1知识讲解极坐标方程

1、极坐标方程【学习目标】1能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 2理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 3能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点 O，由点 O 引出一条射线 Ox，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通 常取逆时针方向） ，这就构成一个极坐标系，定点 O叫做极点，射线 Ox 叫做极轴要点诠释： 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素 2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点 P 的位置可以由 OP

2、 的长 度 和从 Ox轴旋转到 OP的角度 来确定，（ ， ）叫做点 P 的极坐标，叫做点 P 的极径， 叫做点 P 的极角极点的极坐标为（ 0， ），其中可以取任何值要点诠释：的始边是极轴，它的值一般是以弧度为单位 允许< 0（ 1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角 的终边随着 的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的数量；点 M的极径 表示点 M与极点 O的距离 |OM|，因此 0；但必要时（ 2）在极坐标系中，与给定的极坐标（， ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个如一点的极坐标是（ 0），那么这一

3、点也可以表示为（2n ）或（ ， （2n1）（其中 n 为整数）般情况下，我们取极径 0，极角 为 0< 2 （或< 0）如果我们规定 > 0，0<2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系3相关点的极坐标1）同一个点： 如极坐标系中点 4, ， 4,664, 464, 664, 6 2 ，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上， 4, 2k （ k Z）都表示点 4, 于是我们有， 一般地， 极坐标（ ， ）与（662k ）（k Z）表示平面内

4、的同一个点特别地，极点O的坐标为（ 0，R），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4， 0）、 4,64,34, ，但它们的极角不2相等， 也不再是终边相同的角， 所有这些点在以极点为圆心，以 4 为半径的圆上， 因而 （ ，） 这里为定值， 0,2 ） 点的轨迹就是以极点为圆心，以 为半径的圆3）对称点：（ ， ）关于极轴的对称点为（2 ），关于极点的对称点为（），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（）4）共线的点：如果极坐标为（），其中 为常数， > 0

5、，则表示与极轴成 角的射线4 极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点P1( 1, 1) ， P2( 2, 2) ，则 |P1P2 | 12 2 1 2cos( 1 2) 特例：当 1 2，|P1 P2 | | 1 2 |要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； 极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴正半轴重合； 两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点 P的极坐标为 （ , ） ，直角坐标为 （x, y），则极坐标化直角坐标： x cos , y sin直角坐标化极坐标： 2 x2 y2 ,t

6、any（x 0）x这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系 要点诠释：2 2 2 y由 2 x2 y2 求 时， 不取负值；由 tan (x 0) 确定 时，根据点( x， y)所在的象限取正x角当 x0 时， 角才能由 tan y 按上述方法确定当 x=0 时，tan 没有意义，这时又分三种情况：x3 (1)当 x=0，y=0 时， 可取任何值；( 2)当 x=0 ，y> 0 时，可取；(3)当 x=0，y< 0 时，可取要点三、曲线的极坐标方程1 曲线的极坐标方程的概念( 1)一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f ( , )

7、 0 ，并且坐标适合方程 f( , ) 0的点都在曲线 C上，那么方程f ( , ) 0 称为曲线 C 的极坐标方程在直角坐标系中， 曲线可以用含有变量 x、y 的方程表示； 同样地， 在极坐标系中， 曲线可以用含有 、这两个变量的方程 f ( , ) 0 来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线 ，设点 P 的一极坐标为 , ，那么点 P 适449合方程 ，从而是曲线上的一个点， 但点 P的另一个极坐标 ,9 就不适合方程 了所以在 44极坐标系内，确定某一个点 P是

8、否在某一曲线 C上，只需判断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可2. 求曲线极坐标方程的步骤建立适当的极坐标系，设 P( , ) 是曲线上任意一点由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以 省略要点诠释：( 1)求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角 之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识，利用三角形的面积相等来建立 、 之间的关系(2)今后我们遇到的极坐标方程多是( ) 的形式，即 是

9、的一个函数3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程( ) 的图形的对称性：若 ( ) ( ) ，则相应图形关于极轴对称；若 （ ） （ ） ，则图形关于射线 所在的直线对称；若 2（ ） （ ） ，则图形关于极点 O 对称3 圆的极坐标方程（ 1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（ a，0）处，且圆过极点 O（如图所示） P 为圆与极轴的另一交点， M （ , ） 为圆上的动点，连接 OM和 MP，由平面几何知识知 OM MP在直角三角形 OMP中，由三角知识可得2acos坐标 （ , ）满足此方程的点也在该圆上因此，得该圆的方程为a，0），半2acos 也可以先写出该圆的直角坐标方

