第10章 能量法

1、材料力学材料力学10. .1 概述概述 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算10. .3 互等定理互等定理10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理10. .5 虚功原理虚功原理*10. .6 单位载荷法单位载荷法 10. .7 图乘法图乘法10. .9 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法第十章第十章 能量法能量法10. .10 力法力法 正则方程正则方程第十章第十章 能量法能量法一、一、基本概念基本概念 10. .1 概述概述二、能量原理二、能量原理第十章第十章 能量法能量法能量原理能量原理功能原理功能原理用途：用途： 计算结构的变形计算结构的变形求解超静定结构求解超静定结构数值

2、计算数值计算计算力学计算力学固体力学中利用固体力学中利用功功与与能能之间的关系建立之间的关系建立能能 量量 法法利用利用能量原理能量原理求解可变形固体的位移、求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法。变形、内力或外力的计算方法。的一些定理的一些定理一、一、基本概念基本概念 10. .1 概述概述对变形固体：对变形固体：外力功外力功即即：WU 弹性范围内应变能可逆弹性范围内应变能可逆ABF 杆件应变能杆件应变能不计动能和其它能量不计动能和其它能量静载：静载：能量原理能量原理二、二、能量原理能量原理 第十章第十章 能量法能量法一、一、克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理 10. .2 弹性应弹性应

3、变能的计算变能的计算二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算F1F2F3 2 1 3一、一、克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理 332211212121 FFFWU即：即： 对于对于线弹性体线弹性体，变形能是外力或位移的二次函数变形能是外力或位移的二次函数 线弹性体的应变能等于线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和的二分之一的总和10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算1. .轴向拉伸或压轴向拉伸或压缩缩ll F.Fl l FOBA( (1) )应变能应变能 a. .轴力沿轴线不变轴力沿轴线不变 lFW

4、 21EAlFWU22 二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 b. .轴力沿轴线变化轴力沿轴线变化 lEAxxFU2d2N)(EAFll 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算21 u1. .轴向拉伸或压轴向拉伸或压缩缩( (2) )比比能能 二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算2. .扭转扭转( (1) )应变能应变能 a. .扭矩沿轴线不变扭矩沿轴线不变 l OBA.M eMeMe e21MW p2e2GIlMWU b. .扭矩沿轴线变化扭矩沿轴线变化 lGIxxTUp22d)(二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 peG

5、IlM 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算( (2) )纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能 xyz dz=1dx=1dy=1 21 u二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 2. .扭转扭转( (1) )应变能应变能10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算l OBA.M .eMeMeMe e21MW EIlMWU22e 3. .弯曲弯曲( (1) )纯弯曲纯弯曲( (弯矩沿轴线不变弯矩沿轴线不变) )二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 EIlMe 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算( (2) )横力弯曲横力弯曲l.F1M( (x) )d. F2x

6、dxdxM( (x) )EIxxMU2dd2)( 微段微段dx lEIxxMU2d2)(整个梁整个梁3. .弯曲弯曲( (1) )纯弯曲纯弯曲( (弯矩沿轴线变化弯矩沿轴线变化) )二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算dx.F ( (x) )M( (x) )M( (x) )T( (x) )T( (x) )NF ( (x) )N d21d21d21dN)()()(xTxMlxFU ) )( ( lllGIxxTEIxxMEAxxFUp222N2d2d2d)()()(4. .组合变形组合变形 二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 EAxxFl

7、ddN) )( ( )(EIxxMdd)( pddGIxxT)( 10. .2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算例例1 求图示简支梁的应变能，并求求图示简支梁的应变能，并求yC。解：解： 1. .求支反力求支反力 2. .列弯矩方程列弯矩方程 AC段段： 11xlFbxM )(CB段段： 22xlFaxM )(lABCFabR =AFblR =BFalx1x2x13. .求梁的应变能求梁的应变能 lEIxxMU2d2)( baEIxxMEIxxM022201122d2d)()( abxxlFaxxlFbEI00222121dd21EIlbaF6222 4. .利用利用U= =W求求yCCFyW

