冲刺2020高考江苏专版2020高三数学备考冲刺140分问题10数列中整数解问题含解析

1、问题10数列中整数解问题一、考情分析数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位.数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点.本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助二、经验分享二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法.方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解.方法2.利用整除性质：在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决.方法3.不等式估计法：利用不等式

2、工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解.如转化为加j=?(可型，利用gn的上界或下界来估计fm的范围，通过解不等式得出m的范围，再一一验证即可.三、知识拓展1、整数的基本性质：(1)整数的和，差，积仍为整数(2)整数的奇偶性：若-=2无+M丘刀，则称n为奇数;若""(无目为，则称n为偶数,在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：奇数奇数偶数奇数偶数奇数偶数偶数偶数奇数偶数偶数偶数偶数偶数奇数奇数奇数(3)若a,bZ,且ab,则ab1R.a<b-(4)已知一'，若nZ,且na,b,则n只能取到有限多个整数(也有可能无解).a(5)若一Z,称

3、a能被b整除，则有：bb为a的一个因数(6)最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：(1)若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值(即性质(4),例如：若打WN=，则n的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解.(2)整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，

4、再进行处理.(3)多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个：通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值(4)反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：所解得变量非整数，或不符合已知范围等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数.四、题型分析(一)利用整除性质aa【例1】已知数列an的通

5、项公式为an2n7,若为数列an中的项，则mam2QjiAh+1(2冽7)I?用5>【解析】V-=三二,an中的项为大于等于5(ai5)的奇数，所以考虑将旦例皿廉ja八am2一7)(2m5)2m3)4-Q2m3)2I向奇数形式变形：88=+-=2m-9+-,可得应该为大于等于4的偶数，所以4或2m32m38-i5-8，斛得m一(舍)或m22m32【答案】m2(2m-7)(2m-5)【点评】(1)本题的亮点在于对13的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在一8上.2m3(2

6、)本题对一8的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到2m3应为奇数，而Z,而8的2m32m3奇因数只有1和1,同样可确定m的值.【牛刀小试】【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】设数列的前打项的和为$中且兄=二4号成等比数列.数列心满足比=42且对任意正整数(1)求数列叫的通项公式.(2)证明数列a，j为等差数列.(3)令.一人药口-3,问是否存在正整数皿”,使得心工加十歹与成等比数列？若存在，求出m.匕的值，若不存在，说明理由.【解析】(1)因为数列叫的前，项的和=/，nifU;当力二时，上式也成立，_2所以数列%的通项公式为%=s+i熊+5.(2)证明：因为对任意正整数也都有

7、包,和成等比数列,所以所以4人十产;即+1%(n+1)(n+2)两式相除得，对任意正整数“都有r=,Of,门+I日廿斤+Z九即=,n+3rt+1bnbJ耳当为奇数时，-=-,所以%E3盾4亍(M+1)n4-12上上当力为偶数时,一2_=一，而。二三j所以与=；所以：一所以+】%=海+2)=鼻+1)=?所以数列4J为等差数列.因为入吟-1所以=+s=2(m+5)*1=2m4-9G=2/c-1因此存在正整数使得匚寸JR十玉门成等比数列<=>（2沏+9产=（2m1）（24-1）口篦-1=8也2*1?50制!据m+10+72m-1|因为m#都是正整数，则*1，1为25,即1,3,13时，对

8、应的R=61.23.25.所以存在展言或建言或忆聂使得”勺成等比数列.（二）不等式估值法【例2】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】定义：对于任意mEM',"+弓|+丁-1仍为数列4中的项，则称数列（为J为“回归数列”.（1）己知廿与=2"（以£寸），判断数列1%是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列%为“回归数列"，%=3,同=%且对于任意林EN，均有/</十成立.求数列仍小的V+3S*l-V_通项公式；求所有的正整数s,t,使得等式卜7+35二1成立.【答案】（1）品不是“回归数列”，说明见解析（2）"，使得等式成立