10、程，再化为极坐标方程如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（径为 a，故圆的直角坐标方程为（x a） 2+y 2=a2，即 x 2+y2=2ax由坐标变换公式得 2 2a cos即 2acos 这样就得到前面推导出的极坐标方程所以，方程 2acos 就是圆上任意一点极坐标 （ , ） 所满足的条件， 另一方面， 我们也可以验证，坐标适合方程 2acos 的点都在这个圆上2）圆心在极点的圆如果已知 O的半径为 r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O发出的一条射线为极轴建立极坐标系，这时圆的极坐标方程为，即直线 AA的极坐标方程为那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径4 直线

11、的极坐标方程 （1）过极点的直线的极坐标方程 如图所示，直线 AA过极点且与极轴成的角为（ 0）和（ 0）特别地，我们规定 为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为 （ R），或（R）（ 2）过点 A（a， 0）（a> 0）且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程如图所示，设 M （ , ） 为直线 l 上的除 A 外的任意一点连接 OM，则有 AOM为直角三角形并且AOM= ，|OA|=a ， |OM|= ，所以有 |OM |cos |OA| 即 cos a ，化为直角坐标方程为 x=a 3）过点 A a, 且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程2如图所示，设 M 为直线上任意一点，其极坐标为

12、 M （ , ） ，连接 OM，则有 |OA|=a ， |OM|=|OA|AOM ，在直角三角形 AOM中，我们有 |OM | cos22cos2a ，即 sina ，化为直角坐标方程为 y=a 【典型例题】OM类型一、极坐标系中的点的表示例 1 写出右图中各点的极坐标（> 0， 0< 2）【思路点拨】 根据极坐标定义：若 M 是平面上任一点，表示 的长度，表示以射线 Ox 为始边，射线 OM为终边所成的角【解析】 由图可知：34A（5，0），B 2,6 ，C 4, 2 ，D 5,34 ，E（2，），F 5,43G 3.5,53【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系

13、中的位置，要准确写出它的极坐标，对应 的极角可以限定一个范围，如 0 ，2）当> 0 时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标举一反三：变式 1】下列各点中与2, 不表示极坐标中同一个点的是（ ）611A 2, B6131123 2, C 2, D 2,666答案】 C。由点的极坐标定义可得。变式 2】 设点 A 2, ，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线， 分别求点 A 关于极轴、 3直线 l 、极点的对称点的极坐标(限定0，)答案】 如图所示关于极轴的对称点为 B 2,32关于直线 z 的对称点为 C 2, 23关于极点 D的对称点为D 2, 23变式3】在极坐标系中，点 (, )与(

14、-关于极轴所在直线对称- )的位置关系为关于极点对称关于直线 = ( R) 对称2重合答案】A 与点 M(, ) 关于极轴对称的点有 (,- ) 或 (- ) ，关于= 所在直线对称的点有2(- ,- )或( ,-) ，关于极点对称的点有 (-, ) 或(,+)。类型二、极坐标与直角坐标互化例 2( 1)将下列点的极坐标化成直角坐标：(2,) ； ( 4,3 ； ( 4,)。2)将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在0,2) 之间的极坐标：(3, 3) ；( 2, 2 3) 。思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。解析】11) x 2 cos( ) 21， y 2sin( )3 2

15、3(1, 3) 。所以极坐标系中点(2, 3)的直角坐标为3，x 4 cos(4 ( 1) 4 ， y2 sin( ) 2 0 0 ，所以极坐标系中点4, ) 的直角坐标为(4,0) 。2)2 3， tan yx又点 (3, 3) 在第一象限，所以6 所以直角坐标系中点 (3, 3) 的极坐标为 (2 3, ) 。6( 2)2 ( 2 3)2 4， tany 2 3 32x又点 ( 2, 2 3) 在第三象限，所以3 所以直角坐标系中点 ( 2, 2 3) 的极坐标为 (4, 4 ) 。3总 结 升 华 】 把 点 M 的 极 坐 标 () 化 成 直 角 坐 标 (x,y) 时 ， 关 键

16、是 依 据 关 系 式x cos , y sin , 2 x2 y2 ，把极坐标方程中的 , 用 x,y 表示。22 xy 把点 M 的直角坐标 (x,y)化成极坐标 ( , ) 时，关键是依据关系式y ，且注意由tan y,x 0xtany 求 时，还须结合点 (x,y)所在的象限来确定的值，一般取 0 2 。x举一反三：变式 1】点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为( )2A(2, 3) B (2, 3) C (2, 3 ) D (2, 2k3),(k Z)2答案】 C (2,2k 3 ),(k Z )都是极坐标34 变式 2】将点 M 的极坐标 (2, ) 化为直

