椭圆的几何性质2014.10.13

1、解析几何研究的主要问题解析几何研究的主要问题?(1)根据已知条件根据已知条件,求出表示曲线的方程求出表示曲线的方程(2)通过曲线的方程通过曲线的方程,研究曲线的性质研究曲线的性质1、范围（封闭性）：、范围（封闭性）：从图象上看：从图象上看：从方程看：从方程看：O012222axby122axaxa则则即即同理有同理有122bybyb即即说明椭圆位于直线说明椭圆位于直线byax,所围成的矩形框里所围成的矩形框里XF1F2Y-axa, -byb一一.知识疏理知识疏理OXF1F2Y2、对称性：、对称性：从方程上看：从方程上看：从图形上看从图形上看:（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变

2、，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成方程不变，图象关于原点成中心对称。中心对称。椭圆关于椭圆关于y轴、轴、x轴、原点对称。轴、原点对称。可知可知:椭圆关于椭圆关于x轴轴,y轴都是对称的轴都是对称的,这时称坐标轴是椭圆的这时称坐标轴是椭圆的对称对称轴轴,原点是椭圆的原点是椭圆的对称中心对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心.3.顶点顶点从图象上看从图象上看:A1(-a,0),曲线与曲线与x轴轴,y轴的交点坐标轴的交点坐

3、标线段线段A1A2叫叫长轴长轴，其长度等于，其长度等于从方程上看从方程上看: 在椭圆的标准方程里在椭圆的标准方程里令令x=0,则则y2=b2,即即y=b;令令y=0,则则x2=a2,即即x=a,.A2(a,0),B1(0,-b), B2(0,b)线段线段B1B2叫叫短轴短轴，其长度等于，其长度等于可得到上面四个特殊点。这四个特殊点叫做椭圆的可得到上面四个特殊点。这四个特殊点叫做椭圆的顶点顶点OXYA1A2B1B2F1F2abc2a;2b;a和和b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长.?222的几何意义是什么cba思考思考:4.离心率：离心率：ace 思考思考:(1)

4、e的范围是什么的范围是什么? 0e1(2)当当e越接近越接近1,图形相应如何变化图形相应如何变化?e越接近于越接近于0呢呢?椭圆越扁椭圆越扁椭圆越接近与圆椭圆越接近与圆例例.求求椭椭圆圆400251622yx的的长长轴轴和和短短轴轴的的长长、 离离心心率率、焦焦点点和和顶顶点点的的坐坐标标. 例例.已已知知椭椭圆圆G的的中中心心在在坐坐标标原原点点，长长轴轴在在x轴轴上上， 离离心心率率为为23，且且G上上一一点点到到两两个个焦焦点点的的距距离离之之和和为为12， 求求椭椭圆圆G的的标标准准方方程程、长长轴轴和和短短轴轴长长、焦焦点点和和顶顶点点的的坐坐标标 例例.椭椭圆圆的的焦焦点点在在y轴

5、轴上上，一一个个焦焦点点到到长长轴轴的的两两端端点点的的距距离离 之之比比是是4:1，短短轴轴长长为为8，求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程. 例例.椭椭圆圆122 kyx的的焦焦点点在在y轴轴上上，长长轴轴长长是是 短短轴轴长长的的3倍倍，则则m . 例例.已已知知椭椭圆圆12:22 yxC，P是是椭椭圆圆C上上任任意意一一点点， )3 , 0(A，则则PA的的最最大大值值为为 . 例例 .已已 知知 椭椭 圆圆 的的 一一 个个 焦焦 点点 将将 长长 轴轴 分分 为为2:3两两 段段 ， 求求 椭椭 圆圆 的的 离离 心心 率率 . 例例.已已知知1F为为椭椭圆圆的的左左焦焦点点，BA、分

