生的挠 度即分别为512、522、32 O最后在坐标y3处作用一单位力，则在坐标力、y2、y3处所产生的 挠度即分别为司3、§23、心3。根据（4.27）式可以计算出各柔度影响系数的数值为:768EJII/3768EJ71、76SEJ16K768EJ故系统的柔度矩阵为:911711 716 1111 9768EJ求出系统的柔度矩阵后，参照（4.20）式即可直接写出图4.4 （a）所示系统的运动位移方程式：pl

26、! L 9 11 7丫用町 0 0 同、当考虑东统旭危的作用时，多自由度有随危东统的运动性秒方程可得一般形式：mx+Jcx+ x = sp (4.28)§4-2多自由度系统的固有频率和主振型一、固有频率在上一章中己经分析过，通过求解系统的无阻尼自由振动方程，可以求得系统的固有频率。而多自由度无阻尼自由振动微分方程式的 一般形式为：MM+HW=° (4.29)设上列方程的解为：x=Ae'ant (4.30)式中，A是系统自由振动时，各个坐标上的振幅所组成的列阵, 称为振幅微量。即A=< 'a ,：(4.31)对(4.30)式分别求一阶和二阶导数，连同(4

27、.30)式一起代入(4.29)式，并经过简化后得：(4.32)解上列方程的问题，在数学上称为求特征值问题。显然要使A有非零解，则上式中A的系数行列式必须为零:(*)=det(同一确司)=0(4.33)上式也可写成以下的形式：叫位跖一吗2；心-小说deM。汕芦百 叫说右，-吗=0皿心一啊就勺2 -加2比3一儿痴（4.33）式和（4.34）都称为系统的特征方程或频率方程。将其展 2开后可得到0的n次代数方程式：八2 八2（一 1）, 八2（一2）. 八2 1八 +alCOn+ + 册-幽+册= 0 （4.35）式中，、生、。等系数都是局与项的组合。对于一个n个自由度的系统，求解其特征方程后，可以得

28、到 的n个正实根，这幼：的n个根称为方程（4.32）式的n个特征值， 也就是系统各阶固有频率的平方值。将这n个固有频率由小到大按次 序排列，分别称之为一阶固有频率（基频）、二阶固有频率、n 阶固有频率，即< Sn2 < .一 < nn（4.36）二、主振型求得系统的各阶固有频率后，将其中某一阶固有频率Gn,代回 （4.32）式，并加以展开：（伊-/周）a=。厂叫脸W" + （尤2 -叫2,）田+ h-呵冠欣）=02-和蜀)4"二 0(女21 -叫1晞)可)+ (*22 -M22% )W ' + +（储-/屐）4"+（岫-叫2*）心+k 一

29、叫尾W，=°(4.37)显然，上式是由n个齐次代数方程所组成的方程组。因此，从中 只能求得n个未知量4”）之间的比值，而无法求出人也君）， 的确定解。现在，我们将方程组（4.37）中划去其中不独立的某一式 （如最后一次），并将剩下独立的n-1个方程式中某一相同的用项 移到等式右边，即可得到下列代数方程组：仅11 - /% W"+（占2 -网2% W"+（kg -网.1说川2=也-叫叫即（局-吗尾）-吗2说用”+（% -叫“一说城） =-（攵2 -加2”说）心1仅n-ll -"-|解川"+ &2-12/ M" + （尤-11 一

30、加-"欣京）=如说）四（4.38）根据（4.38）式，就可以对A?,A?,4口求解，而求得的Ai 值（i=L 2,，n-1）都是与4?成正比的。这样我们就可以得到对 应与第r阶固有频率的n个振幅4? A?,之间的关系， 也就是系统按第r阶固有频率振动时各坐标的振幅比。我们把由这n个具有确定的相对比值的振幅所组成的列阵，称为系统的第r阶主振 型。即A（r）' a。.，" , ：（4.39）A9.若将系统的各阶固有频率依次代入（4.32）式，即可得到系统的 第一阶、第二阶、第n阶主振型：(4.40)可见,n个自由度的系统就有n个固有频率和n个相应的主振型。在数学上把这种