17、角坐标。4 1 4 3答案】 x 2cos 2 ( )1 ， y 2sin 2 ( )3 。3 2 3 2点 (2,4 ) 的直角坐标为 ( 1, 3)2变式 3】 ( 1)把点 M的极坐标 8, 化成直角坐标；3(2)把点 M的直角坐标( 1， 1)化成极坐标答案】( 1) x 8cos 2 4， y 8sin 2 4 3 ，33点 M的直角坐标是 ( 4,4 3) (2)应用极坐标与直角坐标的互化关系可得：x2 y212 ( 1)22 tan y 11x17(点 M在第四象限) 4点 M的极坐标为2, 7 2,4变式 4】在极坐标系中，已知三点 M (2,)， N (2,0) ， P(2

18、3, ) ，361)将 M ,N , P三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断 M ,N , P三点是否在同一直线上【答案】(1) M(1, 3)， N(2,0) ， P(3，3)(2) kMN kNP3 ,所以三点共线 .类型三、圆的极坐标方程3例 3. 求圆心在 A 2, 处并且过极点的圆的极坐标方程OB=4， OM= ，2思路点拨】 如图所示，设 M ( , ) 为圆上除 O、直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程则在 Rt BOM中，由|OM|=|OB| · cos MOB，即可得MOB解析】如图所示，设 M ( , ) 为圆上除 O、 B 外的任意一点，连 OM、 MB，则有

19、BMO ，从而 BOM为直角三角形，所以有 |OM|=|OB|cos MOB，24sin即 4cos【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系 中圆上的点的坐标、所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也 可以先求出相应的直角坐标方程，再利用 x cos ， y sin 代换，也较为方便举一反三：【变式 1】在极坐标系中，圆心在 ( 2, ) 且过极点的圆的方程为( )(A) 2 2cos (B) 2 2cos(C) 2 2sin (D) 2 2 sin【答案】 B【变式 2】在平面直角坐标系中，以点 (1,1) 为圆

20、心， 2 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点， 以 Ox 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为( )A2 2cos() B 42 2sin( 4)C2 2cos(1) D 2 2sin( 1)答案】B圆的直角坐标方程为22(x 1)2 (y 1)2 2，化为 极坐标方程为 （cos 1)2 ( sin 1)2 2， 2 2cos( ) 0 ，4曲线 2 2cos(） 0 也过极点，4 2 2cos() 0与 2 2 cos() 0等价，对应的极坐标方程为2 2cos( ) .4变式 3】在极坐标系中，半径为 1的圆 C的圆心坐标为 C（3, ），求圆 C的极坐标方程； 6答案】法一：（ 1

21、）设 P（ , ）在圆上，则 |PC | 1，|OP|，|OC|3，POC | 6 |，由余弦定理得 1 2 9 2 3cos| | 6即 6 cos（ 6） 8 0，为圆的极坐标方程。法二：（1）圆心 C（3, ） 的直角坐标为 （323,32），圆的极坐标方程： （整理得 2 (3 3 cos2即 2 6 cos（ ）6 类型四、直线的极坐标方程 例 4. （ 2016 海淀区校级模拟）sin( + )4=2=2，则点 AB.答案】 B解析】 直线方程为可得直角坐标方程为：则符合条件的圆方程为 （x2 3 22 (y 32)2cos2 ( sin3 sin ) 8 0 ，0.在极坐标系中，

22、直线4 ）到直线 lC. 2- 2sin（ + 4）= 22 ，展开化为：x+y=1，1，3232)2 1l 的方程为的距离是（D. 2+ 222( sin + cos )= 222则点 A（2，- ）化为 A（2cos（ - ）， 2sin（ - ），即 A（ 2 ，- 2 ），4 4 4所以点 A 到这条直线的距离 = 2- 2-1 = 2 ，故选 B。22举一反三：【变式 1】求适合下列条件的直线的极坐标方程：1)过极点，倾斜角是；32)过点 P(5, ) ，并且和极轴垂直。答案】1)由图知，所求的极坐标方程为3(2)法一：由图知，所求直线的方程为cosR)；5cos4法二：由图知，所求

23、直线的方程为x 5 2 ，即 cos2522变式 2】求( 1)过点A(2, ) 平行于极轴的直线。 4 3 2)过点 A(3, ) 且和极轴成 角的直线。 34答案】(1)在直线 l 上任取一点 M ( , )，因为在直角 三角形 MOH中|MH|=|OM|sin 即sinA(2, 4 ) ，所以|MH|=22，sin4所 以 过 点 A(2, ) 平 行 于 极 轴 的 直 线 为4sin 22)设 M( ,) 为直线 l上一点。A(3,3)，OA =3，AOB 3由已知 MBx，所以OAB 34 312，所以OAM5712 12又 OMAMBx在?MOA中，根据正弦定理得33sin(4)