8、21 EIlbFayC322 第十章第十章 能量法能量法一、功的互等定理一、功的互等定理10. .3 互等定理互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理10. .3 互等定理互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理 AB12F1 AB11F1 2112AB12F2 AB12F2 2212以图示梁为例证明如下：以图示梁为例证明如下： ij 在在j点作用力时在点作用力时在i点所产生的位移点所产生的位移10. .3 互等定理互等定理1. .先在先在1点作用点作用F1 再在再在2点作用点作用F2 外力功外力功： 11121 F 外力功外力功：12122221 FF 应应变能变能： 12122211112

9、121 FFFU AB11F1 2112 AB11F1F2 21 12 2212一、功的互等定理一、功的互等定理 10. .3 互等定理互等定理1. .先在先在1点作用点作用F1 12122211112121 FFFU 2. .先在先在2点作用点作用F2 再在再在1点作用点作用F1 外力功外力功： 22221 F 外力功外力功：21211121 FF 应应变能变能： 21211122222121 FFFU AB12F2 2212 AB12F1F2 22 11 2112一、功的互等定理一、功的互等定理 AB11F1F2 21 12 221210. .3 互等定理互等定理 应变能只决定于力与位移的

10、最终值，应变能只决定于力与位移的最终值， 与与加载次序加载次序无关无关 21211122222121 FFFU 21UU 即：即： 212121 FF 功的互等定理功的互等定理1. .先在先在1点作用点作用F1 12122211112121 FFFU 2. .先在先在2点作用点作用F2 一、功的互等定理一、功的互等定理 AB11F1F2 21 12 2212 AB12F1F2 22 11 211210. .3 互等定理互等定理 AB11F1 2112 AB12F2 2212 应变能只决定于力与位移的最终值，应变能只决定于力与位移的最终值， 21211122222121 FFFU 21UU 即：

11、即： 212121 FF 功的互等定理功的互等定理1. .先在先在1点作用点作用F1 12122211112121 FFFU 2. .先在先在2点作用点作用F2 一、功的互等定理一、功的互等定理 与与加载次序加载次序无关无关10. .3 互等定理互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理 由由功的互等定理功的互等定理 2112 位移互等定理位移互等定理注意注意：1. .上述互等定理对于所有的上述互等定理对于所有的线弹性结构线弹性结构都适用都适用2. .力和位移应理解为力和位移应理解为广义力广义力和和广义位移广义位移 当当F1 = F2 = F 时时 AB11F 2112ABF 12 2212力与

12、位移成线弹性关系的结构力与位移成线弹性关系的结构 212121 FF 线弹性结构线弹性结构10. .3 互等定理互等定理例例3 试求图示梁的试求图示梁的跨中挠度跨中挠度yC。 解：解： 1. .当当Me作用时作用时 设想在设想在C点作用点作用F ABM2l2laCe 11 21 12 22ABFC2. . 由由功的互等定理功的互等定理3. .查表查表2112e FM 12 22ABF =CMe讨论讨论：若应用若应用位移互等定理位移互等定理如何求解？如何求解？A 12EIFl162 21 CyEIlM162e 12e FM 第十章第十章 能量法能量法一、定理推导一、定理推导10. .4 卡氏第二

13、定理卡氏第二定理二、定理应用二、定理应用10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理ABF1 iF2Fi已知已知：弹性体弹性体受一组相互独立的受一组相互独立的广义力广义力F1、F2、 Fi、作用作用 求求：任一任一广义力广义力Fi的作用点沿的作用点沿Fi方向的方向的广义位移广义位移 i 例如：例如：一、定理推导一、定理推导 10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理)(,21iFFFUU 给：给： iFdiiFFUUdd UUUd1 总应变能：总应变能： ABF1 iF2FidFi idABF1F2Fi iW iiiF 21有：有： iiFFUUd 一、定理推导一、定理推导 10. .4 卡氏第二定理卡

