A同一律超星数字图书馆实用教案

1、16.1 集合(jh)的基本概念1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为(chn wi)集合，称这些个体为集 合的元素 例：方程x210的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自 然数的全体、直线上的点 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合第1页/共70页第一页，共71页。26.1 集合(jh)的基本概念2. 集合表示法 列元素法（枚举法）-是列出集合的所有元素, 元素之间用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来. 例如 A=a, b, c, ,

2、z N=0,1,2,3, Z=0, 1, 2, 谓词表示法-通过(tnggu)谓词概括集合元素的性质 例如： S= x | x是实数 x21=0 表示方程x210的实数解集. 有些集合(jh)可以用列元素法，也可以用描述法，它们之间可以相互转化，但是有些集合(jh)不能用列元素法，如实数集第2页/共70页第二页，共71页。33.3.集合的性质 (1) (1) 互异性：集合的元素是彼此不同的, , 如 1, 1, 2, 2, 3 1, 1, 2, 2, 31, 2, 31, 2, 3（2 2）无序性：集合的元素是无序的, , 如 1, 2, 3 1, 2, 33, 1, 23, 1, 2（3 3

3、）确定(qudng)(qudng)性：集合中的元素是确定(qudng)(qudng)的，对元素a a和集合A A，有 a a A A或a a A A，必居其一且只居其一（）任意性：集合的元素也可以是集合第3页/共70页第三页，共71页。4元素(yun s)与集合元素元素(yun s)与集合的关系与集合的关系 隶属关系：隶属关系： 或者或者 集合的树型层次结构集合的树型层次结构 例如：例如：A= a, b,c ,d , d 这里这里 dA ，b,cA，dA。但是 bA，dA可以用一种树形图来表示(biosh)这种隶属关系。第4页/共70页第四页，共71页。5元素(yun s)与集合在本课程所中所

4、采用的体系(tx)中规定集合的元素都是集合. 第5页/共70页第五页，共71页。6集合(jh)与集合(jh)集合(jh)与集合(jh)之间的关系：, =, , , , 6. 同一个层次上的两个集合(jh)的关系 定义6.1 设A, B为集合(jh), 如果B中的每个元素都是A中的元素, 则称B是A的子集合(jh), 简称子集. 这时也称B被A包含, 或A包含B, 记作B A. B A x ( xB xA) 例如 N Z Q R C,如果B不被A包含, 则记作B A.第6页/共70页第六页，共71页。7 显然对任何集合A都有A A. 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系, 对于某些集合可 以

5、同时成立这两种关系. 例如 Aa,a和a 既有aA, 又有a A. 前者把它们看成是不同层次上的两个 集合, 后者把它们看成是同一层次上的两个集合. 定义6.2 设A, B为集合, 如果A B且B A, 则称A与B相等(xingdng), 记作AB. 如果A与B不相等(xingdng), 则记作AB. 相等(xingdng)的符号化表示为: AB A BB A 第7页/共70页第七页，共71页。8 定义(dngy)6.3 设A, B为集合, 如果B A且BA, 则称B是A的真 子集, 记作B A. 如果B不是A的真子集, 则记作B A. 真子集的符号化表示为 B A B ABA 例如 N Z

6、Q R C, 但N N. 思考： 和 的定义(dngy) 注意 和 是不同层次的问题第8页/共70页第八页，共71页。9空集(kn j)、全集和幂集 定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合。 空集可以符号化表示为 x|xx. 实例： x | xR x2+1=0 是方程x2+1=0的实数解 集, 因为该方程无实数解, 所以是空集. 定理6.1 空集是任何集合的子集(z j)。 证 对于任意集合A，由子集(z j)定义有 A x (x xA) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题, 所以A 也为真. 第9页/共70页第九页，共71页。10 推论 空集是唯一的. 证：假设存在空集1和2, 由定理6.1有

