函数的最大最小值精品

1、函数的基本性质函数的基本性质 最大最小值最大最小值t( )f tO2 41 02 01 623 51 28下图为某天的气温下图为某天的气温f(t)随时间随时间t变化图变化图,请指出单调区间。请指出单调区间。 0,2 , 10,16 , 20,24 2,10 , 16,20最高气温：最高气温：_最低气温：最低气温：_12 C 3 C 递增区间递增区间递减区间递减区间一、最大值的定义：一、最大值的定义：一般地，设一般地，设函数函数f(x)的定义域为，如果存在的定义域为，如果存在实数满足：实数满足：（）对于任意的（）对于任意的那么，我们那么，我们称称M是函数的最大值是函数的最大值。;)(,MxfIx

2、都有00(2),().xIfxM 存存在在使使得得可以这样理解：可以这样理解：函数的最大值是所有函数的最大值是所有函数值中最大函数值中最大的一个，并且的一个，并且是是能够取到能够取到的。的。四、四、最小值的定义：最小值的定义： 一般地，设一般地，设函数函数f(x)的定义域为，的定义域为，如果存在实数满足：如果存在实数满足：（）对于任意的（）对于任意的;)(,MxfIx都有00(2),().xIf xM存存在在使使得得可以这样理解：可以这样理解：函数的最小值是所有函数的最小值是所有函数值中最小函数值中最小的一个，并且的一个，并且是是能够取到能够取到的。的。xyO1 3142、函数、函数 在在_上

3、为增上为增函数，在函数，在_上为减函数上为减函数;图象有图象有_(最高（低）最高（低） )点点，坐标为，坐标为_.223yxx 观察下面函数的图象，并回答问题观察下面函数的图象，并回答问题,4xR y 对任意对任意所以所以 是所有函数是所有函数值中最大的值中最大的4y 故函数故函数 有最大值有最大值( )f x4 , 1 1 , 1, 4最高最高当一个函数当一个函数f(x)的图象有最高点时，就说的图象有最高点时，就说函数函数f(x)有最大值。有最大值。思考：函数思考：函数f(x)的定义域为的定义域为I，如图所示，如何描述常数，如图所示，如何描述常数M是函数的最大值呢是函数的最大值呢?3、函数、

4、函数 在在_上为增函上为增函数，在数，在_上为减函数；图象有上为减函数；图象有_(最高（低）最高（低） )点点，坐标为，坐标为_.223yxx 观察下面函数的图象，并回答问题观察下面函数的图象，并回答问题xyO1 314 ,4xR y 对任意对任意所以所以 是所有函数是所有函数值中最小的值中最小的4y 故函数故函数 有最小值有最小值( )f x4 , 1 1, 最低最低 1,4 当一个函数当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说的图象有最低点时，就说函数函数f(x)有最小值。有最小值。下列函数是否存在最大值、最小值？下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处函数在何处取得最大值和最小值取得最大

5、值和最小值,并求出其值。并求出其值。(1)2,()yxxR(2)2,(13)yxx(3)2,(13)yxx没有没有在在x=1时取得最小值时取得最小值2；在在x=3时取得最大值时取得最大值6在在x=1时取得最小值时取得最小值2；没有最大值；没有最大值2(4)2,yxx xR1(5),yxRx 1(6),1,5yxx在在x=1时取得最小值时取得最小值-1;没有最大值没有最大值没有最小值；没有最大值没有最小值；没有最大值在在x=5时取得最小值时取得最小值 ;在在x=1时取得最大值时取得最大值 115练习：求函数的最大值和最小值。练习：求函数的最大值和最小值。Rxxxy, 32) 1 (25 , 2,

6、 32)2(2xxxy 1, 3, 32)3(2xxxy5 , 3, 32)4(2xxxy如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则，则函数函数y=(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a)，在，在x=b处有处有最最大值大值f(b) ；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在，在区间区间b，c上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x) 在在x=b处有处有最小值最小值f(b)。三、利用函数单调性判断函数的最大三、利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的值的方法方法 ：例例2:已知函数已知函数 (1)求证求证f(x)在区间在区间2,

7、6上是单调递减上是单调递减;(2)求函数的最大值和最小值。求函数的最大值和最小值。 2,2,61fxxx) 1)(1()(2) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是于是)()(, 0)()(2121xfxfxfxf即所以，函数所以，函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数. 12xy因此因此,函数函数 在区间在区间2,6上的两个端点上分别取上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是时取最大值，最大值是2，在在x=6时取最小值，最

8、小值为时取最小值，最小值为0.4 .12xy先说明函数在区间上先说明函数在区间上是减函数，复习一下是减函数，复习一下判定函数单调性的判定函数单调性的基本步骤。基本步骤。利用函数的单调性来求函数的利用函数的单调性来求函数的 最最大值与最小值是一种十分常用的大值与最小值是一种十分常用的方法，要注意掌握。方法，要注意掌握。解：任取解：任取x1, x2 2,6 ，且，且x1x2小结：求函数最大（小）值的方法：小结：求函数最大（小）值的方法：（1）图象法：）图象法：函数的最大值在最高点取得。（2）利用）利用函数的单调性函数的单调性：先确定或证：先确定或证明单调函数的单调性及相应的单调区明单调函数的单调性

9、及相应的单调区间，间，再求函数在何处取得最大值或最再求函数在何处取得最大值或最小值。小值。注意：注意：两种方法经常结合应用两种方法经常结合应用求函数求函数 的最大值的最大值. 241612()yxxxR 解：解： 22416124228yxxx 如图，函数如图，函数 在在 上增函数，上增函数，在在 上是减函数。上是减函数。 ,2 2, ( )f xxyO228所以，所以， 时时2x max28y hmts 2( )41 61 2h ttt xyO例例3：“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的的高度高度 与时间与时间 之间的关系之间的关系为为 ，那么烟花冲出后什么，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到少（精确到1 m）？）？解：解： 22( )416124228h tttt 如图，函数