6、分别别为为椭椭圆圆的的右右顶顶点点和和上上顶顶点点， P为为椭椭圆圆上上的的点点，当当FAPF 1，ABPO/（O为为椭椭圆圆中中心心）时时， 则则椭椭圆圆的的离离心心率率为为_. 例例.已已知知点点12FF、分分别别是是椭椭圆圆)0(12222babyax的的左左、右右焦焦点点， 过过1F且且垂垂直直于于x轴轴的的直直线线与与椭椭圆圆交交于于BA、两两点点，若若2ABF为为正正三三 角角形形，则则该该椭椭圆圆的的离离心心率率e 为为（ ） A.21 B.22 C.31 D.33 O x y 1F B A P x y F1 F2 B A 例例.椭椭圆圆)0( 12222babyax的的两两个个

7、焦焦点点是是21FF、，以以21FF为为边边 做做正正三三角角形形21FPF，若若椭椭圆圆与与1PF的的交交点点恰恰好好为为1PF的的中中点点， 则则椭椭圆圆的的离离心心率率为为（ ） A.213 B.)32(4 C.13 D.432 例例.焦焦点点在在x轴轴的的椭椭圆圆2215xyk的的离离心心率率为为55，求求k. 例例.椭椭圆圆2215xyk的的离离心心率率为为55，求求k. 例例.椭椭圆圆)0(12222babyax, 21FF、为为椭椭圆圆左左右右两两焦焦点点， 若若椭椭圆圆上上存存在在点点P使使021120PFF，求求离离心心率率e的的取取值值范范围围. 例例.设设椭椭圆圆1925

8、22yx的的两两个个焦焦点点分分别别为为21FF、，P是是椭椭圆圆上上的的一一点点， （）求求21PFPF 的的最最大大值值； （）求求21PFPF 的的取取值值范范围围； （）求求12PFPF 的的取取值值范范围围； （）若若21PFF为为钝钝角角，求求点点P横横坐坐标标的的取取值值范范围围. 解： （）25)2(222121aPFPFPFPF， （）25)5(10)10(211211121PFPFPFPFPFPFPF 9 , 1 1PF，25, 921 PFPF 法 2：200021251625)545)(545(xxxPFPF，5 , 50 x，25, 921 PFPF （）212122

9、2212121212cosPFPFFFPFPFPFPFPFPFPFPF 22)(21221221FFPFPFPFPF 9 , 71822424212122212PFPFPFPFbcPFPFa 法 2：2221)16(),4(),4(yxyxyxPFPF 7251616)251 (91622222xxxyx 因为55x，则9 , 772516221xPFPF. （）设),(00yxP，则002001545545xexaPFxexaPF， 由已知得02212221FFPFPF08)545()545(22020 xx 06425325020 x14253220 x1625720 x4754750 x

10、 法 2：设),(yxP，则 2221)16(),4(),4(yxyxyxPFPF 07251616)251 (9222xxx162572x475475x. 例例.已已知知点点) 1 ,0(在在椭椭圆圆1422myx内内部部，则则实实数数m的的取取值值范范围围是是 . 例例.已已知知对对kR，直直线线10ykx与与椭椭圆圆1422myx恒恒有有公公共共点点，则则 实实数数m的的取取值值范范围围是是 . 焦点三角形21PFF的相关结论： （1）caCPFF2221； （2）2tan21221PFFbSPFF； （3）bcSPFF21； （4）0201exaPFexaPF； （5）,1cacaPF

11、； （6）当P在短轴顶点时，21PFF最大； （7）设21FPF，12FPF， 则离心率sinsin)sin(2121PFPFFFe 例例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程31e,6a,y)1(轴上焦点在53,16)2(离心率等于短轴长等于中点坐标？两点，求线段，交椭圆于，设直线长轴长为），（），（的焦点例：椭圆ABBAxyFFC2602202221弦所在的直线方程）求被椭圆截得的最长（范围时，求实数当直线和椭圆有公共点及直线例：椭圆2) 1 (1422mmxyyx点差法中点求法：韦达定理；）弦（大题需简单推导）公式：求法：）直线被椭圆截得弦长（法判别法：）直线和