9、的所有的正整数s,£的值是s=1,t=3【分析】（1）假设同是“回归数列”，则对任意崔不，总存在媚小，使+i="成立，列出方程即可求解。因为瓦<与+1,所以A根据他J为“回归数列”，得与+%+尸2%十|,可得以数列%为等差数列，即可求解；由二用,求得1=123,分类讨论，根据数列的单调性，即可求解。+3S-1【解析】（i）假设mj是“回归数列”则对任意噂际，总存在埃的，使/+4+）*I'恤成立,3ii+4-2B2-2n=2即即M2二2M此时等式左边为奇数.右边为偶数，不成立，所以假设不成立所以%J不是“回归数列”；（2）因为hn<b0il,所以M+】G&

10、quot;+2,又因为%；为“回归数列”，所以与"gL4”，即%+%2.2%+J所以数列匐为等差数列.又因为=$%=R所以n'.因为二瓦,所以E=叫+亡i344-sa-1t-3=武"'<o因为-，所以E泥？,又因为上整打*,所以£=123,当t=1时，（*;式整理为3彳=0,不成立,当1=2时，（*;式整理为?8巳N*）设汽飞,因为2ntl-n)+33n+1S=s无解时，>+1,因为s鎏灯”,所以s=1综合所述，使得等式成立的所有的正整数s,的值是s=1,t=3【牛刀小试】已知an为等差数列,前n项和为Sn,若+-(1)求an（2）对m

11、N,将an中落入区间2m,2m内项的个数记为bm求bm一2二7_1D记/1产J）.，cm的前m项和记为Tm,是否存在m,tN,使得五二%-771成立？若存在求出m,t的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）设an的公差为d=41=4的+6d=4（2©+d）生£=2&+1=/+1；打一lid=2|苗+1.2,八二A=2m-1解得：ai1,d2以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到4即可二二1J2）!，则所解方程变形为：rIr=y，可考虑对m,t进行变量分离U）4十,工”一，2/t0,即t1,2,3，然后代入t解出符合条件的m勺+1>012JQI->

12、;0=4+4->0=1式123)2时，解得:1时,解得:11产冽=1嗝产（舍）3时，解得:Q存在这样的m3“一A、/,满足所给方程t3【点评】1、本题中的方程，并没有在一开始就将代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入.可简化不必要的运算2、本题在解m,t的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如m11），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关2系将变量所能取的值确定下来（三）反证法【例3】已知数列an是等差数列，数列bh是等比数列，且对任意的nN，都有：小+鼠+L+4瓦p

13、ntI捡法，右ai8,则:(1)求数列an,bn的通项公式(2)试探究：数列bn中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它W尸身2)项的和？若存在请求出该项，若不存在，请说明理由(1)【解析】也也+a2+L+Q*=n-2*心2+他+L2川可得：£3也=>=5+L)2即“(用之2)人口吗4=1-24=6=2令n1,则1令n2,则-，一一一-'令n3,则一-,-|2(8+£/)5=45所以有：口8十2目)”128，解得:/.ar-4同+4也=2"JI.陨(2)【分析】首先要把命题翻译为等式，将其他r项可设为Q,bt2,L,b1r，设存在某项bm,则%=4

14、+%+L+%=产=下+如旦+，设u工(L1匚，则同除以2t1,就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项bm及数列中的其他r项鼻心工&(AJ"<fJ2="+4+1+=+于+L+手，所以2r于"”两边同时除以2ti可得：2*'=1+2'+L+2"',左边为偶数，右边为奇数.所以等式不成立所以不存在这样的项【点评】(1)通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表不为:，如果不一定相邻，则可用ti,t2Ltr作角标，其中1,2,L,r体现出这一串项所成数列中项的序数，而ti,t2Ltr表示该项

15、在原数列中的序数(2)本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全，变为从21直加到2tr，即与+L+乃eT+M+L+2则2出工2+2,+L+2,=三"一1，由整数性质可得,所以，与矛盾，所以不存在.【牛刀小试】【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知数列为J的前有项和为，.，把满足条件的所有数列%构成的集合记为(1)若数列|回)通项为七=:，求证：巨M;(2)若数列是等差数列，且+网EM,求2%-01的取值范围；(3)若数列包/的各项均为正数，且数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给a出一个数列1。的通项；若不存在，说明理由.