7、 1 2 2 1 根据集合相等的定义, 有1 2 . 含有n个元素(yun s)的集合简称n元集, 它的含有m(mn)个元素(yun s) 的子集叫做它的m元子集. 任给一个n元集, 怎样求出它的全部子集呢？举例说明 如下：第10页/共70页第十页，共71页。11 例6.1 A1,2,3, 将A的子集分类： 0元子集, 也就是空集, 只有一个： ； 1元子集, 即单元集：1, 2, 3； 2元子集：1,2, 1,3, 2,3； 3元子集：1,2,3. 注:由0元子集的个数,加1元子集的个数,可得到(d do)子集总数 2n.第11页/共70页第十一页，共71页。12 定义6.5 设A为集合,

8、把A的全部子集构成的集合叫做(jiozu)A的 幂集, 记作P(A)(或PA, 2A). 幂集的符号化表示为 P(A)x|x A 对于例6.1中的集合A有 P(A), 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3 若A是n元集, 则P(A)有2n个元素. 幂集第12页/共70页第十二页，共71页。13 定义6.6 在一个具体问题中, 如果所涉及的集合都是某个集合的子集, 则称这个集合为全集(qunj), 记作E. 全集(qunj)是有相对性的, 不同的问题有不同的全集(qunj), 即使是同一个问题也可以取不同的全集(qunj). 例如在研究平面上直线的相互关系时, 可

9、以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集(qunj), 也可以把整个空间(空间上所有点的集合)取作全集(qunj). 一般地说, 全集(qunj)取得小一些, 问题的描述和处理会简单些. 全集(qunj)第13页/共70页第十三页，共71页。146.2 集合(jh)的运算 1.初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 设A, B为集合, A与B的并集AB, 交集AB, B对 A的相对补集AB分别定义如下： 并 AB = x | xA xB 交 AB = x | xA xB 相对补 AB = x | xA xB 由定义可以看出, AB是由A或B中的元素(yun s)构成, AB由A 和B中的公共

10、元素(yun s)构成, AB由属于A但不属于B的元素(yun s)构成. 第14页/共70页第十四页，共71页。15 例如 Aa, b, c, Ba, Cb, d 则有 ABa, b, c, ABa, ABb, c, BA , BC 如果(rgu)两个集合的交集为 , 则称这两个集合是不相交的. 例如B和C是不相交的. 并和交运算可以推广到n个集合上，即 A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn第15页/共70页第十五页，共71页。16 上述(shngsh)的并和交可以也可以写作： A1 A2 An A1 A2 An 并和交运

11、算还可以推广到无穷多个集合的情况： A1 A2 A1 A2 第16页/共70页第十六页，共71页。17 定义6.8 设A, B为集合, A与B的对称差集AB定义为： A B(AB)(BA) 例如(lr) Aa, b, c, Bb, d, 则A Ba, c, d. 对称差运算的另一种定义是 A B(AB)(AB) 第17页/共70页第十七页，共71页。18 在给定全集(qunj)E以后, AE, A的绝对补集A定义如下： 定义6.9 AEAx|xExA 因为E是全集(qunj), xE是真命题, 所以A可以定义为 Ax|xA 例如 Ea, b, c, d, Aa, b, c, 则 Ad. 第18

12、页/共70页第十八页，共71页。19 以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram) 给予形象的描述. 文氏图的构造方法如下： 首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略), 其次在矩形内画一些圆(或任何其他的适当的闭曲线), 用圆 的内部表示集合. 不同的圆代表不同的集合. 如果没有关于集合 不交的说明(shumng), 任何两个圆彼此相交. 图中阴影的区域表示新组成 的集合. 图6.2就是一些文氏图的实例. 第19页/共70页第十九页，共71页。20文氏图第20页/共70页第二十页，共71页。21几点说明(shumng)lA B AB = l AB = AB

13、 = A第21页/共70页第二十一页，共71页。22广义(gungy)运算 2. 集合的广义并与广义交 定义(dngy)6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，符号化： A = x | z ( zA xz ) 定义(dngy)6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，符号化： A= x | z ( zA xz ) 实例 1, 1,2, 1,2,3=1,2,3 1, 1,2, 1,2,3=1 a=a， a=a a=a， a=a第22页/共70页第二十二页，共71页。23关于(guny)广义运算的说明 2. 广义运算的性质 (1) =，无意