31、性质称为对应于每一个特征值8”,具有某一个特 征向量卜。例如图4.5所示的三自由度系统，已知叫=m2 =%=m，h =的=2%，后=03 =1,试计算此系统的固有频率和主振型。解：取质量 ?、加2、“3各自偏离平衡位置的位移为、工2、工3为广义坐标，则该系统的运动方程为：MM+M=°式中：tn = 0 m2 0=00 m3h + k） k, k=k2k2+k30-k3代入（4.32）得特征值问题Flk -1 2 -1 -00-130 LL故系统的特征方程为：3k - m *- k-k2k -mco0-k将上式展开，并简化后得：1mJ"解上式，得系统的三个固有频率:Ik3k%

32、二、一；必2=J ；tn 0 1 00 0 10 -I F 3 -1 0-ky=k -12 -1k.+k,0-13"1、一 、 ， 、o o A o1 0 < A? > = <0>014 o，L ，JJ0 一；- k=03k - m/q2-i<4=onJm)% = 2、怛mmm将一阶固有频率口 1,代回到系统的特征值问题的方程中，得:-k0 -A”/ 、02k-k-kM)A = V0-k3k k0t J3k-k-k0将上式展开：2攵4-川二0、_%不)+左硬_左理=0 >-痛+ 2烟=0令4=1,则") = 2碎=1同理，将S?2代回系统

33、的特征值问题的方程之中，可求出：令 A=1,则 42)=0a(2)=-1所以，对应于三个固有频率31、2、73,系统的第一阶，第 二阶，第三阶主振型列阵为：4("丁卜/1")=说同卜 (4.43)，)汴a"=V呷与4自 (4.44)将(4.44)式的两端转置得：%呻也昨说码皿必 (4.45)以(4.43)式减(4.45)式得：(说-说卜向"=。(4.46)22因nr 0ns ,必然有：a(呼同体)=0,()(4.47)以(4.47)式代回(4.43)式得：a卜口=0,(rws) (4.48)(4.47)式和(4.48)式表示了任意两个主振型之间的关系。(

34、4.47) 式称为主振型对质量矩阵的正交性，(4.48)式则称为主振型对刚度 矩阵的正交性。必须强调指出，主振型的正交性关系(4.47)式和(4.48) 式，只是在质量矩阵m和刚度矩阵k为对称矩阵时才有效。正交性的物理意义可以从能量羽点来加以解肄。根据分析力学的理论，多自由度系统的动能心与势能 力 可用 矩阵形式表达为：心=!闺1司6(449)(4.50)乙现假设京统同时存在两种主振动(即按固有频率和相应的主振型所作的振动),即:M = 4 次sin3/ + 0 )+勺 W sin(产 + % )(4.51)式中，0及卬均为常数。尸)这时，系统的动能T及势能U分别为:cos(9/ + 例)+

35、a， % cos(s/ +(pj? (a' ajconi cos(%/ + 夕J+ aj 巴.%. cos(%/ + %)二| W'屈A("d“ cos2(* + 化)+ ； 4上解为；若 cos? (%/ + %)乙+期：Tcos(q/ + ejcos(%/ + %)二;(a F6 sin(qM + ®)+ a，% sin(q/ + ?)攵 乙 (a% sin(/ + 0 )+ W 巴. sin(q/ + %)二 | 人口帚 sin2M/ + 0) 乙+1 a，阳a") a； Sin 2 (%. + %)+1 fc4' F 同 W&quo

36、t; + M，k/%,6 s in(“ + /)(4.54)由正交性(4.47)式和(4.48)式知(4.53)式和(4.54)式中的 最后一项为零，故得:%)-a7 1?a，"；% cos2 + 2二说 COS(喇 + )+卅" cos(%f +(P) 乙乙(4.55)4 = ； ak a,卜试 s in2 (%/ + /) 乙+ ； a，汴口匐 Sil? (%/ + %) 乙%)二| K#* sin(“ + %)+； K“w；j sin(%j + 乙乙(4.56)式中：%=a（邛同a,称为第i阶主质量;"）"川斗/司3,称为第j阶主质量；-=4（呼研