16、ii1-店【解析】(1)因为*=J，所以兀=？胭i=】-(/"，所以之17+8”=久/一工V戒一1,所以小+1<1，即/wM.(2)设%的公差为d,因为kn+n§EM,所以在+2玄a一iJ特别的当甘=1时，即d匕一i,d'+"8"】n"+(ij-d-)naa_1>0由(得口，整理得331,因为上述不等式对一切neN，恒成立，所以必有于N%解得d2-1,又所以4=-1,中日(冉+i)n无一1二0日口(附+1)(0-1)>0于是，即，所以叫+1之U,即口1短?1,crn,-2C<ls-(1i)+oi-8rf+tTj&

17、#171;-8+0附9所以因此2白5-的取值范围是-%+）.（3）由得一一*空*,所以匹+1M乂,即手工2,=红"九乂.sz<2a所以寅为九一，,而-$叶-x2B二期m2H从而有，又a-W网,所以人”二“工乱1*2工如玄对黑长7缶>3）,即又吃-所以有/f尸'”）,所以染为2、*ni1假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，4不妨设该等差数列的第拧项为加+卜（为常数），dIl-l-h=>x2>则存在mEN,m>n,使得日口一如附即，设，二三：，_',(n+1户M2储17则2'J+-52""*"*?!+二

18、bfCn+l)<fCn)Sf(3)=<l即-,于是当n主3时，2"+弓用d"M+b依>n2内'-datn-<0从而有：当m之3时1，即11,n1-datn-6口tV0于是当也23时，关于有的不等式有无穷多个解，显然不成立,京因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.%（四）因式分解法【例4】已知等差数列SJ的公差d>Q.设4的前廿项和为1,d3«l,S力如求，及S/求E.底明尔M)的值,使得*-J=65.【解析】«)略(2)由(1)得%=：-3，=/(店N')m-£(片/1)(2恻=1+2由*2&#

19、171;-1)耕=sU=4所以(2网+A-DC+D=65,由m,展N知痴十#-13hl】65=13xS=1k65k,m,【点评】本题中将不定方程变形为6*J卜6+1)=$.1)因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于的二元一次方程组求解五、迁移运用1.【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】设数列。j是各项均为正数的等比数列，喇=2,日加&=64.数列瓦满足：对任意的正整数,也都有一，b".(i)分别求数列%!与也J的通项公式；A(1-(1-(1-)<(2)若不等式祝两双炉也对一切正整数n都成立，求实数拉的取值范围；(3)已知的EN对于数列与,若在也与玩+1之间插入九个2

20、,得到一个新数列&.设数列的前m项的和为丁/试问：是否存在正整数m,使得丁州=2019?如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)因为%是等比数列，且各项均为正数，所以/%二的=""，解得啊=q,_杵!&_备=2*22=1公比"版=八='所以，因为*,+&血+-瓦=5-加中+2,所以一一一一=n-2n(n>2),两式相减，得，所以当力细时，%=%L、cr,uld出入、&二WN")因为当二I时,11=2,所以卜工=1,符合科产n,所以,;(2)因为冉=l-%f所以当播时，原不等式成立,vf2n