14、义 (2) 单元集x的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般(ybn)情况下可以转变成初级运算 A1, A2, , An=A1A2An A1, A2, , An=A1A2An 3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 x | xR=R 这里的 R 代表实数集合. 第23页/共70页第二十三页，共71页。24运算(yn sun)的优先权规定 一类运算：称广义并，广义交，幂集,绝对补运算 二 类运算：并,交,相对补,对称差运算 混合运算：一类运算优先于二类运算 运算由右向左进行 优先顺序由括号(kuho)确定例1

15、A=a,a,b，计算(j sun)A(AA). 解： A= a,b， A= a， A= ab， A = a A(AA) = a,b(ab) a) = (ab)(ab)a) = (ab)(ba) = b第24页/共70页第二十四页，共71页。25 1. 文氏图法 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题. 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来. 一般地说, 每一条性质决定一个集合. 有多少条性质, 就有多少个集合. 如果没有特殊说明, 任何(rnh)两个集合都画成相交的, 然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内. 通常从n个集合的交集填起, 根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域.

16、如果交集的数字是未知的, 可以设为x. 根据题目中的条件, 列出一次方程或方程组, 就可以求得所需要的结果 有穷集合(jh)元素的计数第25页/共70页第二十五页，共71页。26 例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查. 其统计结果如下(rxi)：会英、日、德和法语的人分别为13, 5, 10和9人, 其中同时会英语和日语的有2人, 会英、德和法语中任两种语言的都是4人. 已知会日语的人既不懂法语也不懂德语, 分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数. 解: 令A, B, C, D分别表示会英、法、德、日语的人的集合. 根据题意画出文氏图如图6.3所示.

17、设同时会三种语言的有x人, 只会英、法或德语一种语言的分别为y1, y2和y3人. 将x和y1, y2, y3填入图中相应的区域, 然后依次填入其他区域的人数. 第26页/共70页第二十六页，共71页。27 根据(gnj)已知条件列出方程组如下： 解得x1, y14, y22, y33. 第27页/共70页第二十七页，共71页。28 例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？ 解 方法一 设 S= x | xZ 1x1000 A= x | xS x可被5整除 B= x | xS x可被6整除 C= x | xS x可被8整除 用|T|表

18、示有穷集T中的元素(yun s)数, x 表示小于等于x的最大整数, lcm(x1,x2,xn)表示x1,x2,xn的最小公倍数, 则有 第28页/共70页第二十八页，共71页。29 |S| = 1000 |A|= 1000/5 =200, |B|= 1000/6 = 166, |C|= 1000/8 =125 |A B| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |A C| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |B C| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |A B C| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000

19、/120 = 8 画出文氏图，然后填入相应(xingyng)的数字，解得 N=1000(200+100+33+67) =600第29页/共70页第二十九页，共71页。30有穷集合元素(yun s)的计数 2. 包含排斥(pich)原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为 |.|) 1(.|.|2111121nnnkjikjnjijiniinAAAAAAAAASAAAi 推论推论 S中至少具有一条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为12111121|( 1)|nniijii j nnijkni j k nA

20、AAAAAAAAAAA 第30页/共70页第三十页，共71页。31实例(shl)解：方法(fngf)二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600 |CBA

21、例6.3 求1到1000之间（包含(bohn)1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？第31页/共70页第三十一页，共71页。326.3 集合(jh)恒等式集合( jh)算律1只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律 交换交换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)幂等幂等A A=AA A=A第32页/共70页第三十二页，共71页。33集合(jh)算律 2涉及(shj)两个不同运算的算律： 分配律、吸收律 与与 与与 分配分配A (B C)=(A B) (A C)

22、A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)吸收吸收A (A B)=AA (A B)=A第33页/共70页第三十三页，共71页。34集合(jh)算律 3涉及补运算的算律： DM律，双重(shungchng)否定律 D.M律律A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C) (B C)= BC (B C)= BC双重否定双重否定A=A第34页/共70页第三十四页，共71页。35集合(jh)算律 4涉及全集和空集(kn j)的算律： 补元律、零律、同一律、否定律E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A