14、氏第二定理ABF1 iF2FidFi idABF1F2Fi iW iiFFUUUd1 改变加载次序改变加载次序 iiF dd21 iiiF 21iiF d iiiiFUFU ddd212 总应变能：总应变能： dFi idABF1F2Fi i先加先加dFi ：再加再加F1,F2,Fi ,： iiiF 21一、定理推导一、定理推导 )(,21iFFFUU 10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理ABF1 iF2FidFi idABF1F2Fi iW iiFFUUUd1 iiiiFUFU ddd212 由由 dFi idABF1F2Fi i iiiF 2121UU iiFU 卡氏第二定理卡氏第二定理

15、： 说明说明：1. .卡氏定理适用于卡氏定理适用于线弹性结构线弹性结构；2. .Fi 为为广义广义集中集中力力， i 为为广义位移广义位移。得到得到 卡氏定理卡氏定理： 一、定理推导一、定理推导 )(,21iFFFUU 10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理 1. .梁的弯曲梁的弯曲 lEIxxMU 22d)(xFxMEIxMliid )()( iiFU liEIxxMF 22d)(二、定理应用二、定理应用 10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理 niiiiEAlFU12N2i iFU niiiiiiFFEAlF1NN二、定理应用二、定理应用 2. .桁架桁架10. .4 卡氏第二定理卡氏第二

16、定理 3. .求没有集中力作用的点的位移求没有集中力作用的点的位移 在该点沿要求位移的方向，作用一个在该点沿要求位移的方向，作用一个假想的力假想的力F0( (附附加力加力) )，计算出在计算出在载荷载荷和和附加力附加力共同作用共同作用时的变形能，时的变形能，在在求得求得U 对对F0的偏导数后，再令的偏导数后，再令F0 = = 0，即，即0000 FFU 0 广义位移广义位移 F0 广义力广义力二、定理应用二、定理应用 10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理例例3 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，为常量，不计轴力和剪力影响，求求 B、 D 。解：解： 1. .求求 Bam2

17、am2 ( (1) )列弯矩方程，并求导列弯矩方程，并求导 DC段段： 112xamxM )(axmxM211 )(2amaaABCDx3x2x1FDyFAyCB段段： BA段段： mxM )(212 mxM)(03 )(xM03 mxM)( (2) )求求 BxmxMEIxMlBd )()( 33 0 322 0 2112 0 1dddxmxMEIxMxmxMEIxMxmxMEIxMaaa )()()()()()(0d11d221 2 0 112 0 1 xmEIxaxamxEIaaEIma25 10. .4 卡氏第二定理卡氏第二定理解：解： 2. .求求 D am2 am2 ( (1) )

18、加附加力加附加力 DC： 2amaaABCDx3x2x1FDyFAyFAxCB： BA： ( (3) )求求 DF0( (2) )列弯矩方程列弯矩方程0F 0F 0F 1012xFamxM )( 2202)()(xaFmxM 303xFxM )(303 0 3202 0 21012 0 1dddxFxMEIxMxFxMEIxMxFxMEIxMaaaD )()()()()()( 3 0 33022 0 2012 0 110d1 d221d21xxxFEIxxaxaFmEIxxxFamEIaaa )()(EIma6172 例例3 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，为常量，不计轴力

19、和剪力影响，求求 B、 D 。第十章第十章 能量法能量法一、定理推导一、定理推导10. .6 单位载荷单位载荷二、二、莫尔定理的其它情形莫尔定理的其它情形三、三、莫尔定理与卡氏定理的关系莫尔定理与卡氏定理的关系10. .6 单位载荷法单位载荷法ABF1 F2C已知已知：弹性体弹性体受一组相互独立的受一组相互独立的广义力广义力F1、F2、 Fi、作用作用 求求：任一点任一点C 的的广义位移广义位移 一、定理推导一、定理推导 10. .6 单位载荷法单位载荷法图图( (a) )： lEIxxMU 22d)(图图( (b) )： lEIxxMU 202d)(ABF1 F2(a)CxAB(b)F =1