12、椭圆位置关系（AByyyykxxxxkABAB9(4)()1(14)(187212212212212小结小结:方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F212222byax12222aybx)10(eace例： 已知椭圆 的中心为 坐标原点 O，焦 点在x轴上，斜 率为 1 且过 椭圆右焦 点 F 的直 线交椭圆 于 A、 B 两点 ， OAOB 与(3,1)a 共 线。 （ ）求椭圆 的离心率 ； （ ）设 M 为椭 圆上任意 一点，且 ( ,)OMOAOBR ， 证明22为 定值。 解解：设设椭椭圆圆方方程程为为)0

13、,(),0( 12222cFbabyax 则则直直线线 AB 的的方方程程为为cxy，代代入入12222byax， 化化简简得得02)(22222222bacacxaxba. 令令 A（11, yx） ，B22,(yx） ， 则则22222121222222,.a ca ca bxxx xabab 由1212(,),(3, 1),OAOBxxyyaOA OB 与a共线， 得,0)()(32121xxyy 又cxycxy2211,， .23, 0)()2(3212121cxxxxcxx 即232222cbaca，所以36.32222abacba， 故离心率.36ace （II）证明： （1）知2

14、23ba，所以椭圆12222byax 可化为.33222byx 设( , )OMx y ，由已知得),(),(),(2211yxyxyx .,2121xxyxxx ),(yxM在椭圆上， .3)(3)(2221221byyxx 即.3)3(2)3()3(221212222221212byyxxyxyx 由（1）知.21,23,23222221cbcacxx .0329233)(34)( 33832222212121212121222222221cccccxxxxcxcxxxyyxxcbabacaxx 又222222212133,33byxbyx，代入得.122 故22为定值，定值为 1. 的最

15、大及最小值为？）是定点，则，（椭圆上动点，为的左焦点，是椭圆1221114595. 1PFPAAPyxF求椭圆方程为原点，中点，是两点，相交于与椭圆：）（）导与学（作业：,222211210.22122OMkOABABMBAbyaxyxLP，不存在说明理由共线？存在求与使得，是否存在常数，交点分别为轴正半轴的轴正半轴、两点，椭圆和，相交于与椭圆：）（）导与学（作业：kABOQOPkBAyxQPyxkxyLP12229 .57122作业讲评：例例 .已已 知知 定定 点点)0, 3(),0 ,3(CB ，A BC的的 周周 长长 等等 于于16， 求求A B C的的 顶顶 点点A的的 轨轨 迹迹

16、 方方 程程 . 解：由已知得610BCACAB， 则点A的轨迹为以)0 , 3(),0 , 3(CB 为焦点， 长轴长为10的椭圆且挖去左右顶点， 3, 5ca，16222cab， 顶点A的轨迹方程为)0( 1162522yyx. 2.已已知知12FF、为为椭椭圆圆13422yx的的两两焦焦点点，P为为椭椭圆圆上上 任任一一点点，当当123F PF，求求21PFFS； 解：设nPFmPF21,，由已知得 42160cos242)(240222nmmnmnnmmnnm mnmn421612mn， 3360sin21021mnSFPF. 作业讲评：1.设设P为为椭椭圆圆11022 yx上上的的动

17、动点点，)6 , 0(A， 求求PA的的最最大大距距离离. 解：设),(yxP，则 4612936121010)6(22222yyyyyyxPA 50)32(92y，11y，当32y时，2550maxPA. 2.若若点点O和和点点F分分别别为为椭椭圆圆13422yx的的中中心心和和左左焦焦点点，点点P为为椭椭圆圆上上点点 的的任任意意一一点点，则则FPOP 的的最最大大值值为为 A.2 B.3 C.6 D.8 解：由已知得)0 , 1(F，设点),(00yxP， ), 1(00yxFP，),(00yxOP ， 20000000) 1(), 1(),(yxxyxyxFPOP )41 (3) 1(2000 xxx341