有限元分析—温度场与热变形问题专题

1、 第九章 温度场与热变形问题 9-1 温度场与热变形问题 9-2 温度场问题的基本方程 9-3 平面稳态温度场的有限元法 9-4 热变形的计算2.1 直梁直梁 2.1.1梁有限元模型梁有限元模型 2.1.2节点位移与节点载荷节点位移与节点载荷 2.1.3单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2.1.4单元刚度矩阵的叠加单元刚度矩阵的叠加 2.1.5边界条件边界条件 2.1.6工程实例工程实例2.2 平面刚架平面刚架 2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷有限元法基本思想节点位移与节点载荷 2.2.2单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 2.2.4总的刚度矩

2、阵叠加总的刚度矩阵叠加 2.2.5位移法基本方程位移法基本方程2.3工程实例工程实例 2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷有限元法基本思想节点位移与节点载荷 2.2.2单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 2.2.4总的刚度矩阵叠加总的刚度矩阵叠加 2.2.5位移位移9-1 温度场与热变形问题 工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或温副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或温度应力，因此，减少或控制热变形度应力，因

3、此，减少或控制热变形/ /温度应力是设计中不可忽温度应力是设计中不可忽视的问题。视的问题。 工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。 本章介绍：本章介绍： 1 1、温度场问题的基本方程、温度场问题的基本方程 2 2、平面稳态温度场的有限元法、平面稳态温度场的有限元法 3 3、热变形的计算、热变形的计算9-2 温度场问题的基本方程 一般三维问题，物体各点的

4、一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，温度是坐标和时间变化的，即即 热平衡原理：任一热平衡原理：任一dt时间内，时间内，物体内任一微元体所积蓄的物体内任一微元体所积蓄的热量（即温度升高所需的热热量（即温度升高所需的热量）等于传入该微元体的热量）等于传入该微元体的热量与微元体内热源所产生的量与微元体内热源所产生的热量之和。即热量之和。即xxqqdxxxyzdxdzdyy Qzzqqdzzyyqqdyyzqyqxq( , , , )TT x y z t 微元温度微元温度 传入微元传入微元 微元内微元内 升高升高 = 的的 + 产生产生 所需热量所需热量 净热量净热量 的热量的热量 设微元

5、在设微元在dt内，温度升高为：内，温度升高为： 相应所积蓄的热量为：相应所积蓄的热量为： 同一时间内，微元体沿同一时间内，微元体沿x方向方向传入和传出的热量之差，即净传入和传出的热量之差，即净热量为：热量为： 类似，类似，y，z方向的净热量：方向的净热量： 即传入微元体的净热量为：即传入微元体的净热量为： 由热传导定律：热流密度与温由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，度梯度成正比，而方向相反，即：即： 代入上式得传入微元体净热量代入上式得传入微元体净热量为：为：TTTdttTc dxdydzdtt ()xxxxqqq dydzdtqdx dydzdtdxdydzdtxx , y

6、zqqdxdydzdtdxdydzdtyz()yxzqqqdxdydzdtxyz, , xxyyzzTTTqkqkqkxyz ()()()xyzTTTkkkdxdydzdtxxyyzz 设微元体内有热源，其热源密度为设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在，则该热源在dt内所共给的热量为：内所共给的热量为： 据热平衡得一般热传导微分方程：据热平衡得一般热传导微分方程：()()()xyzTTTTc dxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzzQdxdydzdt微元体温度升微元体温度升高所需的热量高所需的热量三个方向传入微三个方向传入微元体的净热量元

7、体的净热量微元体内热源微元体内热源产生的热量产生的热量 物体密度物体密度 c 比热，单位质量物体温度升高比热，单位质量物体温度升高一度所需的热量一度所需的热量 热传导系数热传导系数,xyzk kk 整理得：整理得： 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布，实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布，即初始条件，称为第一类边界条件即初始条件，称为第一类边界条件 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，称为第二类边界条件。的规律，即边界条件

8、，称为第二类边界条件。()()()0 xyzTTTTckkkQtxxyyzz0( , , , )( , , )tT x y z tT x y z111( , , , )|(, ) T x y z tTt在边界上()aTkTTn 1、三维瞬态热传导方程及边界条件、三维瞬态热传导方程及边界条件 2、二维稳态热传导方程及边界条件、二维稳态热传导方程及边界条件112()()()0 ( , , , )(, ) () xyzaTTTTckkkQtxxyyzzT x y z tTtTkTTn在 内在 上在上112()()0 ( , , )(, ) () xyaTTkkQxxyyT x y tTtTkTTn在