37、A”,称为第i阶主刚度；KW）, 称为第j阶主刚度；我们先来看一下主质量与主刚度之间存在什么关系：对（4.41） 式两边前乘卜得：卜烟A昨党在叶限骏）故K=M r或（4.57）这个关系式与单自由度系统的刚度、质量和固有频率的关系完 全相似。这就是说，当多自由度系统作第r阶主振动时，系统的第r 阶主刚度，主质量和第r阶固有频率之间的关系，就如同系统在作单 自由度系统振动一样。而单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能U分别为：t7=lz：7=iM2sin2（/ + ） a窈）T = Lm=L mA2- c os2+（P）（459）将（4.55）、（4.56）式分别与（4.58）、（4.5

38、9）式相比较，可以得出以下式:G=E+Tj(4.60)u =u +u乙1 J(4.61)式中，“、U分别代表系统仅作第i阶主振动时，系统的动能与 势能；Tj、Uj则分别代表系统仅作第j阶主振动时，系统的动能与势 能。(4.60)式和(4.61)式表明，多自由度系统同时存在两种主振动 时，系统的动能或势能分别是这两种主振动单独存在时，每种主振动 所产生的动能或势能之和，而计算多自由度系统每种主振动所产生的 动能和势能时，可将系统看成是一个具有某阶主质量和主刚度，并按 同阶固有频率及相应的主振型作振动的单自由度系统。由(4.55)、(4.56)式和(4.60)、(4.61)式还可得出：(+ 5 =

39、："屈2说 C OS2 (%/ + 0)+1 K.0； s in2 (q J + /)二。:叱 cos2(J + 0)+说 sin1%/ + g)(4.62)上式表明，对每一个主振动来说，它的动能与势能之和永远是个 常数。这就是说，在多自由度系统振动过程中，每一个主振动内部的 动能和势能可以互相转化,就是一个独立的单自由度系统振动时的情 况一样，而在各阶主振动之间都不会发生能量的传递。所以，主振型正交性的物理意义就是，各阶主振动之间的能量 不能符通，破此是独立的。*§4-3多自由度系统运动方程的模态分析法（说明）从（4.8）或（4.9）式可以清楚地看出，多自由度系统运 动方

40、程是一个二阶常系数线性微分方程组。系统有多少个自由度，方 程组中就有多少个方程。但解多自由度系统运动方程的因难还不在 于方程的数目较多，而在于各个方程之间有互相关联的耦合项。因此 求解多自由度系统运动方程时，用一种模态分析法。在介绍模态分析 法之前，我们先要搞清有关耦合的概念，并研究消除耦合的方法。一、惯性耦合与弹性耦合在前面我们讨论过的多自由度系统的运动方程，可以看出，质量 矩阵m都是对角阵。而刚度矩阵k和柔度矩阵5却都不是对角阵, 即出现了耦合项，这类耦合称为弹性耦合。为了说明系统运动方程中如何出现惯性耦合与弹性耦合的情况， 我们来分析一个有刚体存在的振动系统，如图4.6所示。该系统由一根

41、质量为m的刚杆和二个刚度为匕和k2的弹簧组 成。弹簧灯和k?分别支于刚杆的A点和D点。A点为支座的约束, 只允许刚杆在x-y平面内运动，而限制沿x方向的平动。C点为刚杆 的质量中心，k为绕通过C点的Z轴的转动惯量。B点则是满足 勺乙二女2,5的特殊点。如果在B点作用有沿y方向的力，系统仅产生 平动而不产生转动；若在B点作用有力矩，则系统只产生转动而无平 动。现在我们选取以下三组不同的广义坐标来分别写出系统的运动 作用力方程。(6)(1)取c点的垂直位移门和刚杆绕c点的转角凡为广义坐标。此时作用在刚杆上的各力为:匕、Tc作用于C点处的外力和外力矩；占(K 一/0)、69 +%)支承弹簧ki和k2

