第三章__线性系统的时域分析法

1、自动控制原理自动控制原理东华理工大学机电学院自动化系东华理工大学机电学院自动化系3.13.1系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标3.23.2一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.33.3二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.43.4高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3.53.5线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3.63.6线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算 3.1 3.1 概述概述 系统的数学模型建立后，便可对系统进行分分析和校正析和校正。 分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。 系统分析系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标； 校正校正是根据需要在系统中

2、加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。系统分析的目的在于系统分析的目的在于“认识认识”系统，系统校正的目的在于系统，系统校正的目的在于“改造改造”系系统。统。系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。 3.1系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标 1典型输入信号典型输入信号动态过程和稳态过程又称瞬态响应和稳态响应动态过程和稳态过程又称瞬态响应和稳态响应 (Transient Response & Steady state Response)。在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都有动态动态过程过程和稳态过程稳态

3、过程两部分组成。在典型输入信号作用下，指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化。动态过程表现为、或。一个实际运行的系统其动态过程必须是的，即系统必须是的。在典型输入信号作用下，当 t 趋于无穷大时，系统的输出量的表现方式。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态一种度量。在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，统的稳态特

4、性，。： 在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为数为0），对阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的），对阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，

5、通常采用下列一些性能指标。通常采用下列一些性能指标。 1、延迟时间td：响应曲线从运动开始第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。 2、上升时间tr：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。 3、峰值时间tp：响应曲线超过其终值到达第一个峰值所需要的时间。4、调节时间ts:在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间 ( )( )%100%( )ph thh5、最大超调量 %trtr、tptp评价系统的响应速度评价系统的响应速度 . .tsts同时反映响应速度和阻

6、尼程度的同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标综合性指标 . . 评价系统的阻尼程度评价系统的阻尼程度 %3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析i(t)+r(t)c(t)+（a） 电路图RC)(trUdtduRCcc)()()(trtCtCTR(s)C(s)（b）方块图I(s)R(s)C(s)（c）等效方块图11)()()(TSsRsCs当初始条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。应。 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为

7、电路输入电压，T=RC为时间常数。 1、一阶系统单位阶跃响应 其传递函数为( )11/( )( )11/C sTsR sTSSTT11 特征方程：特征方程：01Ts特征根：特征根：11/( )( ) ( )( )( )11/TC ss R sR sR sTSST 1( )1( )( ) r ttR ssTssTsBsAsTssRssC1111111)()()(待定系数如下待定系数如下sAsTssRs111)()(1111)()(0SsTsssRsA当：当：有：有：1111)()(TsBsTssRs11111 - STB(Ts)TTss 当：当：有：有：tTesCLth 111)()(TssTs

8、TssTssRssC11111111)()()(求拉氏反变换有：求拉氏反变换有：1( )10 tTh tet 图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)( )h t传递函数的极点是产生系统响应传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。适用于高阶线性定常系统。 Ttd69. 0Ttr20. 2误差带）%5(3Tts不存在和pt2、一阶系统的单位脉冲响应 响应曲线呈单调下降，无超调，无振荡，在t=

9、0 处下降速率最大，之后速率变小，且下降速率 与时间常数 成反比，即T越小，下降速率越快。 t( )c t03. 一阶系统的单位斜坡响应 21( )*1( )( ) r tttR sS单位斜坡函数输入时 TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222tTtTTeTteTttc11)1 ()(r(t)c(t)r(t)c(t)t0图3-5 一阶系统的斜坡响应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 Tteetss)(lim结论：一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总存在位置误差，且位置误差的大小随时间而增大，最终趋时间常数T，因此T越大则误差也越大。 减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，

10、还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差 4. 一阶系统的单位加速度响应 221)(ttr31)(SsRTSTs11)(TSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()()(2223233当 )0()1 (21)(122teTTtttctT)1 ()()()(12tTeTTttctrte积分积分积分积分3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析22222( )1( )( )221nnnC ssR sST ST0222nnSS二阶系统的特征方程： 21,21nnSj 根表达式： 若系统阻尼比 :0njS2, 1零阻尼系统 :10欠阻尼系统 21.2211nnnnnds