21、41ri"iif1与ci1当位Q叱原不等式可化为C",tn姓程+1£1-)(1-(1).设E4就，则仆0,则二一，。+i、:£门+32n+所以,即数列LJ单调递减,所以1用二更，解得位V位2jLF1-00综上，(3)由题意可知，设瓦在数列(cj中的项为勺，则由题意可知,m二Z+必所以当口=20,一2J+1+2十一+匕=2*上+4一4时，-，-O2W,易解得做?0,当上二9时,加三炉”-2M2、7丁J.c2_4=106S2019-1065=954=277所以当=时，T,=20192.【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】已知数列。力，其中空&

22、#163;*.(1)若M满足小i=当q=2,且电=1时，求%的值;耳十丁3,aEW,若%=1，若存在互不相等的正整数满足力=+£,且%成等差数列，求"的值.(2)设数歹U|口的前项和为b，数歹UhJ的前n项和为恒成立，求板的最小值.【解析】（1）由4-生-4,里-%-2,a,-Gj-1,累加得鼻-S因,所以4-限7'一，口I,当g=l时，/月，满足题意；当qi时，累加得口油.1g-%,所以&_-%一.若存在满足条件，化简得时三yT,即士=广V-4尸7=工，此时g=l（舍去）综上所述，符合条件忖的值为1/q匚=-3,理已匚1=占14-3由三小工刀/曰匕-=%、

23、+b，7.c=l.c.=4（2）由后对"'可知/w,两式作差可得：",又由.可知与二枭4=，故=瓦+瓦,所以=+”对一切的打亡.仁恒成立对鼠=K+如，如=%+力两式进行作差可得'=以4+/】，又由£=4也=7可知叼=3=3故屋=喂石（灯诩又由心口冏一"人+"了一门】Qz十口虫）=Mi+%广一%7（4+%i）二一%十44*:"左，所以,上厂一%!口1卜鼠；一口必+J,所以当也“时IsI-%口小：1=5,当月=1时"-4"怙：=故左的最小值为53.【江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考】已知数列

24、佃口的前打项和为瓦一且满足L=Z%-2；数7b歹的前网页和为限,且满足b1=1,卜2=20（1）求数列|4）的通项公式；（2）求数列九的通项公式；w+bH+1（3）是否存在正整数n,使得''恰为数列%中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，询-%+L说明理由.【解析】（1）由S=2an2,则当n>2时，Sn-1=2an-1-2,两式相祠得：3n=2an-2an-1,贝U3n=23n1,由S=2a1一2,则31=2,.数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=2n,/c、4Tft_%（2）由;=7-贝U=,=,%.3脑T,b拉也以上各式相乘，丁=,fn+12

25、Tr-16耳一1,则2Tn=bnbn+1,当n>2时，2Tn-1=bn-ibn,两式相减得：21=3(bn+1bn-1),即bn+1-bn1=2,数列bn的奇数项，偶数项分别成等差数列，由=一,则bs=T2=bi+b2=3,b+b3=2b2,7%数列bn是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，数列bn的通项公式bn=n；(3)当n=1时，无意义，an%4-1|、厅4,与+12"+门十1,八一、设cn=-,(n>2,nCN*),与"2"-(n+I)T则Cn+Cn二'"一"二J二.卜"0即Cn>Cn+1>1

26、,显然2n+n+1>2n(n+1),则C2=7>C3=3>a>>1,，存在n=2,使得b7=C2,b3=C3,20+Fl+1下面证明不存在C2=2,否则，Cn=2,即2n=3(n+1),2HS+1)此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的bn为b3,b7.4.【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研】已知正项等比数列uj的前门项和为几包它年少，Lr4一.门",TL瓦=5+1)北+士必(齐E评”)且仃3二七+2,叼11=1&。数列的刖n|项和为且2。(1)求数咧%的通项公式及其前h项和3;(2)证明数列

