2007年数一真题试题+答案

1、2007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题, 只有一个选项符合一、选择题： 110小题,每小题 4分,共40 分,下列每题给出的四个选项中 题目要求 , 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)当 x 0 时,与 x 等价的无穷小量是 ( )(A) 1 e x. (B) ln 1 x . (C) 1 x 1. (D) 1 cos x . 1x答案： (B) .(2) 曲线 y 1 ln(1 ex ) 渐近线的条数为 ( )x(A) 0.(B)1.(C)2.(D)3.答案： (D) .(3)如图,连续函数 y f ( x)在区间 3, 2, 2,3 上的图形分别是直径为 1的上、下半圆

2、周,在区间 2,0 , 0,2 上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周 , 设 F(x)f (t)dt, 则下列结论正确的是 ( )5F(3) F(2) .45 F( 3) F( 2).43(A) F(3) F( 2). (B)43(C) F( 3) F(2) . (D)4答案： (C) .(4)设函数 f(x)在x 0处连续 ,则下列命题错误的是( )(A)若 lim xf (x)存在,则 f (0) 0.0x(B)若 limx0f(x) f( x)存在,则 f (0) 0. x(C)若 limf (x)存在,则 f (0) 存在.(D)若 limf(x) f( x)存在,则f (0)存在

3、x0xx0x答案： (D) .(5)设函数f (x) 在 (0, ) 上具有二阶导数,且f (x) 0,令unf(n) (n 1,2, ) ,则下列结论正确的是 ()(A)若 u1u2 , 则 un 必收敛 .(B)若 u1u2 , 则 un 必发散 .(C)若 u1u2,则 un 必收敛 .(D)若 u1u2, 则 un 必发散 .答案： (D) .(6)设曲线 L: f(x,y) 1( f (x, y)具有一阶连续偏导数 ), 过第象限内的点 M 和第象限内的 点 N , 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 , 则下列积分小于零的是 ( )(A)f (x,y)dx.(B)f (x,y)

4、dy.(C)f (x,y)ds.(D)fx (x,y)dx fy (x, y)dy.答案： (B) .(7)设向量组 1, 2, 3线性无关 ,则下列向量组线性相关的是 ( )(A) 1 2 , 23, 3 1. (B)1 2 , 23, 3 1(11)4(C) 1 2 2, 2 2 3, 3 2 1.(D) 1 2 2, 2 2 3, 3 2 1 ., 每次射击命中目标的概率为 p(0 p 1), 则此人第 4 次射击恰答案： (A) .211100(8) 设矩阵 A1 21, B 010,则 A与 B( )112000(A)合同,且相似 .(B)合同,但不相似 .(C)不合同 , 但相似

5、.(D)既不合同 , 也不相似答案：(B) .(9)某人向同一目标独立重复射击好第 2 次命中目标的概率为 ( )(A) 3p(1 p)2. (B) 6p(1 p)2 . (C)223p2(1 p)2 . (D)226p2(1 p)2 .答案： (C) .(10)设随机变量 ( X ,Y)服从二维正态分布 ,且 X与Y不相关 , fX(x),fY(y)分别表示 X,Y的概率fX (x) fY(y)密度 , 则在 Y y条件下 , X 的条件概率密度 fX Y(x y) 为( )(A) fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x) fY(y). (D) 答案： (A) .二、填空题： 1116

6、 小题,每小题 4分,共24 分,请将答案写在答题纸指定位置上12 x13ex dx1x答案：(12)设 f(u,v)为二元可微函数 , z f(xy,yx),则 x答案：z y x y 1 y x xx f1(xy,yx)yxy1 f2(xy,yx)yxln y(13)二阶常系数非齐次线性微分方程 y 4y 3y 2e2x 的通解为 y . 答案： 非齐次线性微分方程的通解为 y C1ex C2e3x 2e2x .(14)设曲面 : x y z 1, 则 (x y)dS .答案： (x y)dS ydS 4 3 3 .3301000 0 1 0 3(15)设距阵 A, 则 A3的秩为.000

7、10000答案： r A3 1.1(16) 在区间 (0,1)中随机地取两个数 , 则这两数之差的绝对值小于 的概率为 .23答案： 3.4三、解答题： 1724 小题,共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .(17) (本题满分 11 分)求函数 f(x,y) x2 2y2 x2y2, 在区域 D (x,y) x2 y2 4,y 0 上的最大值和最小值 . 答案： 函数在 D上的最大值为 f (0, 2) 8 ,最小值为 f (0,0) 0.(18) (本题满分 10 分)2计算曲面积分 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy,