20、0CxF =10AB(c)CxABF1F2(d)CF =10 x图图( (c) )： UUU 101图图( (d) )： lEIxxMxMU 222d)()( lEIxxMxMUU 0d)()( d lEIxxMxM)()( F1F2 一、定理推导一、定理推导 10. .6 单位载荷法单位载荷法 d lEIxxMxM)()( )(xM)(xM广义位移广义位移 实际载荷实际载荷引起的弯矩引起的弯矩 单位广义力单位广义力引起的弯矩引起的弯矩 莫尔定理莫尔定理： 这种计算位移的方法称为这种计算位移的方法称为单位载荷法单位载荷法 式中式中 莫尔积分莫尔积分 一、定理推导一、定理推导 10. .6 单位

21、载荷法单位载荷法1. .桁架桁架 lGIxxTxT pd)()( 2. .扭转扭转 niiiiiEAlFF1NN 二、莫尔定理的其它情形二、莫尔定理的其它情形10. .6 单位载荷法单位载荷法BA 4. .组合变形情况组合变形情况 lllEIxxMxMGIxxTxTEAxxFxF p NNddd)()()()()()( 3. .求相对位移求相对位移 lEIxxMxM d)()(ABF1F2 A BAB11二、莫尔定理的其它情形二、莫尔定理的其它情形10. .6 单位载荷法单位载荷法卡氏定理卡氏定理： xFxMEIxMliid )()( 莫尔定理莫尔定理： xxMEIxMld )()( )()(

22、xMFxMi 以弯曲为例说明两者之间的关系以弯曲为例说明两者之间的关系若若 i = ，则有则有： 三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系10. .6 单位载荷法单位载荷法解：解： 1. 求求yC ( (1).).列弯矩方程列弯矩方程222xqxqlxM )(xxM21 )( (2).).求求yC lABqCxABC1x1/21/2由由对称性对称性xEIxMxMylCd22 0 )()(xxxqxqlEIld22222 0 2 EIql38454 例例4 求图示梁的求图示梁的yC和和 B。10. .6 单位载荷法单位载荷法( (1).).列弯矩方程列弯矩方程222xqx

23、qlxM )( (2).).求求 B AB1x1/l1/l2. 求求 B xlxM1 )(xEIxMxMlBd 0 )()( d221 0 2xlxxqxqlEIl EIql24 3 解：解： 1. 求求yC lABqCx例例4 求图示梁的求图示梁的yC和和 B。ABC1x1/21/2第十章第十章 能量法能量法一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法10. .7 图乘法图乘法( (维利沙金法维利沙金法) )二、几种常用图形的面积及其形心位置二、几种常用图形的面积及其形心位置 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）上述积分可以简化上述积分可以简化)(xM必为必为直线直线或或折线折

24、线 对于对于等直杆等直杆 lEIxxMxM d)()( lxxMxMEI d1)()( 在在单位力单位力或或单位力偶单位力偶的作用下，的作用下，一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）bxxM tan)( bx dtan1. . 为直线的情况为直线的情况 )(xM lxxMxM d)()( lxxMbx dtan)()( dtan) )( (bx )(bxC tan CM dxCx Mxl Mx bxM( (x) )dx dM( (x) )xCCMCMC一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维

25、利沙金法） ClMxxMxM d)()( CxCM M 图的面积图的面积 M 图的形心坐标图的形心坐标 图中与图中与M 图形心所对应的值图形心所对应的值 M d lxEIxMxM)()( EIMC 式中式中 图乘法图乘法上述计算莫尔积分的方法上述计算莫尔积分的方法bxxM tan)(1. . 为直线的情况为直线的情况 )(xM一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 Mxl Mx bxM( (x) )dx dM( (x) )xCCMCMC10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法） ( (1) )以折线的转折点为界，将积分分成若干段以折线的转折点为界，将积分分成若干段 ( (2) )