27、也;为等差数列，并求出向)的通项公式；(3)设数列或乙1Mi油铀，问是否存在正整数mtnfl,使得成等差数列，若存在，求出所有满足要求的若不存在，请说明理由。【解析】(1)设正项等比数列f&J的公比为q(q>0),则由,讹4=16得而=16得的=2,因此，=2n(n+1JTn.,T.<(2)方法一：因为叫.尸5+1况+f，所以"LIn+1n2TT丁11从而数列1，)是以=1为首项，上为公差的等差数列，故C=1+於-1)=如+1),(nj12n221故L/5*1),当1r唯：时，”二丁，丁M1=虱，且n=l时适合，因此，"=",从而当网期时，&q

28、uot;-"一1=1为常数，所以，数列他J为等差数列。n(n+1)方法二：因为.：，n(n+1)所以，当ME?时，有5-D丁广打1+2，两式相减得：叫十产2%-呜t+",即T"l2rlif-1+1j1丁/G=ZT;41=36?=GrTi=2又由S=1，仃口*1=5+1)/+2得.，从而_一,故/-h=i,所以，数列%为等差数列。Li+皿_那_32_12因为快EM旬一初幻-it+2ft+1,3a寸、,手工*.”也丁+，”*a所以.一-一一一一，假设存在存在正整数m.%1(mVMCI),使得Cm，。七成等差数列，则升.、mr,nrJr(3<?nF<n

29、9;<lf)Arfr=(?i3jne7/*)-一士，4口2令此5工二则原问题等价于存在正整数，使得因为4+4=也+-口=巾5+)>0(因为也髭?)，故数列4J单调递增,若一城三2,即广立箕'+2,则如之dn,工犯警4Nh从而土心=豆豆二旦=3>2,即4'>人,而t一4,孔9至tM因此，f：，<U,这与AO恒成立矛盾，故只能有l-n=i，即r=11f+1，若m为奇数，则记t2H+1.-Wt7,从而心冲茎3Mt踞)二加a3nEjV*)r因为数列单调递增，所以数列八一,单调递减，故当E24时，,玉旦,211于132而21r1rEJV3故1饕境，因此，(*

30、)式无正整数解。reFom'.l若n为偶数，则记H=r.,即，同理可得(*)无正整数解。2>t+1-m综上，不存在存在正整数隔，n“°二,使得成等差数列，也即不存在正整数m.ji./使得%M内成等差数列。5.【江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考】已知数列an各项均不相同，ai=1,定义髓'n''"此，其中n,kCN*.(1)若KCL)=71,求口5；(2)若b+i(k)=2bn(k)对L=L2均成立，数列an的前n项和为$.(i)求数列an的通项公式;(ii)若k,tCM,且S,GS,S&成等比数列，求k和t的值.b

31、f-fl)=(Th-=兀【解析】(1)因为"'"，所以所以u5=-9(2)(i)因为bn+1(k)=2bn(k),+中/H仙=2&+-毋%+/侍，口帝三号皮结*1?=2("Hl令k=1,1m叶*k=2,出h+1+cit+3=2/a5t+口九+w由得,+*计户2干露，+得+,+得%+1=2%,又=1H。，所以数列K%J是以1为首项，2为公比的等比数列，所以玛=L(ii)由(i)可知$=2n1.因为Si,S<-Si,SG成等比数列，所以(&S)2=S(S0),即(2k2)2=2-2k,所以2t=(2k)232k+4,即212=(2kT)2

32、32k2+1(*).由于&Sw0,所以kwi,即k>2.当k=2时，2t=8,得t=3.当k>3时，由(*),得(2J)232k-2+1为奇数，所以t2=0,即t=2,代入(*)得22k232k2=0,即2k=3,此时k无正整数解.综上，k=2,t=3.6.【江苏省盐城市2019届高三第一学期期中】已知正项数列4的首项臼=1,前n项和满足与f=(1)求数列uj的通项公式；(2)若数列体/是公比为4的等比数列，且卜1-3，与-%，电-%也是等比数列，若数列宣单调递增,求实数位的取值范围；(3)若数列帆J、端都是等比数列，且满足“=儿-%，试证明：数列闾中只存在三项.【解析】(

