2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

1、1. 设 x 2.3149541. ， 取 5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150f x1,x22. 设一阶差商f x2f x11 43f x3f x2f x2, x3x2 x12 1，615422则二阶差商f x1,x2,x311/6T3. 设 X (2, 3, 1) , 则 |X|214，| X |3。 p494. 4求方程x2 x 1.25 0的近似根，用迭代公式x x 1.25值x0 1 ， 那么x1 。1.5y' f(x,y)5解初始值问题y(x0 )y0 近似解的梯形公式是 。 hyk f xk , ykf xk 1 , yk 1211f xn , xn 1, xn

2、 2A6、5 1 ，则 A的谱半径27、设f (x) 3x 5, xkkh, k0,1,2,. , 3 和f xn , xn1, xn 2 ,xn 30收敛8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为 严格对角占优阵- 塞德尔迭代都9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为O(h)。y10、 为了使计算101 (x 1)2(x 1)3 的乘除法运算次数尽量的少, 应将表达式改写成113y 1012x1 x1 x1二、计算题1、已知的 满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0， 1收敛？1(x)x ( (x) 3x)x (x)，可得 x 3x(x) 3x，211

3、1因 (x)( (x) 3) ， 故 (x)( x) -312221故xk 1(xk )(xk ) 3xk , k=0,1, 收敛。22、 试确定常数A， B， C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为1016,B ,a99Gauss型的？AC求积公式具有5 次代数精确度，它是Gauss型的x1 2x2 3x3 142x1 5x2 2x3 1813、 利用矩阵的LU分解法解方程组3x1 x2 5x3 2023y' 8 3y, (1 x 2)4、写出求解下列初始值问题y(1) 2的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。

4、5. 设 S 2 gt2， 假定 g 是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当 增加时 的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：6.近似值，要使截断误差不超过解：f(x)e (S)er(S)t1212S S gt gt 0.1gte (S) 0.1gt 0.2 1212 t 2gt 2gt te (S) , er (S) .在xx上给出 f x e 的等距节点函数表，若用二次插值求e 的10 ， 问使用函数表的步长应取多少？x (k)xe , f (x) e4e, x 4,4, 考察点x0 h, x0, x0 h及 xx0 th, t 1.则R2(x)f(3)( )3!(x (x0h)( x x0

5、)x (x0 h)4 e3!4 e6(t 1)h th (t1)h t(t1)(t 1) e4h3 3!2 h3.33( 4,4).7.y f x 的如下数据xi 0.110.001.501.80f (xi ) 1.23 0.101.171.58用插值法计算约为多少时f x (小数点后至少保留4 位) 0.2008作辅助函数gxf x 则问题转化为为多少时，gx此时可作新g xi 的函数表。由f x 单调连续知g x 也单调连续，因此可对gx 的数值进行反插。的xg (y)0.11 0.097345(y 2.23) 0.451565(y2.23)(y1.10)0.255894(y 2.23)(

6、y 1.10)(y0.17)故xg(0) 1.321497.8.设函数fx在区间0,3 上具有四阶连续导数, 试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P (x)，使其满足P(0) 0， P(1)1，P'(1)P (2) ,1并写出误差估计式。由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式P (x)，p3(x)5327x 7xx22由题意可设R(x)f(x) p3(x) k(x)x(x1)(x2)为确定待定函数kx，作辅助函数：g(t)f (t) p3(t) k(t)t(t1) (t2)则g t 在 0,3 上存在四阶导数且在0,3 上至少有5 个零点txg ( ) 0，从而得故误差估计式为

7、t，1 f4!R(x)使t 为二重零点)k(x)反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(4) ( )。1 f(4) ( )x(x 1)2(x 2)(0,3)4!9、利用Remez算法，计算函数p2(x (要求f (x) sin ，在区间0 ， 1 上的二次最佳一精度为0.0005) .10、用最小二乘法求一个形如计算均方误差。ya bx 的经验公式，使它与下列数据拟合，并x1925313844y19.032.349.073.387.811、 确定下列求积公式中的待定参数， 求积公式所具有的代数进度。1hh f (x)dxA f( h) A f(0) Af(h);2)h2h f(x)dxA1f(h)

8、 A0f (0)A1 f (h);3)11 f (x)dxf( 1)2f (x1) 3f(x2) ;34)h0 f (x)dxhf(0)f(h) ah2f'(0)2f'(h).使其代数精度尽量高，并指明所构造出的解： （ 1）三个参数，代入A1 1hA 1 A0 A1 2h324 f(x) 1,x,x2,h(A1 A1) 0A0h3223h2(A1 A1) 23h3A1 1h3h3 h 3 h 3 h4 h 4 h 4 x dx ( h) (h) x dx ( h) (h)h33 h33hh4hh f (x)dx f ( h) f (0)33f （h）具有三次代数精度2）三个参

9、数，代入f(x) 1,x,x2,A18hA 1 A0 A1 4h34hA 1 hA1 0A0h32216 3( h )A1 h A13 hA1 8h2h 3 8h 343 8h 3Q x dx ( h) h 0(h)02h3332h x4dx2h64h558h3h(h)444 h 0438h3 (h)16h532h2hf(x)dx83hf( h) 43hf(0) 83hf(h)具有三次代数精度11(3)当 f(x) 1时 , 1f(x)dx 31f( 1) 2f(x1) 3f(x2).有两个参数,令f(x)x,x2精确成立2x13x21x1 0.68990x10.2899022或2x12 3x

10、22 1x20.12660x2 0.526601 x3dx111 f(x)dx f( 1)11f(x)dx f( 1)332x13 3x232 f (0.68990) 3f( 0.12660)/ 32f( 0.28990) 3 f (0.52660)/ 3均具有 2次代数精度h1hh(4)f (x)1,x时 ,有 1dx 1 1 0, xdx 0故令 f (x) x2时 ,求积公式精确成立2h ah 2 (1 1).h2 h221x2dx0 h2 ah 22 0 2h a .f (x)x3时 , 0hx3dx h20 h3 1h22 0 3h24 hh 4 h23f(x)x4时 , 0 f (

11、x)dx2h0h4 1h2 0 4h3.故只有三次代数精度.12. 对线性代数方程组和高斯赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。2x x x 1x1 x3 5x46x2 4x3 x4 8x1 3x2 x3 3 设法导出使雅可比(Jacobi ）迭代法13.设线性方程组为ax ax ba11a220a21 x1a22 x2b21)证明用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛， 要么同时发散。2)14.写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式yx1) y(0)y, 0 x 1;1;' 3y 0 x 1;2) y (1 x), 0