高等数学课件：v-9-3二重积分的应用

1、高等数学第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用一、体积、面积一、体积、面积二、曲面的面积二、曲面的面积三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量五、平面薄片的对质点的引力五、平面薄片的对质点的引力高等数学例例1 1.)()0(24222222立立体体的的体体积积含含在在圆圆柱柱面面内内的的部部分分所所截截得得的的被被圆圆柱柱面面求求球球体体 aaxyxazyx解解 如图如图,由对称性有由对称性有.2,442222成成的的闭闭区区域域轴轴所所围围及及为为半半圆圆周周其其中中xaxyDdxdyVxyxaD 一、体积、面积一、体积、面积高等数学 cos2ar

2、a2aD 0故故来表示来表示可用不等式可用不等式而而.20 ,cos20 arD rdrdVDra2244rdrrada cos20222044)(3223323 a高等数学例例2 2可可用用定定积积分分表表示示为为所所围围成成的的区区域域面面积积双双纽纽线线yxyx222)(22 402cos2)(dA 402)2(cos21)(dD 402cos4)(dB 402cos2)(dC答：（答：（A）高等数学 问题的提出与解决问题的提出与解决把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计

3、算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU高等数学实实例例一一颗颗地地球球的的同同步步轨轨道道通通讯讯卫卫星星的的轨轨道道

4、位位于于地地球球的的赤赤道道平平面面内内，且且可可近近似似认认为为是是圆圆轨轨道道通通讯讯卫卫星星运运行行的的角角速速率率与与地地球球自自转转的的角角速速率率相相同同，即即人人们们看看到到它它在在天天空空不不动动若若地地球球半半径径取取为为R，问问卫卫星星距距地地面面的的高高度度h应应为为多多少少？通通讯讯卫卫星星的的覆覆盖盖面面积积是是多多大大？二、曲面的面积二、曲面的面积卫星卫星hoxz高等数学设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面过过上上为为yxfyxMS

5、，则则有有为为；截截切切平平面面为为截截曲曲面面轴轴的的小小柱柱面面，于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以dAdsszd 如图，如图， d),(yxMdAxyzs o .dAds 高等数学,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1高等数学设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.)()(122dzdxxyzyAzxD 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(

6、zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;)()(122dydzzxyxAyzD 同理可得同理可得高等数学求求球球面面2222azyx ，含含在在圆圆柱柱体体 axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积. 由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是221 yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx例例3 3高等数学面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0222014ardrrada.4222aa cosara1D 0高等数学求求由由曲曲面面azyx 22和和222yxaz )0( a所所

7、围围立立体体的的表表面面积积. 解解 解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 例例4 4高等数学 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a,:222ayxDxy 高等数学),(yx 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，

8、它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系的的重重心心的的坐坐标标为为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心高等数学当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx

9、 ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心高等数学设设平平面面薄薄板板由由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴轴围围成成，它它的的面面密密度度1 ，求求形形心心坐坐标标 解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy例例 5 5高等数学 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形

10、心坐标为所求形心坐标为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，高等数学 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处 ， 质质 量量 分分 别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12.四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量高等数学,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密

11、密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y高等数学设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量. 解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy 例例 6 6 高等数学 babydxxdy0)1(02 .

12、1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2 .1213 ab 高等数学已已知知均均匀匀矩矩形形板板（面面密密度度为为常常数数）的的长长和和宽宽分分别别为为b和和h，计计算算此此矩矩形形板板对对于于通通过过其其形形心心且且分分别别与与一一边边平平行行的的两两轴轴的的转转动动惯惯量量. 解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx,hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb例例 7 7高等数学将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyx

13、hbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2 .123 hb 高等数学薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx

14、,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力高等数学薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxyyxfFDy.)(),(

15、23222 dayxyxafFDz为引力常数为引力常数f高等数学求求面面密密度度为为常常量量、半半径径为为R的的均均匀匀圆圆形形 薄薄片片：222Ryx ，0 z对对位位于于 z轴轴上上的的 点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a 解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz23222)(),( dayxafD23222)(1oyzxFdrrardafR 0232220)(1例例 8 8高等数学drrardafR 0232220)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa高等数

16、学几何应用几何应用：立体的体积、平面区域：立体的体积、平面区域 的面积、曲面的面积的面积、曲面的面积 物理应用物理应用：重心、转动惯量、：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识） 小小 结结高等数学练习题练习题.)0(cos,cos之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的重重心心求求位位于于两两圆圆babrar 高等数学ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答高等数学.75),(75| ),(.

17、2222xyyxhxyyxDxoyyxyx 小小山山的的高高度度函函数数为为，其其底底部部所所占占的的区区域域为为面面，面面所所在在的的平平面面为为设设有有一一小小山山，取取它它的的底底四四.),(),(),().1(000000的的表表达达式式，试试写写出出最最大大值值为为的的最最大大？若若记记此此方方向向导导数数上上什什么么方方向向的的方方向向导导数数面面上上的的一一点点，问问该该点点沿沿平平为为区区域域设设yxgyxgDyxM.),()1(75).2(22试试确确定定攀攀岩岩起起点点的的位位置置大大值值的的点点达达到到最最中中的的上上找找出出使使的的边边界界线线即即要要在在的的点点作作为

18、为攀攀岩岩的的起起点点，下下寻寻找找一一上上山山坡坡度度最最大大脚脚岩岩活活动动，为为此此需需要要在在山山现现欲欲利利用用此此小小山山开开展展攀攀yxgyxD 高等数学00202000855),().1(yxyxyxg )75(855),(,855),().2(222222xyyxxyyxyxFxyyxyxf 令令得得4个可能得点为个可能得点为.)35, 35.(4),35 , 35( . 3, )5 , 5.(2),5, 5.(1 ,150)35, 35()35 , 35(,450)5 , 5()5, 5( ffff则攀岩点为则攀岩点为).5 , 5()5, 5( 或或高等数学设设)(xf在在1 , 0