(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(二)

1、希望对大家有所帮助。高数中的重要定理与公式及其证明 (二) 在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理， 由于最近 比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上 1)泰勒公式(皮亚诺余项)设 函 数 f (x) 在 点 x0 处 存 在 n 阶 导 数 ，则在x0 的 某邻域内成立2' x x0''f(x) f (x0) x x0 f '(x0)2!0 f ''(x0) .nx0f ( n) (x0) o x x0 n!点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数( sin

2、 x,cos x,ln(1 x), ex,(1 x)a)在 x 0处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期， 如果基础不是很好的话， 两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。 用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。证明：但由于证明过程中所令 R(x) f (x)f ( x0) x x0f (x0 )2x x02!f (x0 ) .nx x0n!f (n)(x0 )则我们要证明 R( x) o x x0 n由高阶无穷小量的定义可知，需要证明limx x0 xR(x)nx00。这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的，因此用洛必达法则

3、得f '( x) f '(x0)x x0f ( x0 )x x0n1f (n) (x0)lximxR(x) nx x0 x x0 nlimx x0n1n x x0再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零， 则。不难验证该过程可以一直进行下去，运用过 n 1次洛必达法则后我们可以得到并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法R(x)lim n limx x0 x x n x x0(n 1)( n 1)limx x0x x0 f (n) (x0) n! x x0 f (n) (x0)n!(x) f (n 1)(x0)(x) f (n 1)(x0) n! x x0(n由于 f (x) 在

4、点 x0 处存在 n 阶导数，由导数的定义可知 lim x x01) (x) fx x0(n 1)(x0)f(n)(x0)代入可得 lim R( x) nx x0 x x0 n0。证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用 n 次洛必达法则后得到lximx R(x) n x x0 x x0 nlim f (n)(x) f (n)(x0) 0x x0(n)错误的原因在于定理条件中仅告知了f (x) 在点 x0处存在 n阶导数， 并没有说明在其它点处的 n 阶导数 是否 存在 。就算 其 它点 处的 n 阶 导数也存 在 ， f (n)(x) 也 不一 定连 续，(n)lim f (n)(x

5、) f (n)(x0) 0也不一定成立。 x x0希望大家注意。 2)泰勒公式(拉格朗日余项)设函数 f (x) 含有点 x0的某个开区间(a,b) 内有直到 n 1阶导数，则对 (a, b) 内任意一点x，都成立f (x) f (x0 ) x x0 f (x0 )x2!2x0nx x0f (x0 ) .n!f ( n)( x0) Rn(x)其中 Rn (x)n1x x0【点评】： 证明：(n同上。1)!(n 1) (，其中介于 x 和 x0之间。令 R( x)f(x)f ( x0 )x x0f (x0 )2x x0''0 f '' (x0) .2! 0nx x

6、0n!f (n)(x0 )Pn 1( x)x x0则我们需要证明R(x)Pn 1(x)(n 1)( ) 。(n 1)!由于 R(x0) Pn 1(x0) 0 ，因此 R( x)Pn 1( x)R(x) R( x0)Pn 1(x) Pn 1 (x0)易知， R(x), Pn 1(x) 满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，x 和 x0 之间存在一点 1使得 R(x) R(x0)R''(1) R'( 1)1Pn 1(x) Pn 1(x0) Pn' 1( 1)n 1 Pn( 1)n1而 R'(x) f ' (x)f '(x0) x x0

7、 f ''(x0 ) .x x0 f (n) (x )f( x0 )(n 1)! 0因此，此时仍然有R'(x0) Pn(x0) 0 。则R' ( 1)1 R'( 1) R'(x0) 。n1 Pn( 1 )(n 1) Pn( 1) Pn(x0)易知， R'(x),Pn(x)仍满足柯西中值的条件。 因此，由柯西中值定理可知， 在 1和 x0之间存在一点2使得1 R' ( 1) n 1 Pn ( 1)R'(x0)Pn(x0)1 R''( 2 )(n 1) Pn'( 2)R''( 2 )n