33、1)4+/=药,故当便？时期一t-2s,两式做差得0一%)<-%，由;为正项数列知，册与一1=1,即为等差数列，故叫尸也"瓦.2尸=也.1)(1皿同15=.钎7(2)由题意，化简得所以“名，On+ATtt-A所以.一，Onr+Z/+力_n+l+n+_tj4Cn+XJ？e-J由题意知一ri2%+n则有。恒成立，即：犯.I-3位恒成立，所以|1-3位<3,解得懂bbf'rcrj=cq(3)不妨设伍超过？项，令11n+i*ci带入°产T，可得MS-=加-1)*),若p=q=1则兀-7=b-c,即(4为常数数列，与条件矛盾；若口丰Lq工1,令n=l得切(PT尸二

34、“9T，令依=乙得=T厂，两式作商，可得，=q,带入(*)得|b=c,即佃口为常数数列，与条件矛盾，故这样的。只有3项.7.【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知数列S"各项均为正数，4=1,%=3,且%4%+广i+%+?对任意尼三西,恒成立.(1)若%=4求女的值；(2)若修=4(i)求证：数列M”)是等差数列；(ii)在数列|f%J中，对任意范,总存在gltW#*,(其中n<mM4),使仁/卢)构成等比数列，求出符合条件的一组5北)|.【解析】(1)令数列弧)为“4dL十三+1=%何+%+/0%+2=%=4过曰=2_勺%+/+%=7,的n一1，所以九二，n%饪二%mi

35、.=2n(2k-1)(24+1),.，+口(2) .'/2rt+1k八，假设一奇数使得：2m-1=p(2n-1)2k-1=pi(2n-1)>2m-1.k>m,.-.p-综合得：可构造一组解为(mM=1z+LyF/n?+LqE,?=2i+1,E已.8.【江苏省苏州市2018届高三调研测试】已知各项是正数的数列佃的前n项和为*.，、什口"2、r(1)若5fl+乂7=j-(nN*,n>2),且=2.求数列3,J的通项公式；若.一对任意打翼灯*恒成立，求实数位:的取值范围；(2)数列叫是公比为q(q>0,q1)的等比数列，且a的前n项积为。丁月.若存在正整数k

36、,对任意-供十1)门,nN*,使得下为定值，求首项七的值.kn【解析】(1)当域E?时，由1+储7,4；+2则.两式相减得。一一%=；(/：I-吟，即/十询=3,仃艇?屏+2aj-3a7-10=0当力=2时，P4四工+勺=.,即一一,3解得口？=5或七=-2(舍)，所以与-町=3,即数列为等差数列，且首项七=3|所以数列%)的通项公式为%=3律-1.由知，%.=3h-,所以w(3n-l+2)储+日；>_JHZ+W由题意可得"一a"1一必”对一切rt崟灯*恒成立,记如上+H二2"十？2*41,脸？,所以-3nz+lln-4当力:4时，所以当n=3时,3n+a正

37、且公15产出，取得最大值卷,所以实数位的取值范围为氐+孙(2)由题意，设4】(q>D.”1),以花=107-，两边取常用对数,1=地+1眄+瓯“工省/讯目4+31-M令，则数列是以4为首项，®q为公差的等差数列,为定值，令二泪，则用叱叫十三苧口二到，即一-=0，1,对rr装灯*恒成立,(0t+I)1-jzft3=0因为q>丰i,问题等价于1<A+1)一世上二。且EJ二q皆1=博代入因为L壁上T*,所以必>0包于1,所以9.【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知各项均为正数的无穷数列an的前n项和为Sn,且满足aia若=（甘+电+小+1）*口3/一八（其中a