11、jj :1ns2 . 1临阻尼系统 :1过阻尼系统 :0 负阻尼系统 02, 1SS1,2 = 为两个不相等的负实根 一对纯虚根 （一对复数根 ） （一对负的重实根 ） 取值范围不同，特征根形式不同，响应特性也不同1. 二阶系统的阶跃响应 (1)欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 1021,21nndSjj n21nd令衰减系数 阻尼振荡频率222222211( )( ) ( )2()()nnnnnndndSC ss R sSSSSSS取拉氏反变换 sin1cos1)(2ttetcddtn211sin()01ntdett 121arccos12 arctg阻尼角阻尼角一对共轭负复数根(2)临界阻尼1

12、SsRtutr1)(,)()(nnnnnSSSSSsC1)(11)()(2220)1 (11)(tteetethnttntnnn单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线取拉氏反变换 21,21nndSjj (3)过阻尼 1SsRtutr1)(,)()(21,21nndSjj 一对负的重实根为两个不相等的负实根0)1(121)1(1211)()1(22)1(2222teethttnn=11(4)无阻尼情况无阻尼情况(=0)系统的单位阶跃响应为 nnnjs122, 1ttcncos1)(222222221112)(nnnnnnsssssssssC系统一对纯虚根系

13、统一对纯虚根所以, 无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正(余)弦振荡曲线(如图3-8所示), 振荡角频率是n。根表达式：根表达式：其振荡频率为而只能测得 实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得 n而只能测得d020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82011015.二阶系统阶跃响应的性能指标计算 （1）延迟时间td1021,21nndSjj 一对共轭负复数根延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量%0,)sin(111)(2ttethdtnarccos1,5 . 0)(2arctgthd令令

14、210.60.210.7dnnt10所以当所以当延迟时间td（2）上升时间tr1)(rth令令21sin()01ntd ret求得 rdt求得 rtn欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统的特征参量的特征参量各指标之间是有矛盾的各指标之间是有矛盾的（3）峰值时间tp对h(t)求导，并令其为零， dpt( )0dh tdt解得（4）最大超调量%超调量在峰值时间发生在tp时刻 %100%100)()()(%21ehhthp（5）调节时间ts)02. 0(4)05. 0(3nSnStt20.10.911 当通过对调节时间、超调量与阻尼比之间关系得比较，可以得出如下的基本结论：调节时间 ts、 %21p2 ,

15、100%exp() 100%1rdte某位置控制系统(随动系统)，其闭环传递函数2( )mKsT SSKmnmTKKT21矛盾阻尼大，超调小矛盾！矛盾！n一定, tr 速度慢用什么办法来改善系统性能呢？KnK6二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善在前向通道串连一个一阶微分环节(PD)，闭环传递函数变为：2222222(1)()( )2(2)ndnndnnnnT SSzsSS TSz SS = +0.5nTd， z=Td-1（零点）（1）比例）比例微分控制微分控制1C(s)R(s)n2s(s+2n)Tds1+TdsC(s)R(s)n2s(s+2n)可通过适当选择微分时间常数Td，改变系统阻尼比x

16、(变大)；比例微分控制(PD)可以不改变自然频率wn，但可增大系统的阻尼比x；阻尼比x增大，但自然频率wn不变，因此系统的性能得到了改善(sp,ts)。但PD控制同时给系统增加了一个闭环零点，零点是如何影响系统响应的还需进行深入的研究：2.速度反馈控制标准二阶系统加速度负反馈，其开环与闭环传递函数分别变为： 20222222( )(2)( )(2)nnnnnnnG ssssss 系统自激振荡频率不变，阻尼比增大为： 0.5n sC(s)R(s)n2s(s+2n)结论：测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差测速反馈不影响系统的自然频率不变；系统的阻尼比增大；测速反馈不