8、其中 为曲面 z 1 x2 y (0 z 1)的上侧 .答案： I .(19) ( 本题满分 11 分 )设函数 f(x), g(x)在 a,b 上连续 ,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值 ,又 f(a) g(a), f (b) g(b),证明：存在(a,b),使得 f''( ) g''( ).证明： 设 (x) f(x) g(x),由题设 f ( x), g ( x)存在相等的最大值 ,设 x1 (a,b), x2 (a,b) 使 f(x1) max f(x) g(x2) max g(x) .a.b a.b若x1 x2,即 f ( x)与g( x)在同

9、一点取得最大值 ,此时,取x1,有 f ( ) g( )；若 x1 x2, 不妨设 x1 x2,则 (x1)f(x1) g(x1)0,(x2) f(x2) g(x2)0, 且(x)在 a,b 上连续,则由零点定理得存在(a, b),使得( )0,即f( ) g( )；由题设 f (a) g(a), f(b) g(b),则 (a) 0(b),结合 ( ) 0,且 (x)在 a,b上连续 ,在 (a,b) 内二阶可导 ,应用两次使用罗尔定理知：存在 1 (a, ), 2 ( ,b),使得 ( 1)0, ( 2) 0 .在 1, 2 再由罗尔定理 ,存在( 1, 2)，使 ( ) 0.即 f ( )

10、 g( ).(20) ( 本题满分 10 分 )设幂级数 anxn在( , )内收敛,其和函数 y(x)满足 y 2xy 4y 0, y (0) 0, y (0) 1. n02(I) 证明 an 2an,n 1,2, .n1(II) 求 y(x) 的表达式 .答案： (I) 证明：对 yaxn n ,求一阶和二阶导数 ,得 ynanxn 1,yn(n 1)anxn 2,n0 n1 n 2代入 y 2xy 4y 0,得 n(n 1)anxn 2 2x nanxn 1 4 anxn 0 .n 2 n 1 n 0即 (n 1)(n 2)an 2xn2nanxn4anxn 0.n 0 n1 n 02a

11、2 4a0 0 2n 1,2, , 从而 an 2an,n 1,2, .(n 1)an 2 2an 0, n 2 n 1 n2(II) y xex .(21) ( 本题满分 11 分 )设线性方程组(2) 有公共解 , 求 a得x1 x2 x3 0x1 2x2 ax3 0 (1) 与 方程 x1 2x2 x3 a 1 2x1 4x2 a x3 0值及所有公共解 .答案：当 a 1时,(Ab)1000110010000000, 所以方程组的通解为 k(1,0, 1)T ,k 为任意常数 , 此即为11方程组 (1) 与 (2) 的公共解 .当 a 2 时 , (Ab)10001100111000

12、10, 此时方程组有唯一解(0,1, 1)T, 此即为方程组 (1) 与(2) 的公共解 .(22) ( 本题满分 11 分 ) 特征向量 .记 B A5 4A3 E,其中 E为 3阶单位矩阵 .设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1(1, 1,1)T 是 A 的属于 1 的一个(I) 验证 1是矩阵 B的特征向量 ,并求 B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵 B .答案：(I) 由 A 1 1,可得 Ak 1 Ak 1(A 1) Ak 1 1 1, k是正整数 ,则B 1 (A5 4A3 E) 1 A5 1 4A3 1 E 1 1 4 1 1 2 1,于是

13、1 是矩阵 B 的属于特征值 1 2 特征向量 .所以 B的所有的特征向量为：对应于 1 2的全体特征向量为 k1 1,其中 k1是非零任意常数,对应于 2 3 1的全体特征向量为 k2 2 k3 3,其中 k2,k3是不同时为零的任意常数2 0 0 0 1 1 (II) B P 0 1 0 P 1 1 0 1 .0 0 1 1 1 0(23) (本题满分 11 分)2 x y,0 x 1,0 y 1, 设二维随机变量 ( X ,Y)的概率密度为 f(x, y)0, 其他 ,(I) 求 P X 2Y ；(II) 求Z X Y 的概率密度 fZ(z).答案：11 x 1 5 2 7(I) P X 2Y0 dx 02 (2 x y)dy 0 (x x2)dx.0 8 242z z2,(II)fZ (z) z2 4z 4,0,(24) (本题满分 11 分)0 z 1,1 z 2,其他.设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 f (x; )1,2,1, x 1, 其 中 参 数 (0 1) 未 2(1 )0, 其他知, X1,X2,.Xn是来自总体 X的简单随机样本 , X是样本均值(I) 求参数 的矩估计量 ；22(II) 判断 4X 是否为 2的无偏估计量 , 并说明理由 .