8、1 nPn 1 ( 2)由于 1在x和x0之间，因此 2也在 x和x0之间。容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过 n 1 次柯西公式后即可得到R(x) f(n 1)( )。Pn 1(x) ( n 1)!证毕 注：在计算极限或确定无穷小量的阶时， 一般用到皮亚诺余项的泰勒公式； 在做证明题时用 拉格朗日余项比较多。 两种泰勒公式的条件是不同的， 其中拉格朗日余项的条件更强， 结论 也更强。 这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。3)定积分中值定理设函数 f(x)在区间 a, b上连续，则在积分区间 a,b上至少存在一点使得下式成立：ba f (x )d

9、x f ( )( b a)a 【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，它在是 证明微积分基本定理的基础， 在整个微积分中具有极大的理论意义。 同时， 证明题中对该定 理的应用也比较常见， 通常会和微分中值定理结合使用， 考生首先应该熟记该定理的条件和 结论。 另外，考试中还出现过与该定理证明方法类似的证明题。因此， 该定理的证明过程也 是需要掌握的。 该定理的证明过程教材上有， 因为比较重要， 也为了方便大家，在这里写一 下我的证明过程证明：由于 f (x) 在区间 a, b上连续，由闭区间上连续函数的最值定理可知：f(x) 在区间 a,b 上 可以取到最大与

10、最小值。设最大值为 M ，最小值为 m。则有 m f(x) M ,x a,bb则有 mdxbf (x)dxbMdx ，也即bm(b a)f ( x)dx M (b a)aaabaf ( x) dx两边同时除以(b a) 可得maM。bab f ( x) dx 可知 a 是介于函数 f (x) 在区间 a,b上的最大值 M 和最小值为 m 之间的一个数。 ba使得： f ( )bf ( x) dx aba由闭区间上连续函数的介值定理可知， f (x) 能取到 m, M 上的一切数。因此在积分区间 a,b 上存在一点b也即 f (x)dx f ( )(b a) 。a证毕附：下面是 02 年数三的一

11、道证明题，证明方法与本定理很类似，大家可以试一试。【02 年数三 6分】：设函数 f(x),g(x)在 a,b 上连续，且 g(x)0 。试利用闭区间上连续函数的性质，证明存bb在一点 a,b ，使得 f (x) g(x)dx f ( ) g(x)dx 。aa4)积分上限函数的导数x如果函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，则变积分上限函数 (x) f (t)dt在a,b 上可导， a并且它的导数是' d x'(x) f (t)dt f (x),a x b dx a【点评】：这个定理的重要性不用强调了，考试中也直接考到过它的证明。由于是对定理的证明，因此要证明 (x) 的导

12、数等于f ( x) 只能用定义，对于大家强化导数的定义是一个很 好的训练。 证明：x a, b由导数的定义可知，本定理等价于证明lim (x x) (x)x 0 xf ( x) 。而 limx(x x) (x) lim a0 x x 0xxf (t)dt a f (t )dtaxlixm0xxf (t) dt由于f (x) 在区间 a,b 上连续，因此由定积分中值定理可知：存在介于 x 与 x x 之间的xx使得f ( t) dtxf ( ) ，x则 lim (x x) (x) lim f ( )。x 0 x x 0由于 介于 x与 xx之间，因此当x 0 时，x。又由于 f (x) 在区间

13、a,b 上连续，可知lixm0 f ( )x0lim f ( ) f ( x) 。0也即 lim (x x) (x) f(x) 。 x 0 x由导数的定义可知 '( x) ddxxf (t)dt f (x),aa证毕5)牛顿 莱布尼兹公式果 函 数 F(x) 是 连 续 函 数 f (x) 在 区间 a,b 上 的 一 个 原 函 数 ， 则f (x)dx F (b) F(a)是因为它用一个简单的公式就成功地联它是微积分a【点评】：牛顿 -莱布尼兹公式又名微积分基本定理， 系起了微积分中最重要的两个概念： 微分和积分， 极大地简化了定积分的计算。 最核心的定理之一， 其简洁明了的形式也