42、的弹性力;2%、I&C惯性力和惯性力矩；应用达伦培尔原理，得出系统的运动方程式：myc + ("1 + *2 )>C + (”2,2 kh Wc = Pc /a +(她一匕/力。kfpc =TC将上式写成矩阵形式：tn 0k、+k? k2l2 -k_°+ ,秘 k-k孟(4.65)上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即为两个 方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。is ,(2)取B点的垂直位移yB及刚杆绕B点的转角为广义坐标。 此时，外力Pb及外力矩Tb作用于B点。刚杆质心C的惯性力为 M"+A。)。惯性力矩为小程。仍应用达伦培尔原理

43、，得出系统的运动方程式，并将匕乙二34关 系式代入，整理后得：出 8 + ml30B + (匕 + 七)% =七将上式写成矩阵形式：m加3 1仔8,h+k?。% Pr(4.66)m/3 Ic + mil 0B J上式质量矩阵是非对角线矩阵o k.lk2ll JU J kJ (4.67),反映在方程组中，即为两个方程mhyb + (，c +晅b + (kJ： + k?l；Mb = Tb通过惯性力项互相耦合，故称为惯性耦合。(3)取A点的垂直位移y,及刚杆绕A点的转动名为广义坐标。此时，外力Pa及外力矩Ta作用在刚杆的A处，则系统的运动方程为:myA + ml.0A + + k2 )yA + k2

44、l 0A = PA 1矶 yA+(Ic+ 初：/A + k21yA + kfa=Ta(4.68)将上式写成矩阵形式：+ k2 k2l k2l(4.69)上式中，质量矩阵和刚度矩阵均为非对角阵，反映在方程组中， 即为两个方程之间既有惯性耦合，又有弹性耦合。由以上分析可以看出，同一个振动系统可以选用不同的广义坐标 来建立它的运动方程。但所选的坐标不同时，系统的运动方程的形式 和耦合情况也不同。这就表明，运动方程的耦合并不是振动系统所固 有的性质，而只是广义坐标选择的结果。至于运动方程的耦合情况， 则可用方程的系数矩阵是否为对角阵来判断。这就使我们联想到，假 如能选择这样一组广义坐标,使运动方程的各

45、个系数矩阵均成为对角 阵,就能使运动方程的结构就都和一个单自由度系统的运动方程完全 相同，因而就很容易求解。我们仍用图4.6所示的系统来进行分析。图4.6中所选用的两组 坐标）小 ”和）小 生之间存在以下关系（见图4.7）：力="一/1%上列方程组表明Hr ”这一组变量可用）'c、/这组变量的线 性组合来表示。f|=1包 ycJ-X图4.7两组坐标之间的关系将上列方程组写成矩阵形式:推广到n维的一般情况时，则有：x = Aqn （4.70）即变量玉(，=1,2,/)可以用变量%0 = 1,2,的线性 组合来表示。(4.70)式称为然性变换，它是一个非奇异的n阶常数 方阵，是一

46、个使变量房变换为外的变换因子。例如，无阻尼多自由度系统按广义坐标x建立的运动方程为：MM+HM=p (4.71)对上式作如下的线性变换：x=防因为A是一个常数方程，故同次+卜5=尸将以上各式代入(4.71)式得：小陶+同砸=与将上式两端前乘AT,得：卬同团+卬网碰=卬仍令称为系统在广义坐标q上的质量矩阵；K = ArklAf称为系统在广义坐标q上的刚度矩阵； 2=aHp,称为系统在广义坐标上的激振力列阵。这样，即可得到系统用广义坐标加表达的运动方程：Mq+Kq = Q(4.72)可见，通过坐标变换，可以将原来用广义坐标X表达的运动方 程变换为用另外的广义坐标q表达的另一个运动方程。这种变换并

47、未改变系统的性质，但却改变了运动方程的耦合情况。那么，能否找到这样一个线性变换矩阵，用它对原方程进行坐标 变换后，使运动的所有系数矩阵m、k都同时对角线化，从而使运 动方程完全消除耦合呢？理论分析证明，符合以上要求的变换矩阵是 存在的，它就是由系统的n个主振型组成的矩阵，这样的矩阵称为模 态矩阵。*二、模态矩阵由于主振型对质量矩阵m和刚度矩阵k都具有正交性，因此以 主振型组成的矩阵作为线性变换矩阵，对系统的原方程进行坐标变 换，可使m和k同时对角线化。我们把由系统的n个主振型（即主模态）按阶次排列成的一个n 阶方阵称为模态矩阵（或振型矩阵），以剑表示。丁卜也叫一 4 aa".（）二:

48、：（4.73） A a. a（）己知系统以广义坐标x表示的原运动方程为：屈职+同上=尸现以模态矩阵对上式作线性变换：x = q则闺=互故以新的广义坐标表示的系统运动方程为：叩图团+时H胭=时P（4.74）或伏4= （4.75）（4.（75） 为东统的槎杰方我（modal equation）o式中：M =行，称为模态质量矩阵；K=M ki。,称为模态刚度矩阵。现在我们来分析一下，M和K是否为对角阵。W =心山必访如叫卜叫 心加次次跖虫A（呼同.） 一=卜如*A4即胸叫A-D A叫,同kA叫皿小）从上列矩阵中可以看出，所有非对角线上的都符合主振型对质量矩阵的正交性，故均等于零，而对角线上的元素则均

49、不为零。因此模 态质量矩阵可写成以下形式:a周a0 - 0ay.o0 - a 叫(Ta 叫o-=M0 Mn_式中：H =(4(呼同a。(r = 1,2,-,«)称为第r阶模态质量（或主质量）。M由各阶模态质量组成的对角阵，即模态质量矩阵（modalmass matrix)同样可以证明:(4.77)式中：k = aSka。(尸=12称为第r阶模态刚度（或主刚度）。K由各阶模态刚度组成的对角阵，即模态刚度矩阵（modal stiffness matrix)由此可见，以主振型组成的模态矩阵作为线性变换矩阵，对系统 的原方程进行坐标变换，可以使方程中的质量矩阵和刚度矩阵同时对 角线化。因此在

50、变换后所得到的模态方程中已经完全消除了各方程之 间的所有耦合项，因而便于求解。*下面再进一步分析同一阶模态的模态质量和模态刚度的关系：将各阶固有频率和相应的主振型代入系统的特征值问题（4.32） 式（同-硝司）能=0,得网=局司域口b =*17必旧卜叫=尾如叫将以上n个方程集中在一起，仍写成矩阵形式：长。=旬引 （4.78）式中：团=心屋）卜叫2102._0 吮将（4.78）式前乘得：即引（4.79）(r = 1,2,/!)(4.80)(r = 1,2,(4.81)上式表明，第r阶固有频率平方的值;等于第r阶模态刚度Kr与第r阶模态质量Mr的比值。这个关东式与单I由度余况的刖度、质量和期有充率

51、之间的关东龛金相似。从(4.81)式可以看出系统的固有频率随刚度和质量变化的趋势, 即当系统的刚度增加，也就是刚度矩阵k中的元素值增大时，模态刚 度K值随之增加，则。值也随之增加，即固有频率值提高；反之， 则固有频率值要降低。当系统的质量增加，即质量矩阵m中的元素 值要增大时，模态Mr值随之增加，则。值将减小，即固有频率值 降低；反之，则固有频率值要提高。上述这种固有频率随系统刚度与 质量变化的趋势，不管系统的自由度数是多少，都是同样存在的。三、模态坐标及正则坐标1 .模态坐标(modal coordinate)如前所述，以模态矩阵同对系统原方程进行坐标变换，可使以 广义坐标X表示的运动方程改

52、变为以新的广义坐标表示的，完 全消除了耦合项的运动方程。我们把这组新的广义坐标«称为模态 坐标。下面我们来分析一下这组新的坐标一一模态坐标的物理意义：、 % 心a叫a叫,=0 a")+ 夕2 a + + 4" a 叫=£分”)(4.82)r=l可以看出，原广义坐标XI、2、X的任意一组位移值， 都可以看成是由n个主振型按一定的比例组合而成的，也就是说，系 统的任何振动情况都是各阶主振型按一定比例叠加起来的。这n个比 例因子就是n个新广义坐标/、-、/的值。若G=l,而其它各外都为零，则由(4.82)式得： &=1.”+0.#)+一. + 0.4()=川1)即这时系统各坐标值正好与第一阶主振型值相等,这就是第一个 模态坐标G取单位值的意义。其它各模态坐标值的意义也