26、逐段使用逐段使用图乘法图乘法 ( (3) )求和求和 一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 2. . 为折线的情况为折线的情况 )(xM10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）3. .积分值的符号积分值的符号 M 图的图的形心形心C与与 在在同同侧，积分值为侧，积分值为 + + CM异异侧，积分值为侧，积分值为 - - 一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）4. .M 图图由几种常用图形组合情况由几种常用图形组合情况 ( (1) )将将M 图图分解分解为几种常用图形的组合为几种常用图形的组合 ( (2) )分别应用分别

27、应用图乘法图乘法 ( (3) )叠加叠加 一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）5. .一般情况一般情况 lxxfxF d)()( 若一个为若一个为直线直线或或折线折线， 可使用可使用图乘法图乘法。 一、莫尔积分的计算方法一、莫尔积分的计算方法 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）二、几种常用图形的面积及其形心位置二、几种常用图形的面积及其形心位置 1. .三角形三角形 hl+b3l+a3labClh21 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）h3l85l8l顶点顶点Clh32 2. .二次抛物线二次抛物线 h

28、l43l4l顶点顶点Clh31 二、几种常用图形的面积及其形心位置二、几种常用图形的面积及其形心位置 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）3. .n次抛物线次抛物线hln+2( (n+1) )ln+2l顶点顶点Clhn11 二、几种常用图形的面积及其形心位置二、几种常用图形的面积及其形心位置 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）例例5 用用图乘法求图示梁的图乘法求图示梁的yC。 分为分为AC 和和CB 两段使用图乘法两段使用图乘法 解解：1. .作作M 图图 M2. .作作 图图3. .求解求解21 82322qll 243ql EIMEIMyCCC2211 325

29、2423lqlEI EIql38454 lABqC2l21ABCql82C1C2 1 2l4MCMC21EIMC112 10. .7 图乘法图乘法（维利沙金法维利沙金法）例例6 图乘法求图示外伸梁图乘法求图示外伸梁A 端转角端转角 A。 1. .叠加法作叠加法作M 图图11 CM322 CM213 CMaABqClFql82Fa1ABC1C1C3 1 3C2 2MCMC21MC3Faa 211 221Fa Fal 212 Fla21 83223qll 123ql 3.求解求解 A EIMEIMEIMCCCA332211 21123221121132qlFlaFaEIEIqlalEIFa2432

30、132 解解：M2. .作作 图图第十章第十章 能量法能量法一、一、超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法 二、例题二、例题10. .9 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法10. .9 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法1. .确定超静定次数，选定静定基确定超静定次数，选定静定基)(nmFFFFUUR1R1, 2. .作出相当系统作出相当系统3. .写出相当系统的应变能写出相当系统的应变能4. .根据多余约束处的根据多余约束处的位移条件位移条件，01R FU02R FU0R nFU1F2FmF1n21F2FmF1n2R1FR2FRnF5. .联立求解补充方程，得到全部多余约束力联

31、立求解补充方程，得到全部多余约束力6. .按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移 应用卡氏定理列出补充方程应用卡氏定理列出补充方程一、超静定结构的基本解法一、超静定结构的基本解法原结构原结构静定基静定基系统系统相当相当10. .9 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法二、例题二、例题10. .9 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法例例 7 图示超静定梁的图示超静定梁的EI为常量，试求多余约束力。为常量，试求多余约束力。解解： 一次超静定一次超静定1. .取静定基取静定基 2. .作作相当系统相当系统 4. .求解求解变形协调方程变形协调方程2R21qxxFxMB )(3. .列变形协调方程列变形协调方程xFxMB R)(xFxMEIxMFUBlBdR 0 R )()(xxxqxFEIlBd21 0 2R 83143RqllFEIB