14、使它被认为是微积分几百年研究历史中最漂亮的结 论之一！ 该定理和上一个定理实际上是等价的， 只需要用到一个函数在同一区间上的不同原 函数间仅相差一个常数。大家不妨自己推证。6)柯西 施瓦兹不等式设函数 f (x),g(x) 都在区间 a,b 上可积且平方可积(注意：这里没有说连续)则有bf (x) g( x) dx af 2( x)dx g2(x)dx aa点评】：这个公式是教材上的习题，在考试时可以直接用。该公式在 f (x), g(x) 连续时也成立，但证明方法有区别， 通过这个例子可以说明应用牛顿 莱布尼兹 公式时检验被积函数是否连续的重要性。证明：法一： 令 F (x)f (t)g (

15、t)dtx 2 x 2a f 2(t)dt a g2(t)dt, x aaa,b则 F (a) 0 。而' x 2 x 2 2 x 2 F'(x) 2f(x)g(x)a f(t)g(t)dt f2(x) ag2(t)dt g2(x) a f2(t)dt a a a2f(x)g(x)f(t)g(t) f 2(x)g2(t) g2(x)f 2(t)dt2f(x)g(t) g(x)f(t) 2dt 0因此 F(x) 在区间 a,b 上单调递减。则有 F(b) F (a) 0。整理即得所需不等式。证毕注：就本题来说，这个证明过程是错的。因为本题没有说 f (x),g(x)连续，因此 不

16、能用变上限积分求导公式，也就是说对 F ' ( x)的计算是不合法的。把这个证明过程而且利用函数单调性的方法在放在这里是因为在考研范围内我们遇到的函数大多是连续的， 积分不等式的证明中也是很有代表性的。b2法二： 易知，t R，有f (x) tg(x) dx 0 。将括号打开可得b2f ( x) tg( x) dx at2a g2 (x)dx2tf (x)g(x)dx f 2 (x)dx aa将该式看作变量t 的二次函数， h(t) 。可知， h(t) 0 对任意的实数 t 都成立。由二次函数的相关理论可知，该二次函数的判别式小于或等于零b 2 b 2 b 2也即 2 f ( x) g

17、( x)dx 4 g 2( x)dx f 2 (x)dx 0 a a a整理即得所需不等式。证毕注：由于这种证明方法所用到的条件比 f(x),g(x)连续弱，因此当 f(x), g(x)连续 时，该证明过程也成立。 但这个证明过程所用到的方法不具有代表性， 大家了解 一下即可。7)二元函数偏导数存在与可微的关系如果函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 可微，则函数在该点连续且两个偏导数均存在，并且z z x z y o x2 y2 xy【点评】：学到多元函数时第一个困扰我们的就是多元函数的可微与可导不再等 价，它们与连续性的关系也变得更为复杂了。 下面希望能通过几个定理与反例来 将这

18、个关系说清楚。证明：由可微的定义可知存在只与(x,y)有关而与 x, y实数 A,B使得z A x B y ox2 y2 在点 (x, y) 附近成立。现证明 A z ，由偏导数定义可知，这等价于证明 A lim f(x x,y) f (x,y) x x 0 x由于 z A x B y ox2 y2 成立，因此 f(x x, y) f(x, y) A x o x则 limx0f (xx,y) f (x,y) xA x o x limx0ox lim x0由高阶无穷小的定义可知o lim x 0 x0 。因此，有lim f(x x,y) f (x,y)。 x0也即 A同理，可证 B证毕z y也就是说： 偏导数连续的函数必然可微， 可微的函数必然连续并且存在偏导数， 但连续和偏 导数存在这两个概念本身是互不包含的 (也就是说连续的函数不一定存在偏导数， 偏导数存 在的函数也不一定连续) 。注二： 例如：1)函数 f (x, y)y ，在 (0,0) 连续，但偏导数不存在。2)又如函数 f (x, y)因为 fx'(0,0)xy 2,x22xy220, x2 y2 lim f(x,0) f (0,0) x0，在( 0，