圆的基本性质复习

1、鹤壁四中 王静知识体系知识体系圆圆基本性质基本性质概概念念对对称称性性垂垂径径定定理理圆心角、圆心角、弧、弦之弧、弦之间的关系间的关系定理定理圆周角与圆周角与圆心角的圆心角的关系关系弧长、扇形面积和圆锥弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算的侧面积相关计算一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于定长的点的到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、半圆、劣弧、弧、优弧、半圆、劣弧、 等弧等弧(3)弦心距弦心距O 1.下列命题中正确的是（C） A.弦是圆上任意两点之间的部分 B

2、.半径是弦 C.直径是同圆中最长的弦 D.弧是半圆，半圆是弧 2.已知A,B是半径为6cm的圆上的两个不同的点，弦长AB的取值范围是 0AB12 篮球是圆吗？篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内圆必须在一个平面内 以以3cm为半径画圆，能画多少个？为半径画圆，能画多少个？ 以点以点O为圆心画圆，能画多少个？为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是圆是“圆周圆周”还是还是“圆面圆面”？ 圆是一条封闭曲线圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？圆周上的点与圆心

3、有什么关系？二二. 圆的基本性质圆的基本性质1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具即圆具有旋转不变性有旋转不变性.圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等， 圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等， 圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦

4、的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中( (前提前提) )圆心角相等圆心角相等（条件）（条件）想一想想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？侧半圆会有什么关系？性质：性质：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条，任何一条直径直径所在所在的直线都是它的的直线都是它的对称轴对称轴。OCDABOCDAB观察右图，有什么等量关系？观察右图，有什么等量关系？OBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。AO=BO

5、=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。OBCDAE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。圆的轴对称性圆的轴对称性EDBA垂径定理：AB是直径 AB CD于ECB=DBAC=ADCE=DE推论推论: : CC知识要点3（2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的直径的直径，垂直平分弦垂直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。（1）平分弦平分弦 的直径的直径垂直于弦垂直于弦，并且，并且平分弦所平分弦所对的两条弧对的两条弧；（不是直径）（不是直径）仔细辩一辩仔细辩一辩 判断：判断： 垂直于弦的直线平分

6、这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） (4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）EDCCAB判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不可！可！ 1、如图、如图,已知已

7、知 O的半径的半径OA长长为为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长为的长为 _.OABC3AC=BC弦心弦心 距距半径半径半弦长半弦长OABE若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，表示，半径用半径用r表示，弦长用表示，弦长用a表示，表示，这三者之间有怎样的关系？这三者之间有怎样的关系？2222adr反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO2 2：如图，圆如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ， DCDC2 2，直径，

8、直径CEABCEAB于于D D， 求半径求半径OCOC的长。的长。DCEOAB垂径垂径 如图，P为 O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求 O的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。例例1.一条米宽的河上架有一半径为一条米宽的河上架有一半径为m的圆弧形拱桥，的圆弧形拱桥，请问一顶部宽为米且高出水面米的船能否通过此桥，并说请问一顶部宽为

9、米且高出水面米的船能否通过此桥，并说明理由明理由CABFOEDODBAC例已知例已知:如图如图,是是 直径直径,AB=10,弦弦AC=8,D是弧是弧AC中点中点,求求CD的长的长.E543252圆的旋转不变性知识要点4：顶点在圆心的角。：顶点在圆心的角。（如：（如：AOB）C：从圆心到弦的距离。：从圆心到弦的距离。（如：（如：OC）OABOBACDF圆心角：如圆心角：如BOA圆内角：如圆内角：如BCA圆周角：如圆周角：如BDA圆外角：如圆外角：如BFA角的顶点角的顶点在圆心在圆心角的顶点在圆周上角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢的角就是圆周角呢? ?OBACOBC

10、AOCAB如图如图，CD为为 O的直径的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？你能得到什么结论？圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等。FOBAECD 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？推论推论1 1同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。其余各组量也相等。OBACDOCBAFEDOBADEC推论推论2 2半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是9090；9090的圆周