38、为常数）,nN.数列bn满足与一/一77（乏、）.（1）证明数列an是等差数列，并求出an的通项公式；*（2）若无穷等比数列Cn满足：对任意的nN,数列bn中总存在两个不同的项bs,bts,tN使得bsCnbt,求cn的公比q.【解析】（i）方法一：因为咚小+i），所以（升1）%=（"331）（"2），由-得，（/D'一点zEM+2葭-,+1电+2（秣+1）,即（"1）$一=（%+2）$4-1"1电斗乂”1）,又10,则*一二工$田2,即喂二%十？.在咚广（中山邑+小+】）中令ni得，加"L即a?ai2.综上，对任意nN*,都有一一%=

39、2,故数列an是以2为公差的等差数列.-皿优=2月一2+口又aa,则军方法二：因为，所以Sx1MI以"，又saia,S则数列是以a为首项，i为公差的等差数列，n因此*=弱-1+口，即Z="+（。-1）匕n,a=SSrT=2w-2+a，“人，,当n2时，1丘”-i，又aa也符合上式，,a=-24-ti|X*故GqI故对任意nN*,都有“一，即数列an是以2为公差的等差数列.一、a氏二1二1Tf八,“一一.一1H/W1+一令“q2打一二*口，则数列&是递减数列，所以听立11jP_考察函数',因为-v=11=-,所以yX1在1,上递增，因此X14Jf(L2仁7*7

40、,从而4=k+?产卜因为对任意nN*,总存在数列H中的两个不同项bs,bt,使得bsgbt,所以对任意的nN*都有有一一.,：二口g+2)，不符合题意，舍去;若0q1,当打之1+1.a+2ua:+2a+2时,有-,不符合题意，舍去;10.【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列an的前n项和Sn,对任意正整数n,总存在正数P，q，r使得anpn1,Snqnr恒成立：数列bn的前n项和Tn,且对任意正整数n,2nbn恒成立.(1)求常数p,q,r的值；(2)证明数列bn为等差数列；2桂十区2言+6In2ni2司+九p=q2-+-|_|Z.(3)若b12,记"42al4.沪42二

41、4，是否存在正整数k,使得对任意正整数n,Pnk恒成立，若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由【解析】(1)Snqnr%T=/f，n2,n1又anp2n2时，pqn3时,p,q为正数Pq2.又ai1,Sii.(2)2Tnnbnn2时，2&T产一1）如,-得:狙=也-5-11如，即（,"2也=5-1）如，又.!>%=限，+得：（»2也=6-必+5-1）限1,即电=%十%bn为等差数列(3)b10,b22,由(2)知bn为等差数列bn2n2.n1又由（1）知an2-.-,_2n+274«-44n-24口4月+2又:一一.I：一：一：c12日十2

42、-4止2fo0得.2%七里t1=3+一式4,解得口1,In2n<.n1时，Pn1Pn0,即P2Pl,一一1n2时，2n4，342n,2”3+1二汩，即12-2-4*2202m2ji此时Pn1Pn,即-；二一，E的最大值为匕=2x22x2+2十彳222若存在正整数k,使得对任意正整数n,Pnk恒成立，则改王4以，正整数k的最小值为4.11.【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列an同时满足：对于任意的正整数n,a1+口/=2二aa1an恒成立；对于给定的正整数k,旭-兄也用对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列an是“Rk数列”.'-上联)奇就(1)已知4=2%号

43、为偶飘判断数列为是否为“R2数列”，并说明理由;(2)已知数列bn是“R3数列”，且存在整数p(p1),使得b3P3,b3p1,b3p1,b3P3成等差数列证明：bn是等差数列.【解析】(1)当n为奇数时，4+1-4=2("1)-12时1)=3>°,所以an1an.口虎一？十口曲工片12)1+2(总+2)1=2(2n-1J=.当n为偶数时，*-4=(蜂+1)-2"10,所以201an.口虎一工十口计二2(内一2)+2(川+2)=4内=2ar所以，数列an是“R2数列”.b+A-2b(2)由题意可得："三行三一.久则数列n,b4,b7,是等差数列，设