23、否定否定=E E=第35页/共70页第三十五页，共71页。36集合(jh)恒等式 下面的恒等式给出了集合运算的主要算律, 其中(qzhng)A, B, C代表任意集合. 幂等律 AAA AAA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 交换律 ABBA ABBA第36页/共70页第三十六页，共71页。37 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) 同一律 AA AEA 零律 AEE A 排中律 AAE矛盾律 AA 第37页/共70页第三十七页，共71页。38 吸收律 A(AB)A A(AB)A 德摩根律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (

24、BC)=BC (BC)=BC E E 双重(shungchng)否定律 (A)A 第38页/共70页第三十八页，共71页。39集合(jh)证明题证明方法：命题演算法、等式置换(zhhun)法命题演算证明法的书写规范 (以下的A和B代表集合公式)(1) 证AB 任取x， xA xB(2) 证A=B 方法一 分别证明 AB 和 BA就是对于任意的x,有 xAxB和xBxA 方法二 任取x，xA xB注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分必要的第39页/共70页第三十九页，共71页。40 选证其中的一部分, 在证明中大量用到命题逻辑的等值式, 在 叙述(xsh)中采用半形式化的方法.

25、方法一：命题演算法 例6.4 证明（德摩根律） A(BC)(AB)( AC). 证 对任意的x xA(BC) xAxBC xA(xBxC)第40页/共70页第四十页，共71页。41 x A( x B x C) x A xB x C ( x A x B) ( x A x C) x AB x AC x ( AB)(AC) 所以(suy) A(BC)(AB)( AC)第41页/共70页第四十一页，共71页。42 例6.5 证明(zhngmng)（同一律） AEA. 证 对任意的x, xAExAxExA(因为(yn wi)xE是恒真命题), 所以 AEA. 第42页/共70页第四十二页，共71页。43

26、集合(jh)等式的证明 例6.6 证明(zhngmng)（吸收律） A(AB) = A 证 任取x, xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A.第43页/共70页第四十三页，共71页。44等式(dngsh)代入法方法二：等式置换法 例6.8 假设( jish)交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律. 证 A(AB) = (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交换律） = AE （零律） = A （同一律）第44页/共70页第四十四页，共71页。45 另一些(yxi)关于集合运算性质的重要结果 ABA, ABB

27、 AAB, BAB ABA ABAB A B =BA B A B =AA-B= ABBA (AB) CA (BC) AA AA ABACBC 第45页/共70页第四十五页，共71页。46 例6.9 证明(zhngmng)等式ABAB. 证 对于(duy)任意的x, xABxAxB xAxB xAB所以 ABAB. 上面等式把相对补运算(yn sun)转换成交运算(yn sun), 这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的. 第46页/共70页第四十六页，共71页。47 例6.10 证明(zhngmng)(AB)BAB证明(zhngmng) (AB)B (AB)B (AB)(BB) (AB)E A

28、B 第47页/共70页第四十七页，共71页。48包含等价(dngji)条件的证明 例6.11 证明AB=B AB AB=A AB= 证明思路： 确定问题中含有的命题：本题含有命题 , , , 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论 确定证明顺序：， 按照顺序依次(yc)完成每个证明（证明集合相等或者包含） 第48页/共70页第四十八页，共71页。49 证： ABBAB 对于任意的x, （A A B ） xA xAxB xAB xB (因为ABB)所以(suy)A B. A B ABA.显然有AB A, 下面证A

29、 AB. 对于任意的x, xAxAx A xAxB (因为AB) xAB 则 A AB 由集合相等的定义有ABA. 第49页/共70页第四十九页，共71页。50 ABA AB AB AB (AB)B (因为ABA) A(BB) A AB= ABB 由例6.10（(AB)BAB）及AB 有 ABB(AB)B B 例6.11给出了A B的另外三种等价的定义, 这不仅为证明两个集合之间的包含(bohn)关系提供了新方法, 同时也可以用于集合公式的化简. 第50页/共70页第五十页，共71页。51 例6.12 化简(ABC)(AB)(A(BC)A). 解 因为(yn wi)ABABC, AA(BC),