9、 内在上在上若物体内无热源，则方程退化为二维无热源稳态热传导方程9-3 平面稳态温度场的有限元法 1、泛函与变分、泛函与变分 函数函数 y=f(x) 求求y 的极值，即求微分，由的极值，即求微分，由dy=0 可得。可得。 泛函泛函J=J y(x) 函数函数y(x)为自变量，为自变量，J为函数为函数y的函数，称的函数，称J为为y的泛函，求泛函的极值，即求变分，的泛函，求泛函的极值，即求变分， 由由 可得。可得。 例：平面上例：平面上AB两点，连接两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重的曲线很多，要求一条曲线使重物靠自重由物靠自重由A沿此曲线滑到沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降所需的

10、时间最短，即求最速下降曲线。曲线。 显然，显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大，即下滑的时间并非最短。大，即下滑的时间并非最短。0JxyvpBA( ) 1,2,.iy xin 1,2,.iT in 2、平面稳态温度场的泛函、平面稳态温度场的泛函 求满足平面温度场方程及边界条件的温度场求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设设k为为常数常数 据变分原理，此问题等价于求泛函据变分原理，此问题等价于求泛函JT(x,y)的极值函数，的极值函数，参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛参考相关教材，可得上述热传导作为欧

11、拉方程的相应泛函：函：222210 () aTTxyTkTTn在 内在 上12221 ( , )()() ()22akTTJ T x ydxdyTTT dsxy求解域内部温度场相应的泛函求解域边界部分温度场相应的泛函 3、温度场单元分析、温度场单元分析 图示求解域离散为若干三角形单元，图示求解域离散为若干三角形单元，含有边界的单元，称为边界单元，含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元任取一个单元i,j,k,如图。如图。 A、温度插值函数、温度插值函数 在边界线在边界线(如如ij)上的任一点的温度上的任一点的温度T，可用两个端点的节点温度线性插值可用两个端点的节点温度线性插值表示：表示：xy

12、o123( , )T x yxy ( , )eiijjkkT x yNTN TN TN T1() i,j,k2iiiiNab xc yA轮换(1)ijKKSSTTTSSxy o T(x,y)j ik s B、单元温度刚度矩阵、单元温度刚度矩阵 从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值的函数，即问题转化为求多

13、元函数的极值 设求解域有设求解域有n个节点温度未知量，则泛函个节点温度未知量，则泛函JT(x,y)转化转化为为 的形式，极值条件为：的形式，极值条件为： 设单元只有三节点温度，设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代为边界，将温度插值函数代入前述的泛函，并求导得极值条件：入前述的泛函，并求导得极值条件：0 1,2,.eemmJJmnTT12 ,. nJ T TT()() () 0eiiieajjkJTTTTkdxdyTxTxyTyTTTT上式第一部分为内部单元的温度刚阵：上式第一部分为内部单元的温度刚阵：对于内部单元的温度刚阵，对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式

14、：三点轮换，记为矩阵形式：第二部分：第二部分：记为矩阵形式：记为矩阵形式：两部分相加可得边界单元的温度刚阵：两部分相加可得边界单元的温度刚阵：22()()()4eiiiijijjikikkiJkbc Tbbcc Tbbcc TTA 22222204eiiiijiji ki kieeejjj kj kjjkkkekJTbcbbccbbccTJkbcb bc cTHTTAbcTJT()362iiiajkajjksssTTTTTTT 1000036223ieeeiiijakiiaTsssTTHTpTssT 1()0 eeeeeeeHHTpHTp即3、整体温度场方程、整体温度场方程为为n个线性方程组，

15、对于每个方程而言，是对绕节个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点点m的所有单元求和，如图，节点的所有单元求和，如图，节点5，则绕节点，则绕节点5的单元为的单元为1，2，3，而其它单元不含节点，而其它单元不含节点5，即它，即它们的泛函对们的泛函对 的偏导为的偏导为0，可不考虑，即，可不考虑，即如单元如单元1，3为边界单元，则按边界单元刚阵计算；为边界单元，则按边界单元刚阵计算；如单元如单元2为内部单元，则按内部单元刚阵计算。为内部单元，则按内部单元刚阵计算。如此整理可得整体代数方程组：如此整理可得整体代数方程组：对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场

16、计算其方法相似。其方法相似。0 1,2,.eemmJJmnTTxyo123154612355550JJJJTTTT111211122222nnnnnnhhhTphhTphTp HTp5T9-4 热变形的计算 当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力常称为热

17、应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。常称为热应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。 设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化为为 ，材料的线膨胀系数为，材料的线膨胀系数为 ，对各向，对各向同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。即即 若将物体由热变形产生的应变可视为物体的若将物体由热变形产生的应变可视为物体的初应变初应变，则，则计算热应力只需算出计算热应力只需算出热变形热变形引起的初应变，求得相应初引起的初应变，求得相应初应变引起的等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后应变引起的等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。000 0 x