44、其公差为d1,数列b2,b3,b8,是等差数列，设其公差为d2,数列4,be,bg,是等差数列，设其公差为d3.因为bn必1,所以务畔1“'4a,所以一,二.,所以心4）2-力，欢心-出）交-%+H._.-b1b2一一，、若d2di0,则当n时，不成立；d2d1瓦一瓦4W若d2di0,则当,之_&时，不成立；若d2di0,则和都成立，所以did2.0=d,=d*=d同理得：did3,所以did2d3,记i，-.设一一1.-,则.-V'【-'二.同理可得：除-41，所以心乜二d-£.所以bn是等差数列.【另解】二.二.二一二-1-/二片杵I_=44pd_

45、（b?+1/-11dI=4一瓦+A/二冬六m_S*+i=&+pd74+pd）,以上三式相加可得：32d,所以2d,3所以：.-_,.30M=3+（题-l）d=d+d_/+5_l）d二4+（初一一l）g,尾支=&+1>T|d=瓦+/.+（耳-1）4=%+（n）g,所以4=4+(打-1)工，所以所以，数列bn是等差数列.12.【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列一、，一3an的首项a15(1)求证：数列1为等比数列；an11T1、S.Il-L4，一，(2)记鼻公仆，若S<100,求最大正整数n；(3)是否存在互不相等的正整数m

46、s,n,使ms,n成等差数列，且am1,as-1,an-1成等比数列？如果存在请给以证明；如果不存在，请说明理由.(1)因为所以.又因为一一1w0,所以一一1w0(nCN).所以数列等比数列.(2)由(1)可得1"=彳,Ui，所以"=2片)"+1若S<100，则n+1<100，因为函数y=n+1：单调增，所以最大正整数n的值为99.dill(3)假设存在，则rm-n=2s,(am1)(an-1)=(as-1)2,因为an=m,所以(于”一七转一1)=?1工7)2,化简得3m+3n=23s,因为3m+3n>2Y产=23s,当且仅当m=n时等号，又m

47、s,n互不相等，所以不存在.13.【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中】已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn2an1,nN*,数列bn满足地=心”，“旷，且。1.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若“二%,框,数列Cn的前n项和为Tn,对任意的nN*,都有TnnSna,求实数a的取值范围.(3)是否存在正正数m,n,使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的m,n；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当n=1时,5=2/-皿，所以a=1.当n2时，Sn两式相减得an八，一,anc2an1,又a1=1,所以2,an1从而数列an为首项ai=1，公比q=2的等比数列，从而数列an

48、的通项公式为an2n1由他宜一(为+1地=确+D两边同除以nn1,得b"从而数列一为首项匕1,公差d1的等差数列，所以如二n,2从而数列bn的通项公式为bnn(2)由(1)得J=缁=杵7旬雨-2Z；=lx2+2x2;+3x2s+L+5-=十徨乂丁由“口、-L=1-f2+22+L_21fMy二七三两式相减得_.S=2a-1=2"-1由(1)得因为对nN*,都有TnnSna,即("D?+lWX-1)-Q恒成立,a<2-K-1所以口_,司,恒成立，所以adnmin2n10,从而数列dn为递增数列因为心-口=尸-(甘+1)-1-(丁-丹-1)所以当n=1时，dn取最

49、小值di=0，于是a0.(3)假设存在正整数m,n,使bi,am,bn(n1)成等差数列，则bi+bn=2am,即1n22m,若n为偶数，则in2为奇数，而2m为偶数，上式不成立.若n为奇数，设加=3一1(把3),则1+/二火筑一厅3"24于是即好/+i=当m1时，k1,此时n=2k1=1与n1矛盾；当m2时，上r式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立综上所述，满足条件的m,n不存在.14.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列an满足现十3拉力为奇数，a2n,nN.%=1“5=匚6收_«为偶数，记数列an的前n项和为Sn,bn(1)求证：数列bn为等比数列，并求其通项bn;(2)求Sn;(3)