17、形成闭环零点，与PD对系统动态性能的改善程度不相同； 设计时，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。3.4 3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。阶系统。从理论上讲，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，进而确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分析计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。3.4.1高阶系统单位阶跃响应3.4.2闭环主导极点的概念3.4.3高阶系统单位阶跃响应的近似分析设系统的所有零点、极点互不相同，且极点中有q个实数

18、极点和r对复数极点(q+2r=n)，零点中只有实数极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为()/222iknknk11( ) 1( )( )( )()(2)qn qikM sM sC sD s sssPss 零初始条件下的单位阶跃响应为：(3-32)iknkqrPt tknk0idkki=1k=1dkB ( ) e+esin( t+ )C t 式中A0、Ai、Bk都是进行部分分式展开时所确定的常数，与系统零极点分布有关。结论：1)系统响应由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成；2)瞬态分量取决于它们的指数Pi、knk的值和相应项的系数Ai、Bk：系统闭环极点距虚轴越远，即Pi或knk

19、值越大，则该项衰减越快，反之亦然；瞬态分量的系数与闭环零极点相对位置有关:如果某极点与零点很靠近【偶极子】，则相应分量的系数也很小(Pi-Zi0)，这对零极点对系统过渡过程的影响也将很小。3)即系统的瞬态特性主要由那些靠近虚轴而又远离零点的极点主导极点来决定。 3.4.2 3.4.2 闭环主导极点的概念闭环主导极点的概念如系统的某个(对)极点离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的5倍以上，则系统的瞬态特性将主要由这个(对)极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个(对)极点就称为高阶系统的主导极点。如：s1s2s3n主导极点示意图5ns1,2是

20、主导极点，因为Res35Res1高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，故可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。闭环主导极点的应用1)闭环零点的作用为减小峰值时间，使系统响应速度加快，并且闭闭环零点的作用为减小峰值时间，使系统响应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，这种作用越显著；环零点越接近虚轴，这种作用越显著；2)闭环非主导极点的作用为增大峰值时间，使系统响应速度变缓；闭环非主导极点的作用为增大峰值时间，使

21、系统响应速度变缓；3)若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响相互削若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响相互削弱；弱；4)若系统不存在闭环零点和非主导极点，则式若系统不存在闭环零点和非主导极点，则式(369)还原为式还原为式(322)。在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。3.5.1 稳定的概念与定义3.5.2 线性系统稳定的充要条件3.5.3 稳

22、定判据1 稳定的概念与定义稳定性有多种定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性渐近稳定性：稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系统采用上述的稳定性的定义。 2线性系统稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件假设系统的初始条件为零，外部激励为输入信号 ( )( )r tt线性系统稳定要满足 的条件，实际上取决于其特征根，也即系统闭环传递函数的极点 .( )0limtg tc(t)=A0+A1es1t+Anesnt 3 3劳思劳思赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据

23、（1）赫赫尔维茨稳定判据 系统特征方程： 043223140asasasasa4203142031000000aaaaaaaaaa系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：特征方程的全部系数都为正，特征方程的全部系数都为正，且主行列式及对角线上的子行且主行列式及对角线上的子行列式都大于零。列式都大于零。 000000000000, 0, 0, 0246403142031321413314203123021203114321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即：即：当系统特征方程的次数当系统特征方程的次数较高时，应用赫尔维茨较高时，应用赫尔维茨判据的计算工作

24、量较大判据的计算工作量较大 系统稳定的充要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能系统稳定的充要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，则可用劳斯判据判稳。劳思表中第一列的所有元素都大于零，稳定，则可用劳斯判据判稳。劳思表中第一列的所有元素都大于零，系统必定稳定。系统必定稳定。 (2) (2)劳思稳定判据劳思稳定判据系统特征方程的标准形式： 01110nnnnaSaSaSa02461135721234312342121101nnnnSaaaaSaaaaSbbbbSccccSeeSfSg141713131512121311170613150412130211bbaabcbbaabcbbaa