24、 sin712又 sin 712sin( 4 3)23将 sin(3) 展开化简可得 (sin cos4所以过 A(3, 3 )且和极轴成 34 角的直线为： (sin cos ) 323 23类型五、 极坐标方程与直线坐标方程互化例 5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。2241) y4x ( 2)3）22cos 1( 4)cos22解析】1）将 xcos ,ysin 代入 y2 4x 得( sin )2 4cos 化简得sin 24sin2)tan yx3)cos22tan31y 3 化简得：x cos2y 3x(x 0)化简得y24(x1)4）由2 cos2 41。即cos

25、 2 所以x2 y2 x 2 。2 2 22 (cos2sin 2 ) 422所以 x2 y2【总结升华】（ 1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的 正半轴重合，两种坐标系的长度单位相同（ 2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0 <2范围内求值（ 3）将直角坐标方程化为极坐标方程最后要注意化简（ 4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形举一反三：变式 1】极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆B

26、两条直线C一条直线和一个圆D一个圆答案】 Ccos 4sin cos ,cos0,或4sin , 即 2 4 sin则k22,或 x y 4y2变式 2】如图，极坐标方程 =asin（a>0） 所表示的曲线的图形是（ ）答案】 C2如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程: =asin ， 2= asin ,x2 2 2+y =ay,x +(y-a2a) 2=, 图24形显然是以 （0, a ） 为圆心， a 为半径的圆 . 选 C.22【高清课堂： 极坐标方程 406449 例题 3】变式 3】1）把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状2acos (a 0) ； 9(s

27、in cos ) ； 4 ； 2cos3 sin5答案】 2acos两边同时乘2得 2 2a cos ，2+y2=2ax整理得 x 2+y2 2ax=0，2 2 2 (x a) 2+y2 =a2它是以（ a， 0）为圆心，以a 为半径的圆两边同时乘22(sin cos ) ，即 x +y =9x+9y ，又可化为292x2821，它是以 29,92 为圆心，以 9 2为半径的圆2将 =4 两边平方得2 2 22=16，即 x2+y2=16它是以原点为圆心，以4 为半径的圆 2 cos 3 sin5 ，即 2x3y=5，是条直线高清课堂： 极坐标方程406449 例题 2】变式 4】将下列直角坐

28、标方程化为极坐标方程 x2+（y2）2=4； x 2+y 2=4x ； x+y=2 ； 【答案】x=2代入 x代入 y cos cosx2+(y 2)2=4 可化为 x2+y2=4ycos ， ysin 得 24 sin0，即4sinsinsin22变式 5】已知圆的极坐标方程是答案】圆的普通方程是： （x所以弦长为 2 6 .cos 得2224(coscos ，即3sin )4cos5 0 ，求直线0 被圆截得的弦长 .1)2(y9 ，与直线 y0 的交点为 （ 61,0) ，( 6 1,0)，变式 6】已知直线的极坐标方程为sin2 ，求点A（ 2， 7 ）到这条直线的距离244答案】si

29、n( 4)2可化为 (sin cos cos24sin )42，2即 sincos1 ，利用极坐标与直角坐标的互化公式cossin2y得直线的直角坐标方程为20。点 A（ 2， 7 ）化为直角坐标为472cos42sin 742，点 A 的直角坐标为2( 2, 2) ，利用点 P(x0 , y0)到直线 Ax By C 0 的距离公式| Ax0 By0 C | ，得点 A(2，7 ）到这条直线的距离为 d | 2412( 2) 1|122。2类型六、 极坐标方程的综合应用例 6（ 2016 兰州模拟）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ，），半径r= ）求圆 C 的极坐标方程；），直线 l

30、 的参数方程为t 为参数），直线）若 0，l 交圆 C 于 A 、 B 两点，求弦长 |AB|的取值范围cos=，xsin ，=y2=x2+y2，【思路点拨】 （）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用 进行代换即得圆 C 的极坐标方程 .）的直角坐标为（ 1， 1），（）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于 的三角函数求解 【解析】（） C（ ， 圆 C 的直角坐标方程为（ x 1）2+（y1） 2=3 化为极坐标方程是 22（cos+sin） 1=0）将代入圆 C 的直角坐标方程（ x1） 2+（y1）2=3，得( 1+tcos )2+(1+tsin )2=3， 即 t2+2t(cos +sin) 1=0 t1+t2=2(cos +sin)，t1?t2=1|AB|=|t 1 t2|=2 0 ， 2 0，），cos=，xsin ，=y2=x2+y2，进行代 2 |AB<| 2 即弦长 |AB| 的取值范围是 2 ，2 ） 【总结升华】极坐标问题利用直角