30、 有 (ABC)(AB)(A(BC)A) (AB)A BA第51页/共70页第五十一页，共71页。52 证 已知A BA C, 所以(suy)有 A (A B)A (A C) (A A) B(A A) C B C B C BC 例6.13 已知AB A C, 证明(zhngmng)BC. 第52页/共70页第五十二页，共71页。53第六章 习题课主要内容集合的两种表示法集合与元素之间的隶属关系(gun x)、集合之间的包含关系(gun x)的区别与联系特殊集合：空集、全集、幂集文氏图及有穷集合的计数集合的, , , , 等运算以及广义, 运算集合运算的算律及其应用第53页/共70页第五十三页，

31、共71页。54基本(jbn)要求l 熟练掌握集合的两种表示法l 能够判别元素是否属于给定的集合l 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系l 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）l 掌握证明集合等式或者(huzh)包含关系的基本方法第54页/共70页第五十四页，共71页。55练习(linx)1 1判断(pndun)下列命题是否为真 (1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c (6) a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b 解 (1)、(3)、(4)、(5)、(

32、6)、(7)为真，其余(qy)为假.第55页/共70页第五十五页，共71页。56方法(fngf)分析 (1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法： 把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可 能是集合表达式. (2) 判断AB的四种(s zhn)方法 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味= 通过集合运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明第5

33、6页/共70页第五十六页，共71页。57练习(linx)22设 S1=1, 2, , 8, 9， S2=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 确定在以下条件(tiojin)下X是否与S1,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X S1第57页/共70页第五十七页，共71页。58解答(jid)解(1) 和S5不交的子集不含有(hn yu)3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2

34、不交，不能含有(hn yu)偶数， 因此 X=S5.(3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有(hn yu) 偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5.(5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.第58页/共70页第五十八页，共71页。59练习(linx)33. 判断以下命题的真假，并说明(shumng)理由. （1）AB = A B= （2）A(BC) = (AB)(AC) （3）AA = A （4）如果AB = B，则A = E. （5）A = xx，则 xA且x A. 第59页/共70

35、页第五十九页，共71页。60解题(ji t)思路l 先将等式化简或恒等变形.l 查找集合( jh)运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.l 注意以下两个重要的充要条件l AB = A AB = l AB = AB AB = B AB = A l 如果与条件相符，则命题为真.l 如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合( jh)，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明.l 试着举出反例，证明命题为假.第60页/共70页第六十页，共71页。61解答(jid) 解 (1) AB = A B= B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件. 当B不空但是与A不交时也有AB=A. (2)

36、 A(BC) = (AB)(AC) 这是DM律，命题为真. (3) AA = A 不符合算律，反例如下： A=1，AA=，但是A. (4)如果AB = B，则A = E命题不为真. AB=B的充分必要条件是 BA，不是A=E. (5) A = xx，则 xA且x A命题为真，因为(yn wi) x 既是 A 的元素，也是 A 的子集 第61页/共70页第六十一页，共71页。62练习(linx)4 4证明(zhngmng) AB = AC AB = AC B = C解题思路分析命题：含有3个命题： AB = AC , AB = AC, B = C 证明要求 前提：命题和 结论(jiln)：命题 证明方法： 恒等式代入 反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式第62页/共70页第六十二页，共71页。63解答(jid)方法(fngf)一：恒等变形法 B = B(BA) （吸收律） = B(AB) （交换律） = B(AC) AB = AC = (BA)(BC)(分配律） = (AC)(BC) AB = AC = (AB)C (分配律） = (AC)C AB = AC = C 第63页/共70页第六十三页，共71页。64解答(jid)方法二：反证法.假设 B C，则存在 x (xB且xC), 或存在 x (xC且xB). 不妨设为前者. 若x属于(shy)A，则x属于(s