25、bcaaaaabaaaaabaaaaab判别方法：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。举例(1)三阶系统特征方程式： 0322130asasasa30130213122030asaaaaasaasaas列劳斯表： 系统稳定的充分必要条件是： 0)(0, 0, 0, 030213210aaaaaaaa特殊情况一（第一列中有一元素为零） 012234ssss10221221110234sssss22, 0有两个根位于右半平面，系统不稳

26、定。 注意：劳斯表每列元素同时乘或除某一个数，不影响计算结果。特殊情况二（劳斯表中一行元素均为零）： 0161620128223456ssssss征方程为: 80348301240008610161221620810233456ssssssss辅助方程：sssAsssA124)(86)(324 第一列没改变符号，右半平面没有根 08624 ss2,20)2)(4(842864321222424jPjPsssssss有一对共轭虚根。辅助方程： 至少有三种情况：1、特征方程有一对实根，大小相等，符号相反2、有一对虚根3、有对称于S平面原点的共轭复根 举例：试用劳斯判据确定系统稳定的开环增益K的取值

27、范围 ) 125. 0)(11 . 0(SSSKR(s)C(s)kssskksssksWB4040144040)4)(10(40)(3闭环传函： 系统特征方程式：040401423kssskskskss400144056040144010123为使系统稳定，必须 40k0即k00k14 5604001414kKk0是终值定理3、阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数 .)(,)(000SRsRRRtr常量。000000( )lim( )limlim* ( )*1( ) ( )1( ) ( )1lim( ) ( )1ssssssRRsR sssesE sR sH s G sH s G sH

28、s G ssKp0lim( ) ( )psKH s G s静态位置误差系数:pK令1,0,KKp1,00,10constKRess则000lim( )( )( )( )sKKG s H sG s Hsss由如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。 4、斜坡输入作用下的静态误差与静态速度误差系数 0002( )( ) =vr tv tvconstR ss)673()()(lim)()(lim)()(1lim00000200vsssssKvsGsSHvsGsSHSvsGsHSvSe)683(lim)()(lim100SKsGsSH

29、Kssv令称为静态速度误差系数 ，指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统的稳态输出与输入之间存在 2100KKv20100Kvess000lim( )( )( )( )sKKG s H sG s Hsss由结论：0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差型及型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差 5、加速度输入作用下的静态误差与静态加速度误差系数 )613()(,21)(30020由式SasRconstatatr)693(lim)()(lim)()(1lim)(lim0022003000assssssKasHsGSSasHsGSaSsSEe

30、)703(lim)()(lim2020vssaSKsHsGSK度误差系数定义为系统的静态加速aK321 , 00KKa3021 , 00constKaess令令 令令关）有关、开环传递函数有就越小（与系统稳态误差静态误差系数K分析结论：（1）系统的稳态误差与输入信号有关（2）系统的稳态误差与开环放大倍数K基本成反比关系。对于有差的系统，K值越大稳态误差越小。（3）系统的稳态误差与开环传递函数的积分环节数有关。积分环节数增加，稳态误差减小，但 同时系统的稳定性变差。 0/K例例 系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，求求 r(tr(t) )分别为分别为A1(t), At, AtA1(t), A

31、t, At2 2/2 /2 时系统的稳态误差。时系统的稳态误差。解解KTssTsssRsEse )1()1()()()()( 1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAtr )(KAsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssTsssesss 系统自身的结构参数系统自身的结构参数影响影响 e essss 的因素：的因素： 外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等） 外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）构根据定义求解构根据定义求解例例 系统结构图如图所示，已知输入系统结构图如图所示，已知输入 , 求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。242)(tttr 解解)() 1()(21assTsKsG 21vaKK)1()()(121 TsKassKs0)(1123 KTsKasssDttr2)(1 01 sse2222184)(tttr 128KaKAess 1218Kaeeessssss 首先判别系统是否稳定首先判别系统是否稳定劳斯表劳斯表6、扰动作用下的稳态误差 )(sR)(sG)(sE)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN- -N N( (s s) )C C(